h ＝sinθ/n とすると、
中心が (0,0) の円弧 (1,0)-(cosθ,sinθ) の長さは、
折れ線で近似したときの折れ線の長さの、折る箇所を無限に増やしたときの
極限値だから、
θ
＝lim[n→∞]∑[k=1,n]√(h^2 + {√(1-((k-1)h)^2) - √(1-(kh)^2)}^2)
k≧1 のとき、
√(1-((k-1)h)^2) - √(1-(kh)^2)
＝{(1-((k-1)h)^2) - (1-(kh)^2)}/{√(1-((k-1)h)^2) + √(1-(kh)^2)}
＝{ - ((k-1)h)^2 + (kh)^2 }/{√(1-((k-1)h)^2) + √(1-(kh)^2)}
＝(2k-1) h^2/{√(1-((k-1)h)^2) + √(1-(kh)^2)}
≦ 2k h^2/{√(1-( k h)^2) + √(1-(kh)^2)} (∵ k≧1 )
＝ 2k h^2/{2 √(1-(kh)^2)}
＝ k h^2/ √(1-(kh)^2)
√(1-((k-1)h)^2) - √(1-(kh)^2) ≧ 0 より、
{√(1-((k-1)h)^2) - √(1-(kh)^2)}^2 ≦ {k h^2/√(1-(kh)^2)}^2
よって、
θ
＝lim[n→∞]∑[k=1,n]√(h^2 + {√(1-((k-1)h)^2) - √(1-(kh)^2)}^2)
≦lim[n→∞]∑[k=1,n]√(h^2 + {k h^2/√(1-(kh)^2)}^2)
＝lim[n→∞]∑[k=1,n]√(h^2 + k^2 h^4/(1-(kh)^2))
＝lim[n→∞]∑[k=1,n]{h √(1 + k^2 h^2/(1-(kh)^2))}
＝lim[n→∞]∑[k=1,n]{h √({(1-(kh)^2) + k^2 h^2}/(1-(kh)^2))}
＝lim[n→∞]∑[k=1,n]{h √( 1 /(1-(kh)^2))}
＝lim[n→∞]∑[k=1,n]{h /√(1 - (k h )^2)}
≦lim[n→∞]∑[k=1,n]{h /√(1 - (n h )^2)}
＝lim[n→∞]{n h /√(1 - (n h )^2)}
＝lim[n→∞]{n(sinθ/n)/√(1 - (n(sinθ/n))^2)}
＝lim[n→∞]{ sinθ /√(1 - sinθ ^2)}
＝ sinθ /√(1 - sinθ ^2)
＝ sinθ /√((cosθ)^2)
＝ sinθ / cosθ
＝ tanθ
