３次元空間で交わる立体？
注意：この記事には誤りが含まれています。たとえば
「４次元空間では面と面の交わりは点です。」
「５次元空間では立体と立体の交わりは線です。」
が正しいのです。ますます不思議ですよね。この記事自体が３次元空間の常識を４次元以上の空間に適用すると間違ってしまう例になってしまいました。（ミイラ取りがミイラになってしまいました。）記事はそのまま残しておくことにし、訂正記事を書かせていただきました。
通用しない一般常識
前回の記事の最後で矛盾がでてきてしまいましたので、今日はこれを解決することにしましょう。
前回は４次元空間の中の垂直空間にいる「彼」に手伝ってもらいながら、次の結論を得たのでした。
- ４次元空間に１次元物体を置くと一般的に３次元空間からは０次元の点として観測される。
- ４次元空間に２次元物体を置くと一般的に３次元空間からは１次元の曲線として観測される。
- ４次元空間に３次元物体を置くと一般的に３次元空間からは２次元の曲面として観測される。
その後、３次元空間で経験的事実として知っている次の事がらをあてはめた結果、矛盾がでてきてしまったわけです。これらは私たちの世界の一般常識です。
- 線と線の交わりは点、線と面の交わりは点
- 面と面の交わりは線、線と立体の交わりは線
- 面と立体の交わりは面
- 立体と立体の交わりは立体
どこが矛盾しているかというと、たとえば「立体と立体の交わりは立体」についていえば、３次元のものと３次元のものの交わりのことについて述べているから、立体（３次元）と３次元空間の交わりを考えることにも使えるわけです。すると「３次元空間で観測される立体の次元は３次元です。」という文章ができあがりますよね？つまり、あたりまえのことを言っているだけにすぎません。
でもこれは上の「４次元空間に３次元物体を置くと一般的に３次元空間からは２次元の曲面として観測される。」とは明らかに矛盾しています。
矛盾を解決する方法をひとことで言ってしまうと、あなたが「立体と立体の交わりは面である。」ということを理解できるかどうかにかかっているのです。
「えっ！それおかしいでしょ！」という声が聞こえてくるようです。なぜなら一般常識と違うわけですから。
理解できていない方が多いと思いますので、ひとつずつ確認していきましょう。全部確認しなくても大丈夫なので、交わる物体が同じ次元の組み合わせのものだけ使って確認させていただくことにします。
３次元空間の一般常識
「線と線の交わりは点」については、きっとこういう状況を思い浮かべたと思います。３次元空間の中で青い線と赤い線が交わっています。そして交わりは「点」です。
「面と面の交わりは線」のときは、こういう状況ですよね？３次元空間の中で青い面と赤い面が交わっています。交わっている部分は「線」です。
そして最後に「立体と立体の交わりは立体」のときはこういう状況を思い浮かべていると思うのです。３次元空間の中で青い立方体と赤い立方体が交わっていて、交わっている部分を黄色で示しています。
でも実をいうとこれは「交わっている」のではなく「重なっている」だけです。おわかりでしょうか？
おわかりにならない方のために、次元をひとつ下げてご説明しましょう。「２次元空間の一般常識」です。２次元空間には点と線と面しか存在できません。
２次元空間の一般常識
「線と線の交わり」について、２次元生物としての「彼」は、次のような状況を思い浮かべます。２次元空間の中で青い線と赤い線が交わっています。そして交わりは「点」です。
「面と面の交わり」については、次の状況を思い浮かべます。２次元空間の中で青い線と赤い線が交わって....いや、重なっています。そして重なっている部分は線ではなく「面」です。２次元空間には「高さ」がとれないので、こういう重なり方しかできません。
おわかりになりましたよね？
まだおわかりにならない方のために、もうひとつ次元を下げてみます。「１次元空間の一般常識」です。１次元空間には点と線しか存在できません。
１次元空間の一般常識
「線と線の交わり」について、１次元生物の「彼」は、次のような状況を思い浮かべます。１次元空間の中で青い線と赤い線が交わって...いや「重なって」います。そして重なっている部分は点ではなく「線」です。
