解析学入門のための教科書談義

今年アニメに初出演した「解析概論 改訂第3版 軽装版」

このところ解析学に萌えている。今日は雑談がてらに代表的な教科書をいくつか紹介することにした。これは４月から大学に通い始める新入生を意識した記事でもある。

高校数学しか知らなかった学生が大学の数学で最初に面食らうのが解析学なのだと思う。いきなり「数についての基礎」や「実数の連続性」から始まるのだから。当たり前じゃんと思っていたことをいちいち証明しなければならないまどろっこしさに戸惑った人もいたことだろう。

こういう厳密な証明を凄いと思うか、馬鹿馬鹿しいと思うかがその後の学習を大きく左右する。馬鹿馬鹿しいと思いながら続けていくとある日、急に面白くなったりするのだから。関数の連続性の証明に使われる「ε-δ論法」もそのような分岐点のひとつだと思う。

どの教科書がいちばんよいかを決めるのは難しいもので、先生や友達に聞いてもお勧め本は人それぞれ。学生のときに読んでいた教科書に愛着を持っているのが普通だから、どうしてもバイアスがかかる。

かくいう僕もぎりぎり高木貞治先生の「解析概論 改訂第３版」で勉強した世代だ。名著とはいえこの古い本を教科書に指定している大学は今ではおそらくないのだろうけれど。

初版（1938年）岩波書店
増訂版（1943年）岩波書店
改訂第3版（1961年）岩波書店
改訂第3版 軽装版（1983年）岩波書店
定本（2010年）岩波書店 - 補遺に黒田成俊「高木函数の解説」が追加。

「改訂第3版 軽装版」は今年アニメに登場してネット民たちを沸かせたことで知られている。

参考リンク：「(祝)解析概論アニメ出演」、「あるアニメの中の解析概論」
アニメのこの回は次のリンクから視聴できる。： ニコニコ動画　動画検索

今でも十分通用する教科書なのだけれども「古い」と言う人もいる。それが「関数」を「函数」と表記していることだけでないのはわかっているが、具体的にどのようなことを指して言っているのだろう。そのことは今後ゆっくり調べてみるとして、差し当たり世代に分けて紹介してみよう。


大魔神、ジャイアントロボ世代

　

大魔神の映画が公開されたのが1966年、ジャイアントロボがテレビ放送されたのが1967年～1968年である。「微分積分学の史的展開 ライプニッツから高木貞治まで」をお書きになった高瀬正仁先生は1951年生まれだから先生は15歳から17歳だ。大魔神やジャイアントロボをご覧になっていたかどうかはわからないがこの世代の方である。僕は大魔神は見ていなかったがジャイアントロボの頃は６歳なのでよく覚えている。（大魔神やジャイアントロボをご覧になりたい方のためにコメント欄にYouTube動画を紹介しておいた。）

この世代が大学に入学した頃の教科書はもちろん「解析概論 改訂第3版」のハードカバー版。ぎりぎり僕の世代までということになるが、永遠の名著といわれるこの教科書に愛着を持つのは無理もないことだ。

この写真の左の本は第２版


今お求めになるのなら2010年に刊行された軽装版の「定本 解析概論：高木貞治」がよい。La TeXを使って美しく組み直されているにもかかわらず「関数」は「函数」のままである。実解析（実数関数の微分積分学）と複素解析（複素関数の微分積分学）の両方を含んでいる。記述に味わいのある教科書だ。章立ては次のとおり。

改訂第三版序文
改訂第二版序文
第一版緒言
定理索引
第１章：基本的な概念
第２章：微分法
第３章：積分法
第４章：無限級数、一様収束
第５章：解析函数、とくに初等函数
第６章：Fourier式展開
第７章：微分法の続き（陰伏函数）
第８章：積分法（多変数）
第９章：Lebesgue積分
附録I：無理数論
附録II：二、三の特異な曲線
補遺：いたるところ微分不可能な連続函数について（黒田成俊）

紹介記事はこちら。

定本 解析概論：高木貞治
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/cf579e91cb873cda1126e70a6bd3def2


マジンガーＺ、グレートマジンガー世代

　

マジンガーＺのテレビ放送は1972年～1974年、グレートマジンガーは1974年～1975年である。僕はマジンガーＺは見ていたがグレートマジンガーは記憶にない。

この世代が大学生になったのは1980年代の初め。この頃出版された教科書で有名なのは杉浦光夫先生の1980年刊行の「解析入門 I」と1985年刊行の「解析入門 II」だ。演習書も1989年に「解析演習」として刊行されている。ちなみにこの教科書と演習書はKindle化されている。（Kindle版を確認）



この２冊は今回紹介する中ではいちばん難しい。記述に無駄がなく証明も厳密で「必要なことがぎっしり詰まっている」という印象。「解析概論」とは趣が全く違って「固い」感じ。特に「解析入門 II」には多様体の入門やベクトル解析に多くのページが割かれている。そのぶん他の項目の記述の密度が増しているわけだ。

僕はマジンガーＺ世代なので大学時代にこの本を見かけたことはあるが、当時出版されたばかりなので教科書としては採用されていない。教科書として定着するためには少なくとも数年はかかる。

以下はこの２冊の章立てだが、多様体は２冊目の第１章「陰函数」に含められている。

「解析入門 I」

第１章：実数と連続
第２章：微分法
第３章：初等関数
第４章：積分法
第５章：級数
附録１：集合
附録２：論理記号

「解析入門 II」

第１章：陰函数
第２章：積分法（続き）
第３章：ベクトル解析
第４章：複素解析


ガンダム世代

　　

