多次元空間へのお誘い（９）：空間の次元で全く違う常識

３次元空間で交わる立体？

空間の次元で全く違う常識

前回の記事の重要な部分に大きな誤りがありましたので、訂正記事を書かせていただきます。ご指摘いただいたhirotaさん、ふくちゃん、ありがとうございました。

間違っている箇所は「多次元空間で交わる２つの物体の共通部分の次元数」の説明と結果です。この連載記事では具体的に布やひもなどを使って直観的な説明を心がけていたので、僕自身が「３次元空間の常識の罠」にからめとられてしまいました。

４次元以上の空間で正しい結果を導くためには直観はたよりになりません。この記事では直観に頼らず「座標」の考え方を使って説明します。その結果、多次元空間ではより直観に反する不思議な状況になっていることがおわかりになると思います。


前回間違ってしまった原因は２つあり、どちらも３次元空間の直観が災いしていました。その２つとは次のことです。

１）物体の「重なり」と「交わり」の定義があいまいだったこと

僕は「重なり」と「交わり」の２つに分類したわけですが、現実はもっとたくさんの方法で物体どうしは交わります。そして、複数ある交わり方の方法のうち、どれがいちばん「一般的」かということを慎重に決めなければいけないのです。

２）３次元空間までで成り立つ幾何学的な常識を、そのまま４次元以上の空間に拡張したこと

空間は次元が違うと幾何学的な常識も異なってきます。前回の記事では物体どうしの交わりで「どのようなものが一般的といえるか」という点で、３次元空間までで成り立つ常識を、そのまま４次元以上の空間での状況にあてはめてしまいました。


このように考え方に誤りがあったため、結果も異なってきます。たまたま結果が一致しているケースもありますが、今回の説明にしたがって確認しなおす必要があります。（幸い連載記事のそれ以前の回に対する矛盾は生じていませんでした。）

前回は次の結果をご紹介しました。

「空間の次元数にかかわらず面と面の交わりは線です。」
「空間の次元数にかかわらず立体と立体の交わりは面です。」

けれども正しい結果は、次のようになります。空間の次元が違うと同じ物体どうしても結果は異なりますので、物体が置かれている空間の次元数を示しておく必要があります。

「４次元空間では面と面の交わりは点です。」
「５次元空間では立体と立体の交わりは線です。」


今回の記事では、たくさんある物体の次元の組み合わせのうち、次の４つのケースを例にとって説明させていただきます。

- ３次元空間で交わる面と面
- ４次元空間で交わる面と面
- ５次元空間で交わる立体と立体
- ６次元空間で交わる面と立体

そして現実の世界では物体と物体は貫通する形で交わりませんが、この記事は数学としての話なので貫通してよいことにします。（それに、もし片方の物体を空間と考えれば貫通しても構わないですよね。）


３次元空間で交わる面と面

３次元ユークリッド空間で平面と平面の位置関係には、次の３つの場合が考えられます。平面は無限の彼方まで広がっているとします。

１）平行な場合。（このとき平面は交わらないので今回の記事では除外します。）
２）一致してしまう場合。（全く同じ平面として重なる場合）
３）ひとつの直線に沿って交わる場合。

このうち３）の「ひとつの直線に沿って交わる場合」が平面と平面の位置関係で、もっとも「一般的」な状況と考えます。無作為に２つの平面を３次元空間に「投げ入れた」場合、３）の状況がいちばんおきやすいからです。

