アインシュタイン選集（２）: [A11] 重力場の方程式と物体の運動法則（1938年）
[A11] 重力場の方程式と物体の運動法則（1938年）
この論文はアインシュタイン、インフェルド、ホフマンによる共著で、この本では44ページにおよぶ長いものだ。一般相対性理論の集大成ともいうべき重力場の方程式は数式としてはシンプルで美しい形をしているが、これを実際に計算して力学的な運動方程式を導くことを目的としている。その過程でニュートンの運動法則が近似的に成立していることもわかってくる。純粋な理論を現実的な物理学に応用することで理論物理学としての一般相対性理論の正しさがより確実なものとなる。この問題の難しさは重力場による影響を受けて運動する物体自身が、自らの質量によって重力場に影響を与えていることだ。
44ページにおよぶ数式の記述は、さしずめ物理シミュレーションを行うための計算物理学の教科書のようだ。理論物理学的な数式の美しさはなく、ごちゃごちゃとした数式の展開が続き、とてもこのブログで解説できるような代物ではない。白状するが僕はこの論文の数式をほとんど理解できなかった。それはまるでアインシュタインが重力場の物理シミュレーションをしようとしているかのようである。もちろんそれはあり得ない。
世界初のコンピュータ「ENIAC」が生まれたのは1946年なので、この論文が発表された1938年は手回し計算器の時代。地球物理学者で科学雑誌「Newton」の初代編集長だった竹内均東大名誉教授が地球潮汐の計算のために4年間も回し続けた「タイガー計算器」の第１号は1923年に発売された。（余談：僕は機械式のものを「計算器」、電子式のものを「計算機」と表記して区別している。このページにはタイガー計算器のシミュレータがあるので興味のある方は試してみてほしい。）
「（べき級数を使って重力場の方程式を２次、３次と）近似を進めれば進めるほど（計算精度は増すが）計算はますます膨大なものとなり、細かい技巧的な、しかし内容的には少しも興味のない点をたくさん扱うことになる。これらの計算結果をすべてここに示すことは到底できない。」とアインシュタイン自身もこの論文の中で述べているし、その結果求められた複雑きわまりない数式に実際の物理量を代入して手回し計算器で解けるはずがない。何十年もの間、計算器を回し続けることになるだろうから。
というわけでこの論文の意義は、緻密で技巧的な近似手法を駆使した数式計算を進めた結果、重力場の方程式だけからニュートンの運動方程式を導き出したこと、そしてその過程で「質点の運動方程式は測地線によって与えられる。」だとか「物質のエネルギー・運動量テンソルに対して特別なものを選ぶ。」とか余計な仮定を使わなくてすむことを示したことにある。重力場の方程式はそれほど物理法則として完成しているということを示したのだ。
この論文における計算の前提は３つある。１つ目はある特定の座標系を用いること、２つ目は物体を重力場の特異点として表現すること、そして３つ目は準静的な重力場を取り扱うのに特に適したひとつの新しい近似法を採用したことだ。
計算手順の「面倒くささ」を想像できるように、セクションごとの見出しレベルで紹介しておく。ここで「特異点」とは空間に存在する質点のことを表している。
I.一般論
1. 重力場の方程式と境界条件
2. 積分形式で表わした重力場の基本的性質
3. 近似法
4. 場の量のべき展開における特性
5. 特異点がない場合の方程式の別の形
6. 特異点がない場合の方程式の分解
7. 特異点が存在する場合の一般論
8. 座標条件の第0成分
II.一般論の応用
9. l = 1次の近似
10. l = 2に対するΛの計算
11. ニュートンの運動方程式
12. γ(00)の規格化
13. l = 2の場の方程式の解
14. α(mn)およびα(0n)の決定
15. Λ(mn)の計算
16. l = 3に対する面積分
17. ニュートンの運動方程式からの主な違い
関連リンク：
アインシュタイン選集（１）
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/26d6fc929bf7b9f0fc1e2a210882f559
アインシュタイン選集（２）：読みはじめた
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/d3d0869ab3911e84845b5b121bd1aa3e
時空の幾何学：特殊および一般相対論の数学的基礎
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/ffc643a688ce45dec7460d107fe1392e
少年の頃の夢（の続き）
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/a6e4b9271cd56b2e85c3bdaa0b8b7cae
趣味で相対論
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/90aa60383b600ff4e4fd7bea6589deaa
とね書店：
アインシュタイン選集（１）
https://amazon.co.jp/&tonejiten-22/dp/4320030192/503-5691539-3879144
アインシュタイン選集（２）