機動戦士ガンダムのテレビ放送は初代ガンダムが1979年～1980年で、その後、初代のも含めて2009年までに１３作品が放送された。そして2009年の機動戦士ガンダム00シリーズを小学生のときに見ていた子供たちが今年あたりから大学に入学してくるのである。（現在もガンダムのシリーズは「機動戦士ガンダム 鉄血のオルフェンズ」としてテレビ放送が続いている。）

ガンダム世代の学生たちが目にした教科書でいちばん好評なのが小平邦彦先生の著書２冊である。「解析入門」と「複素解析」（紹介記事）で、どちらも1991年に刊行された。実解析と複素解析が１冊ずつの構成だ。その後「解析入門」のほうは2003年に「軽装版 解析入門 I」と「軽装版 解析入門 II」のカラフルな表紙の２分冊として刊行されている。



小平先生によるこの教科書２冊は直観的な理解を助ける記述や図版、そして証明も厳密に書かれているのでとてもバランスがよい。高校数学の気分が抜けきらない学生にも抵抗なく受け入れられるように配慮されている。また「解析概論」を参考にして書かれているので新旧の本のよいところを兼ね備えている。新しいだけに研究され尽くされている教科書なのだ。２冊目の「複素解析」では「等角写像」や「解析接続」を詳しく解説し、特に「リーマン面」について非常に多くのページを割いているのがよいところだ。「函数」はようやく「関数」と表記されるようになった。

章立てはこのとおり。

「解析入門」

第１章：実数
第２章：関数
第３章：微分法
第４章：積分法
第５章：無限級数
第６章：多変数の関数
第７章：積分法（多変数）
第８章：積分法（つづき）
第９章：曲線と曲面

「複素解析」（紹介記事）

第１章：正則関数
第２章：Cauchyの定理
第３章：等角写像
第４章：解析接続
第５章：Riemannの写像定理
第６章：Riemann面
第７章：Riemann面の構造
第８章：閉Riemann面上の解析関数


その他の名著



「ラングの解析入門」の日本語版が刊行されたのは1978年と1981年なので初代ガンダム世代ということになるのだろう。この教科書はあまりにも有名なので触れておくべきだろう。S.ラングによる「解析入門 (原書第3版)」と「続 解析入門 (原書第2版)」のことである。



この教科書はこれまでに紹介した純日本産の教科書とまったく違い、軽妙な語り口で書かれている。１冊目はレベルも高校生に合わせているので数学IIIの復習から始まっている。最初のうちは数学専攻の学生には易しすぎるだろう。

翻訳のもとになっているのはそれぞれ「A First Course in Calculus 3rd Edition」と「Calculus of Several Variables 2nd Edition」である。１冊目は１変数の微積分、２冊目は偏微分、重積分、ベクトル解析、線形代数が中心で物理学への応用を意識している。詳しい目次はAmazon英語版のページから見れるので参考にしてほしい。（上記の英語版のリンクはそれぞれ最新版が開くようにしておいた。）

複素解析の英語版は「Complex Analysis 4th Edition」として出ているので、日本語版の２冊は実解析だけの教科書であり、複素解析は含まれていない。


最近新装版として名著が復刊した。次の２冊はおがわけんたろうさん（@KentaroOgawa）から教えていただいたものだ。東大教養学部で使われた名教科書が復活!ということである。複素関数論とあわせてどうぞ。

「新しい解析入門コース[新装版]：堀川穎二」（詳細）
「複素関数論の要諦[新装版]：堀川穎二」（詳細）

　

これらの教科書の感想、紹介は次の記事でお読みいただける。

堀川先生三部作とキング・クリムゾンの頃
http://d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20150904/1441393304

読者に優しい数学書を書く技術
http://d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/touch/20101025/1288006574


ここまでに紹介してきたのは解析学の理論の教科書だ。厳密に証明を重ねていくことで微分積分が構成されていくさまを学ぶための本である。

微分積分を使いこなすのはまた別の話。試験に出たり、実際に役に立つのは微分積分を解くための技術だ。そのために理学部、工学部の学生すべてが演習書でトレーニングすることになる。そして線形代数学も同様だ。どちらも大学数学の基本中の基本である。

演習書は数多く出ているのでどれがよいか決めるのほとんど不可能。大学で指定された本や自分の好みやレベルに合わせて買うのがいちばんよいと思う。

僕が大学生の頃に使っていたのは1979年刊行の「詳説演習微分積分学」と1981年刊行の「詳説演習線形代数学」だ。先日格安のものを見つけたので懐かしさが手伝って購入しておいた。どちらも古いロングセラーの本だが、現在でもじゅうぶん通用するので最後に紹介しておいた。






今日の記事はここまでとしよう。


関連記事：

大学で学ぶ数学とは（概要編）
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線形代数学入門のための教科書談義
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ちょっと気になる常微分方程式の本
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/779e59b0996c582373308c0a4facf16f

定本 解析概論：高木貞治
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/cf579e91cb873cda1126e70a6bd3def2

岡潔／多変数関数論の建設：大沢健夫
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/e059394599194c8763006c8195df95a0

ヴィジュアル複素解析
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/2f47e7b748d4ca7022dc53305388a00b

なっとくする複素関数：小野寺嘉孝
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/de4d9ea37c56d434505002d35e0132bf

発売情報： 藤原松三郎の「代数学」「微分積分学」が新装復刊
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/140799e9f304a45fe4d94ec4461ee7ec


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