「交わる」と「重なる」の違いがおわかりになりましたでしょうか？
「交わる」ためには、物体の次元よりひとつ大きい次元の空間が必要で、その空間の中で物体と物体が共通部分を持つのです。２つの物体の次元が異なるときは、次元が大きいほうをこの定義で「物体の次元」とします。
「重なる」ためには、物体の次元と同じ次元の空間の中で、物体と物体が共通部分を持つわけです。
２つの物体の次元が異なるときは、大きい次元数のほうをこの定義での「物体の次元」とします。
ですから、私たちの３次元空間での立体は「交わっている」のではなく「重なっている」だけです。立体と立体が交わるためには４次元空間が必要なのです。
ですから、３次元空間の一般常識は次のように書き換えなければなりません。
- 線と線の交わりは点、線と面の交わりは点
- 面と面の交わりは線、線と立体の重なりは線
- 面と立体の重なりは面
- 立体と立体の重なりは立体
あともうひとつ気がつくことは２次元の一般常識の中の「面と面の重なりが面」になっていることです。３次元空間での常識だと「面と面の交わりは線」ですよね？「重なり」が「交わり」に変わることで「面」が「線」になるのです。次元がひとつ下がります。他の例でも確認していただけるとわかりますが、該当するすべてのケースでこのことはあてはまるのです。
言葉の言い換えだけで結論を出している感じですが、３次元空間で「立体と立体の重なりは立体（３次元）」ならば「立体と立体の交わりは面（２次元）」ということが言えるのです。そして、交わるために４次元空間が必要になります。
４次元空間の一般常識
同様にして「重なり」を「交わり」に置き換えて、２つの物体の共通部分の次元をひとつ下げてすべて書き出すと次のようになります。
- 線と線の交わりは点、線と面の交わりは点
- 面と面の交わりは線、線と立体の交わりは点
- 面と立体の交わりは線
- 立体と立体の交わりは面
これにもうひとつ次の常識を加えれば「４次元空間の一般常識」が得られます。
- 超立体と超立体の重なりは超立体
そして「４次元空間の一般常識」の中の次のものが、前回の記事の結論と一致していることは、次の項目を見ればおわかりですね？
- 線と立体の交わりは点
- 面と立体の交わりは線
- 立体と立体の交わりは面
- ４次元空間に１次元物体を置くと一般的に３次元空間からは０次元の点として観測される。
- ４次元空間に２次元物体を置くと一般的に３次元空間からは１次元の曲線として観測される。
- ４次元空間に３次元物体を置くと一般的に３次元空間からは２次元の曲面として観測される。
これで矛盾が解決しました。めでたし、めでたしです！
矛盾が生じてしまった理由は、一般常識にとらわれて３次元空間で交わることができる物体が２次元までだということを気付かなかった、もしくは忘れていたからです。
一般に次のような結論になります。２つの同じ次元数の物体が交わるとき、その交わりは１つ次元が小さい物体になるわけです。きれいに数字が並びます。
- １次元物体どうしの交わりは０次元物体
- ２次元物体どうしの交わりは１次元物体
- ３次元物体どうしの交わりは２次元物体
- ４次元物体どうしの交わりは３次元物体
- ５次元物体どうしの交わりは４次元物体
- ６次元物体どうしの交わりは５次元物体
- Ｎ次元物体どうしの交わりはＮ－１次元物体
表にするとわかりやすいですね。次元が違う物体の組み合わせも埋めておきます。
赤い物体の次元数を横にとり、青い物体の次元数を縦に取ります。そして赤と青の物体が交わっている部分の次元数が黒い数字です。赤と青の箇所は物体でも空間でもかまいません。２つが交わるために必要な空間は、赤と青の次元数の大きいほうよりさらに１つ高い次元の空間となります。
このように次元が違う空間は、それぞれ少しずつ違う一般常識をもっています。
私たちの世界の一般常識では立方体と立方体の重なりは３次元になるわけです。これは一般常識が４次元空間の事情を考慮していないからです。