３）のケースでもいろいろな角度で交わるわけですが、２つの平面の共通部分の次元を求めることを目的とするならば、次のような状況を考えれば十分です。



この図で赤で示したx-z平面（部屋でいえば床になります）と青で示したy-z平面（部屋でいえば壁）の共通部分はx軸となります。

このことを座標を使って導いてみましょう。簡単なケースですが４次元以上でも同じ手順を使いますので、きちんと覚えてください。

３次元空間で
赤のx-z平面のことを (x, 0, z) とあらわします。
青のy-z平面のことを (0, y, z) とあらわします。

２つの平面の共通部分は x=0 と y=0 という２つの条件を同時に満たさなければならないことがわかります。

したがって共通部分は (0, 0, z) と表されることになり、これは z軸 そのもので、直線であることがわかります。

おわかりになりましたでしょうか？

同じ方法で、点や線、面、立体などの組み合わせで２つの物体が交わるケースで表にしました。ご自身でこの表を作ってみるとよいでしょう。

緑色で示した３は空間の次元数、赤と青は物体の次元数、黒は共通部分の次元数です。私たちの直観に一致していることがわかりますね。




４次元空間で交わる面と面

４次元ユークリッド空間で平面と平面の位置関係には、次の４つの場合が考えられます。

１）平行な場合。（このとき平面は交わらないので今回の記事では除外します。）
２）一致してしまう場合。（全く同じ平面として重なる場合）
３）ひとつの直線に沿って交わる場合。
４）ひとつの点で交わる場合。

４）は３次元空間まででは経験することができませんから、私たちには理解できない幾何学的な関係です。

このうち４）の「２つの平面がひとつの点で交わる場合」が平面と平面の位置関係で、もっとも「一般的」な状況と考えます。無作為に２つの平面を４次元空間に「投げ入れた」場合、４）の状況がいちばんおきやすいからです。

４）のケースでもいろいろな角度で交わるわけですが、２つの平面の共通部分の次元を求めることを目的とするならば、座標の原点を含んでいるお互いに直交している、「赤に塗ったx-y平面」と「青に塗ったz-u平面」だけを考えれば十分です。

さっそく座標を使って導いてみましょう。４次元空間上の位置は (x, y, z, u) であらわされることに注意してください。

４次元空間で
赤のx-y平面のことを (x, y, 0, 0) とあらわします。
青のz-u平面のことを (0, 0, z, u) とあらわします。

２つの平面の共通部分は x=y=0 と z=u=0 という２つの条件を同時に満たさなければならないことがわかります。

したがって共通部分は (0, 0, 0, 0) と表されることになり、これは４次元空間の座標の原点そのもので、「点」となります。

同じ方法で、点や線、面、立体、４次元物体などの組み合わせで２つの物体が交わるケースを表にしました。

緑色で示した４は空間の次元数、赤と青は物体の次元数、黒は共通部分の次元数です。




５次元空間で交わる立体と立体

５次元ユークリッド空間で立体と立体の位置関係には、次の４つの場合が考えられます。４次元空間のときと異なり「５）ひとつの点で交わる場合」はありません。

１）平行な場合。（このとき立体は交わらないので今回の記事では除外します。）
２）一致してしまう場合。（全く同じ立体として重なる場合）
３）ひとつの平面で交わる場合。
４）ひとつの直線に沿って交わる場合。

４）の「ひとつの直線に沿って交わる場合」が立体と立体の位置関係で、もっとも「一般的」な状況と考えます。無作為に２つの立体を５次元空間に「投げ入れた」場合、４）の状況がいちばんおきやすいからです。

４）のケースでもいろいろな角度で交わるわけですが、２つの立体の共通部分の次元を求めることを目的とするならば、座標の原点を含んでいるお互いに直交している、「赤に塗ったx-y-z立体」と「青に塗ったz-u-v立体」だけを考えれば十分です。

さっそく座標を使って導いてみましょう。５次元空間上の位置は (x, y, z, u, v) であらわされることに注意してください。

５次元空間で
赤のx-y-z立体のことを (x, y, z, 0, 0) とあらわします。
青のz-u-v立体のことを (0, 0, z, u, v) とあらわします。

２つの立体の共通部分は x=y=0 と u=v=0 という２つの条件を同時に満たさなければならないことがわかります。

したがって共通部分は (0, 0, z, 0, 0) と表されることになり、これは５次元空間の座標のz軸であり「直線」となります。

同じ方法で、点から５次元物体の組み合わせで２つの物体が交わるケースを表にしました。

緑色で示した５は空間の次元数、赤と青は物体の次元数、黒は共通部分の次元数です。




６次元空間で交わる面と立体

６次元ユークリッド空間で面と立体の位置関係には、次の４つの場合が考えられます。

１）平行な場合。（このとき立体は交わらないので今回の記事では除外します。）
２）ひとつの平面で交わる場合。
３）ひとつの直線に沿って交わる場合。
４）ひとつの点で交わる場合