https://amazon.co.jp/&tonejiten-22/dp/4320030206/503-5691539-3879144
アインシュタイン選集（３）
https://amazon.co.jp/&tonejiten-22/dp/4320030214/503-5691539-3879144
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[A11] 重力場の方程式と物体の運動法則（1938年）
この論文はアインシュタイン、インフェルド、ホフマンによる共著で、この本では44ページにおよぶ長いものだ。一般相対性理論の集大成ともいうべき重力場の方程式は数式としてはシンプルで美しい形をしているが、これを実際に計算して力学的な運動方程式を導くことを目的としている。その過程でニュートンの運動法則が近似的に成立していることもわかってくる。純粋な理論を現実的な物理学に応用することで理論物理学としての一般相対性理論の正しさがより確実なものとなる。この問題の難しさは重力場による影響を受けて運動する物体自身が、自らの質量によって重力場に影響を与えていることだ。
44ページにおよぶ数式の記述は、さしずめ物理シミュレーションを行うための計算物理学の教科書のようだ。理論物理学的な数式の美しさはなく、ごちゃごちゃとした数式の展開が続き、とてもこのブログで解説できるような代物ではない。白状するが僕はこの論文の数式をほとんど理解できなかった。それはまるでアインシュタインが重力場の物理シミュレーションをしようとしているかのようである。もちろんそれはあり得ない。
世界初のコンピュータ「ENIAC」が生まれたのは1946年なので、この論文が発表された1938年は手回し計算器の時代。地球物理学者で科学雑誌「Newton」の初代編集長だった竹内均東大名誉教授が地球潮汐の計算のために4年間も回し続けた「タイガー計算器」の第１号は1923年に発売された。（余談：僕は機械式のものを「計算器」、電子式のものを「計算機」と表記して区別している。このページにはタイガー計算器のシミュレータがあるので興味のある方は試してみてほしい。）
「（べき級数を使って重力場の方程式を２次、３次と）近似を進めれば進めるほど（計算精度は増すが）計算はますます膨大なものとなり、細かい技巧的な、しかし内容的には少しも興味のない点をたくさん扱うことになる。これらの計算結果をすべてここに示すことは到底できない。」とアインシュタイン自身もこの論文の中で述べているし、その結果求められた複雑きわまりない数式に実際の物理量を代入して手回し計算器で解けるはずがない。何十年もの間、計算器を回し続けることになるだろうから。
というわけでこの論文の意義は、緻密で技巧的な近似手法を駆使した数式計算を進めた結果、重力場の方程式だけからニュートンの運動方程式を導き出したこと、そしてその過程で「質点の運動方程式は測地線によって与えられる。」だとか「物質のエネルギー・運動量テンソルに対して特別なものを選ぶ。」とか余計な仮定を使わなくてすむことを示したことにある。重力場の方程式はそれほど物理法則として完成しているということを示したのだ。
この論文における計算の前提は３つある。１つ目はある特定の座標系を用いること、２つ目は物体を重力場の特異点として表現すること、そして３つ目は準静的な重力場を取り扱うのに特に適したひとつの新しい近似法を採用したことだ。
計算手順の「面倒くささ」を想像できるように、セクションごとの見出しレベルで紹介しておく。ここで「特異点」とは空間に存在する質点のことを表している。
I.一般論
1. 重力場の方程式と境界条件
2. 積分形式で表わした重力場の基本的性質
3. 近似法
4. 場の量のべき展開における特性
5. 特異点がない場合の方程式の別の形
6. 特異点がない場合の方程式の分解
7. 特異点が存在する場合の一般論
8. 座標条件の第0成分
II.一般論の応用
9. l = 1次の近似
10. l = 2に対するΛの計算
11. ニュートンの運動方程式
12. γ(00)の規格化
13. l = 2の場の方程式の解
14. α(mn)およびα(0n)の決定
15. Λ(mn)の計算
16. l = 3に対する面積分
17. ニュートンの運動方程式からの主な違い
関連リンク：
アインシュタイン選集（１）
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/26d6fc929bf7b9f0fc1e2a210882f559
アインシュタイン選集（２）：読みはじめた
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/d3d0869ab3911e84845b5b121bd1aa3e
時空の幾何学：特殊および一般相対論の数学的基礎
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/ffc643a688ce45dec7460d107fe1392e
少年の頃の夢（の続き）
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/a6e4b9271cd56b2e85c3bdaa0b8b7cae
趣味で相対論
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