４次元以上の高次元空間では「立体と立体の交わりは面」ということが言えるわけですし、これが３次元以上のすべての次元の空間で成り立っているわけですから「普遍的な事実」として受け入れるべきないのでしょう。
けれども、就職試験や入学試験では、やはり「立体と立体の交わりは立体」、「立体と面の交わりは面」、「立体と線の交わりは線」と回答してください。会社や学校は４次元空間にあるわけではないですから。
「交わり」と「重なり」の使い分けのあいまいさ
日常生活で使われる「交わり」と「重なり」という言葉にはあいまいな部分がありますし、それどころか算数や数学の教科書でも使い方はまちまちなのです。
たとえば「集合」を学ぶときに使われるベン図では重なっている部分を集合の「交わり」と呼んでいます。
また次のように２つの円柱の共通部分の体積を求める問題では「円柱と円柱が交わっている部分の体積を求めよ。」などと表現しています。今回の記事の言い方では「重なっている部分」となるべきですよね。
義務教育では「空間図形」のところで「物体と物体の交わり」のことを学びます。それでは教科書は私たちに間違ったことを教えていたのでしょうか？
いいえ、違います。調べてみると「物体と物体の交わり」のところで教科書では「線と面の組み合わせについてだけ説明しているのです。「立体と平面の交わり」や「立体と直線の交わり」については触れていません。
「そんなはずは。。。」と私たちが思ってしまうとしたら、それは教科書のほかのところで、次のような図を目にしていたからだと思うのです。
たとえば「立体の断面」について学ぶ箇所では、次のような図を目にします。「４次元空間での交わり」は必要ありませんね。
また、「直方体の対角線」について学ぶ箇所では、次のような図を使います。これも「物体の交わり」とは関係ありません。
時がたち、何をどこで学んだか忘れてしまった時点で、立体のことも含めて「交わりの関係」が私たちの一般常識に組み込まれてしまったのではないでしょうか？
人間の記憶などあてにならないものです。
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3次元空間での面と面は1次元が重なってしまうだけで、4次元空間では点で交われます。
物体1の次元+物体2の次元-空間次元=重なりの次元
5次元空間では2つの3次元立体{(x,y,z,0,0)|x,y,zは実数}と{(0,0,x,y,z)|x,y,zは実数}の共通部分は
線{(0,0,x,0,0)|xは実数}になるのですが、５次元空間の事情は考慮しなくて良いのでしょうか？
コメントいただいた内容とご返事を考え中ですので、お待ち下さい。
松本幸夫の『４次元のトポロジー』のp135にありましたね。
hirotaさんの仰っていることと重複してしまうかもしれませんが、
この記事では「交わり」と「重なり」の違いが
よくわかりません（言わんとしたいことは汲み取れますが）。
また例になってしまいますが、
{(x,y,z,x,y)}と{(x,y,z,-x,-y)}はこれは
（面と面の「交わり」の図のように）
「立体が線で交わってる」状況だと思うのですが、
違うのですか？
話の流れから、ここで主張する必要があるのは、
「４次元での３次元空間同士の共通部分を考えると、共通部分が立体になることは希で、一般には平面になる」
ということだと思いますが、
そうなると「一般の位置」の話をする必要があると思います。
そう考えると、
５次元空間内では３次元と３次元は一般に線で交わるので、
「４次元以上の高次元空間では「立体と立体の交わりは面」」
とは言えないと思うのです（４次元では言って良いと思いますが）。
コメントありがとうございます。
ご返事をじっくり考える時間がとれていません。もう少々お待ち下さい。
さしあたり、いただいたコメントを公開させていただきました。
さしあたり昼休みに考えて書ける範囲で返信させていただきます。
> この記事では「交わり」と「重なり」の違いが
> よくわかりません（言わんとしたいことは汲み取れますが）。
確かに記事中での定義の文面があいまいですね。この定義だと「重なる」は「交わる」を含んでいますね。例示するとわかりやすくなるかもしれません。とりあえず次のように修正してみましたが、もう少し考えてみます。