４）の「ひとつの点で交わる場合」が面と立体の位置関係で、もっとも「一般的」な状況と考えます。無作為に面と立体を６次元空間に「投げ入れた」場合、４）の状況がいちばんおきやすいからです。

４）のケースでもいろいろな角度で交わるわけですが、２つの立体の共通部分の次元を求めることを目的とするならば、座標の原点を含んでいるお互いに直交している、「赤に塗ったx-y平面」と「青に塗ったu-v-w立体」だけを考えれば十分です。

さっそく座標を使って導いてみましょう。６次元空間上の位置は (x, y, z, u, v, w) であらわされることに注意してください。

６次元空間で
赤のx-y平面のことを (x, y, 0, 0, 0, 0) とあらわします。
青のu-v-w立体のことを (0, 0, 0, u, v, w) とあらわします。

２つの物体の共通部分は x=y=0 と u=v=w=0 という２つの条件を同時に満たさなければならないことがわかります。

したがって共通部分は (0, 0, 0, 0, 0, 0) と表されることになり、これは６次元空間の座標の原点であり「点」となります。

同じ方法で、点から６次元物体の組み合わせで２つの物体が交わるケースを表にしました。

緑色で示した６は空間の次元数、赤と青は物体の次元数、黒は共通部分の次元数です。




ご理解いただけましたでしょうか？このように各次元で空間や物体の一般常識はずいぶん違うことがおわかりだと思います。

これらの表を使えば、多次元空間に存在する多次元の物体が私たちからどのような次元の物体に見えるか、ということがわかります。

たとえば５次元空間で２つの立方体が絡まっている場合、５次元の表の青の３次元と赤の３次元のマスを見て交わりが１次元であることがわかります。それは私たちからその立方体が１次元のひもとして見えることを意味します。

５次元空間で絡むのは立体、４次元空間で絡むのは面、３次元空間で絡むのはひもでしたよね？表をたどっていくと５次元空間での立体は４次元空間では面として観測され、４次元空間での面は３次元空間ではひもとして観測されることがわかります。高次元空間で絡み合っている２つの物体が低い次元で絡み合っているかどうかは、また別の話になりますが。


多次元空間で物体どうしの位置関係がなぜわかるのか？そしてどれが一般的なものがわかるのはなぜか？と不思議に思われる方がいらっしゃるかもしれません。そのような方は、今回の方法をもう一度よく確認してみてください。

たとえば、空間の次元の座標 (○,○,○,○）の入れ物の中にx, y, zなどいくつの文字を入れるか、そして２つの物体の座標を入れたとき空間の次元の座標成分の個数が足りるのか、足りないのか、ちょうどよいのか、２つの物体の座標を入れるときの場合の数を調べてどのケースが多いかを調べれば、おわかりになると思います。


また、数式は使わないと約束したので書きませんでしたが、共通部分の次元は次の式で計算することができます。今回の手順を理解できていれば、すぐ導ける式です。

共通部分の次元数 ＝ 赤い物体の次元数 ＋ 青い物体の次元数 － 空間の次元数

計算結果がマイナスになるときは０（ゼロ）を計算結果として採用してください。

今回の結果は前々回までの記事で導いた以下のこととも、幸いなことに整合性がとれています。間違いの影響が他の記事に及ばなかったので、ひと安心ですね。

- ４次元空間に１次元物体を置くと一般的に３次元空間からは０次元の点として観測される。
- ４次元空間に２次元物体を置くと一般的に３次元空間からは１次元の曲線として観測される。
- ４次元空間に３次元物体を置くと一般的に３次元空間からは２次元の曲面として観測される。


「座標」の考え方はデカルトによって発明されました。（ルネ・デカルトにより1637年に発表された『方法序説』において平面上の座標の概念を確立され、幾何学と解析学（微積分学）が結びつけられました。）

座標は誰でも考えつきそうなものだし、なぜこれが大発明なのかと不思議に思う方がいらっしゃるかもしれません。けれども、直観に頼らずに座標を使うことから得られる恩恵が絶大なものであることが、今回の例でおわかりいただけたと思います。


次回の記事では、もうひとつ別の例を使って「４次元空間に２次元物体を置くと一般的に３次元空間からは１次元の曲線として観測される。」が成り立っていることをご説明いたします。


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