群論への30講：志賀浩二著

「群論への30講：志賀浩二著」

今日も地元のエクセルシオールカフェでお勉強。この本を読み終えた。

群論に対する苦手意識を取り払うには、この本をおいて他にないだろう。アマゾンのレビューでも知られているように志賀先生の「数学３０講シリーズ」は大学レベルの数学を（理系の）高校生や社会人にも理解できるほど身近かなものにしてくれる。自分で証明したり問題が解けるようになるわけではないが「（数学の）概念を理解したい」という要望にこれほど応えてくれる本はめずらしい。はしがきにも書いてあるように通勤電車で読める数学書なのだ。読み物風の教科書といった感じである。センス豊かな数学の感性を生き生きと伝えているシリーズなのだ。

かくいう僕も大学時代に群論を学んだ一人だが、残念ながら全く興味がもてなかった。群論は物理法則や「この世界のあり様」の根底に組み込まれている「対称性」と深く結びついている。それは形や位置の対称性はもとより運動やモノの存在自体の対称性、回転や無限の繰り返しというような対称性をも含んでいる。昨今は素粒子物理学における「対称性」や「超対称性」を理解するために必要不可欠な数学理論として知られている。

けれども僕が大学の専攻を選んだ１９８０年代前半は、続々と新素粒子が発見されていた時代で「素粒子や物理法則の対称性の重要性」は一般の人にはまだ認知されていなかったと思う。ましてそれが群論と関係しているのだということは大学受験に挑んでいた頃の自分には想像だにできていなかった。

群論を発展させたガロア理論によって５次以上の代数方程式を解くことができないということは知っていたが、僕の興味の対象ではなかった。微積分や微分方程式、解析学のほうが楽しいと思っていた。当時は今のようにわかりやすい群論の教科書はなく、定理の証明にただ苦心惨憺し、無理やり理解して頭に詰め込んだのが僕にとっての群論だった。面白いはずがなかった。インターネットはもちろんなく、群論を何のために勉強しているのか先輩や同級生に聞いても「そんなことも分からないのかよ～。」とか言われてはぐらかされるばかり。面白いかどうかはそもそも個人の主観の問題で、数学はそれとは関係なく進化していくものだからと自分自身を納得させ、楽しむことをあきらめて勉強していた。

大学時代にこの「群論への30講：志賀浩二著」に出会えていたらどんなによかったかと思う。僕が卒業してから２年後に出版されたのでそれは無理な話だが。５年前から物理学を勉強しはじめ、群論が物理学の理解にも大切なことがやっとわかってきた。

この本を読めば少なくとも以下のような群論のキーワードの意味は理解できるようになるはずだ。そもそも群論は高校までの数学には全く登場しないので難しく感じるのは無理はない。勉強したことのない者にとっては難解な用語の羅列だが、この本１冊読むだけですむのだからハードルは想像しているよりずっと低いところにある。理解できてしまえば何のことはない。ぜひ（気楽に）挑戦してみてほしい。

この本で学べる群論の概念：有限群と無限群、可換群と非可換群、置換群、対称群、群の同型、交代群、部分群、巡回群、群の位数、加群、乗法群、連続群、直交群、特殊直交群、準同型、群の表現、群の中心、群の直積、共役類、中心化群、正規部分群、商群、単純群、準同型定理、群の核、アーベル群、シロー群、ホモトピー類、ホモトピー群、生成元、自由群、交換子群、位相群、不変測度、群環、コンパクト群、既約性、可約性

もちろんこの本が理解できたからといって群論を制覇したなどと過信してはならない。あくまで入門書である。以下のページをご覧いただければわかるように群論の研究は現在もなお続いている。

有限単純群：
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~kitazume/simple.html

僕はこの本を読んで志賀先生のファンになったので、あと２冊ほど先生の本を読んでみることにした。（集合、位相の２冊）

群論についてのお勧めリンクを３つ紹介しておこう。１つめは僕のお気に入りの「悪魔の妄想」というブログのrikunoraさんによるものだ。

Gの夢 ～ 解けない方程式の謎を解く
http://galois.motion.ne.jp/
なぜ、５次方程式は代数的に解くことができないのか？
現代科学を支える「群論」って何だろう？
悲劇の天才が生んだ美しい数学理論を、物語仕立で分かりやすく解説します。

群論入門：
http://www.nurs.or.jp/~lionfan/ironna_05.html

有限群の広場：
http://sci.kj.yamagata-u.ac.jp/~waki/jpn/gap.html


関連記事（とね日記内）

有限群村の冒険 - あなたは数学の妖精を見たことがありますか？
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/0095b0117e2a01b09426ad56519e8211


「群論への30講：志賀浩二著」


目次：

第１講：シンメトリー
第２講：シンメトリーと群
第３講：群の定義
第４講：群に関する基本的な概念
第５講：対称性と正６面体群
第６講：対称群と交代群
第７講：正多面体
第８講：部分群による類別
第９講：巡回群
第１０講：整数と群
第１１講：整数の剰余類のつくる乗法群
第１２講：群と変換
第１３講：軌道
第１４講：軌道（つづき）
第１５講：位数の低い群
第１６講：共役類
第１７講：共役な部分群と正規部分群
第１８講：正規部分群
第１９講：準同型定理
第２０講：有限生成的なアーベル群
第２１講：アーベル群の基本定理の証明
第２２講：基本群
第２３講：生成元と関係
第２４講：自由群
第２５講：有限的に表示される群
第２６講：位相群
第２７講：位相群の様相
第２８講：不変測度
第２９講：群環
第３０講：表現


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