「交わる」：物体の次元よりひとつ大きい次元の空間とする形で、その空間の中の物体と物体が共通部分を持つこと。（例：平面と平面が空間の中で交わるケース）
「重なる」：物体の次元と同じ次元の空間の中で、物体と物体が共通部分を持っていること。ひとつ次元の高い空間からみると、これら２つの物体は「平行」の関係をもちながら物体の一部を共有していること。物体の次元より高い次元の空間があっても構わないが、「重なる」ための必要条件ではない。（例：平面と平面が同一平面上の中で一部重なって共通部分をもつケース）
> ５次元空間内では３次元と３次元は一般に線で交わるので
ふくちゃんへ
最初のコメントでふくちゃんにご提示いただいた５次元空間の２つの立体が例があらわしているのは
たとえば0 ≦ x, y, z, x', y', z', a ≦ 1 とした場合
５次元空間で
立方体 (x,y,z,0,0)と立方体(0,0,x',y',z')の共通部分は
直線（0,0,a,0,0)になるということですね。このケースだと直線になります。ただしこれは「一般的」ではないと思います。
たとえば２つめの立方体のとりかたを(0,0,x',y',z')に固定して、１つめの立方体のとりかたは次のように考えられます。
(0,x,y,z,0), (x,0,y,z,0), (x,0,y,0,z),... etc. 全部で5C3とおりあります。
それぞれと (0,0,x',y',z')のケースの共通部分をとるとそれぞれ３、２、１の次元数になってしまいます。
>「４次元空間では面と面が点で交わる。」
松本幸夫の『４次元のトポロジー』のp135にありましたね。
そうでした！この本ですね。どこかで読んだことあるなと思っていたところです。今夜内容確認してみます。
変な質問の仕方をしてしまい申し訳ございません。
「直観的に」説明するのがこの記事の趣旨だと思っているので、
あまり用語にツッコミを入れ過ぎるのは良くないと思ったのですが。
>重なりと交わり
この次の段落のコメントとも関係してきますが、
「重なり」と「交わり」にこだわりたいのであれば、
入れ物となる空間の次元を変えるとわかりにくくなるので、
まずは、入れ物の次元を固定した方が良いと思います。
「何元空間の中で考えるか」
を先に固定して、その後
「何次元空間と何次元空間の共通部分を考えるか」
を考えて、どういう条件のときに「交わる」と呼ぶかを
定義すると良いと思います。
>「一般的」
ぼくの例も悪かったのですが、「一般的」というのは、
「5次元での３次元空間同士の共通部分を考えると、
大抵の場合1次元になる」
という意味です。今の場合だと、
つまり、５次元空間の中の３次元部分空間全体の
集合に自然に位相を入れたときに、
{(0,0,x,y,z)}との共通部分が１次元になる３次元部分空間が開集合かつ稠密になっているということです。
まぁ、ここら辺の話は（位相とかそういうことを考えなくても）
線形代数の次元定理を眺めれば納得してもらえると思います。
先ほどのコメントで「次元定理」と書いてしまいましたが、
次元定理ではなくて、Vの部分空間V_1とV_2に対して、
dim(V_1)+dim(V_2)=dim(V_1 + V_2) + dim(V_1 ∩ V_2)
が成り立つという定理です
（これも次元定理って呼ぶんでしたっけ？）。
あと、ぼくのコメントの中で、
問題を勝手に線形空間の話にしてますが、
当該記事の話は本質的には部分空間同士の交点の次元の話だと思いますし、
（コメントの中では）[-1,1]^nでぶった切らずに
線形空間の話にしてしまった方が
問題点がハッキリすると思ったので、
線形空間の話にしています。
いろいろすみません。
４次元空間では面と面の重なりが「点」であること、５次元空間では立体と立体の重なりが「線」であること、そしてこれらが最も一般的であることを理解しました。
記事冒頭に「この記事には誤りが含まれています。」と記載し、後日訂正記事を書くことにしました。
アドバイスいただき、ありがとうございました。
次元が大きい方で考えるんですか？