大人の数学教室132(三角比⑦)

【第7章】

(7)特別な角の三角比

①θ=0° P(1,0), OP=1

sin0°=0,cos0°=1, tan0°=0

②θ=90° P(0,1) OP=1

sin90°=1,cos90°=0, tan90°はなし

③θ=180° P(-1,0) OP=1

sin180°=0, cos180°=0, tan180°=0

❲180°-θ の三角比❳

0°<θ<90° のとき、

点P は第1象限の点でP(b,a) とする。

sinθ=a/OP, cosθ=b/OP, tanθ=b/a

90°<180°-θ<180° だから、

点P’ は第2象限の点で、x軸に垂線を引いてx 軸との交点をQ’ とすれば、△OPQ≡△OP’Q’ なので、P’(-b,a)

sin(180°-θ)=b/OP, cos(180°-θ)=-a/OP

tan(180°-θ)=-a/b

したがって、

sin(180°-θ)=sinθ

cos(180°-θ)=-cosθ

tan(180°-θ)=-tanθ

90°<θ<180° のとき、

α=180°-θ とおくと、0<α<90° で、

90°<180°-α<180° だから、上の結果より

sin(180°-α)=sinα

→ sinθ=sin(180°-θ)

→sin(180°-θ)=sinθ

cos(180°-α)=-cosα

→ cosθ=-cos(180°-θ)

→cos(180°-θ)=-cosθ

tan(180°-α)=-tanα

→ tanθ=-tan(180°-θ)

→ tan(180°-θ)=-tanθ

180°-θ の三角比

sin(180°-θ)=sinθ

cos(180°-θ)=-cosθ

tan(180°-θ)=-tanθ

この式を利用すると、鈍角の三角比を鋭角の三角比で表すことができる。三角比の表を利用すれば、値が分かる。

例)sin126°=sin(180°-54°)=sin54°

④ θ=120°=180°-60°

sin120°=√3/2, cos120°=-½,

tan120° =-√3

⑤ θ=135°=180°-45°

sin135°=1/√2, cos135°=-1/√2,

tan135°=-1

⑥ θ=150°=180°-30°

sin150°=½, cos150°=-√3/2,

tan150°=-1/√3

特別な角を表にすると、

時事川柳【2020/12/17】

何事も 例外ありと 範垂れる (鯉正)

(2020/12/17)

菅義偉首相が「GoToトラベル」の年末年始の全国一斉停止を表明した14日夜に銀座のステーキ店で8人で会食した。

内閣官房は、大人数、例えば５人以上の

の会食を避けるように呼び掛けている。

「目的と感染防止対策を徹底できるかどうかバランスの中で個別に判断していくことが重要」と加藤勝信官房長官。

14日の目的がなんだったか分からないが、現在徹底してない飲食店は少ない現在、40分まで、8人までは会食しても問題ないらしい。忘年会や新年会シーズン前に。

「ありがとう首相」

【範(はん)を垂れる】

みずから手本を示す。

【隗より始めよ】

「大事業などの遠大な計画は手近なところから行うとよい」という意味の表現、あるいは、「物事に挑戦するに当たっては最初に言い出した者がまずは取り組むべきだ」という意味の表現。

大人の数学教室131(三角比⑥)

【第6章】

(6)角の拡張

一般の三角形で利用できるようにしたい。

以下△ABC と表すときは、一般の三角形とする。(直角三角形とは限らない。)

90°より小さい角を「鋭角」という。

90°より大きい角を「鈍角」という。

❲座標を利用した三角比の定義❳

点P(b,a) を第1 象限の点とする。点Pからx 軸に垂線を引き、x軸との交点をQ とする。△OPQ は、角Qが直角な直角三角形になる。r=OP, ∠POQ=θ とすると、

sinθ=a/r, cosθ=b/r, tanθ=b/a

ここで、(※)

sinθ=(Pのy座標)/OP

cosθ=(Pのx座標)/OP

tanθ=(Pのy座標)/(Pのx座標)

となっている。

原点O を中心に半径rの半円を考える。

x軸上の正の部分の交点をS とする。

点Pが半円上にあるとし、∠SOP=θ とすると、(※)によって定義する。直角三角形のできないときも三角比を考えることができる。

直線OP の傾きが tanθ である。

半径1 の半円で考えると、

点Pの座標は、P(cosθ,sinθ) となる。

❲三角比の符号と値の範囲❳

0°≦θ≦180°のとき、

0≦sinθ≦1

-1≦cosθ≦1

tanθはすべての値

大人の数学教室130(三角比⑤)

【第5章】

(5)三角比の相互関係①

tanA=BC/AC=sinA/cosA …①

三平方の定理より、(AC)^2+(BC)^2=12

(sinA)^2+(cosA)^2=1 …②

② の両辺を(cosA)^2 で割ると、

(sinA)^2/(cosA)^2+1=1/(cosA)^2

① より、

(tanA)^2+1=1/(cosA)^2 …③

三角比の相互関係

① tanA=sinA/cosA

② (sinA)^2+(cosA)^2=1

③ 1+(tanA)^2=1/(cosA)^2

三角比の1つから他の2つを求めることができる。

(i) sinA →②→ cosA →①→ tanA

(ii) cosA →②→ sinA →①→ tanA

(iii) tanA→③→ cosA →①→ sinA

例)cosA=4/5のとき、sinA, tanAの値を求めよ。

(sinA)^2+(cosA)^2=1より、

(sinA)^2=1-(4/5)^2=9/25

0＜sinA＜1より、sinA=3/5

tanA=sinA/cosA=(3/5)/(4/5)=3/4

例)tanA=2のとき、sinA, cosAの値を求めよ。

1/(cosA)^2=1+(tanA)^2=1+2^2=5

(cosA)^2=1/5

0＜cosA＜1より、cosA=1/√5=√5/5

sinA/cosA=tanAより、

sinA=cosA×tanA=(2√5)/5

❲90°-A の三角比❳

△ABC において、B=90°-A

sinB=AC/AB=cosA

cosB=BC/AB=sinA

tanB=AC/BC=1/tanA

よって、

sin(90°-A)=cosA

cos(90°-A)=sinA

tan(90°-A)=1/tanA

011 【都道府県名しりとり】

@011【都道府県名のしりとり】

もし私が社長だったら、入社試験で次のような問題を出してみたい。

「都道府県名でしりとりをするとき、一番長く繋げるとどのようになるか？

注意-インターネットを利用してもよい。出来たら提出して帰ってもよい。」

こんな問題が出されたら、どのような行動をとるだろうか。スマートフォンでインターネット検索かければ、答えがあって、それを書いて提出。5分とかからない作業だ。しかしインターネットでは結果はあるが、それが一番長いことを示しているサイトは１つしかありませんでした。(プログラムを示しているのがもう１つ)《2017/12/19調べ》(※)

一番長いことを示しているサイトを理解して、答案に書くとすると、数十分は必要です。「一番長いこと」も示しているもののみ正解とします。

ちなみに、福井-茨城-京都-栃木-岐阜-福岡-(神奈川・香川)-和歌山 が答えです。

この問題の出題意図は、結果だけでなく、その結果にたどり着く途中もしっかり表現できるかどうかである。それは、どうしてそのなのかを説明できる能力・姿勢に繋がる。

(2017/12/19)

(※)2017/12/22にブログにアップしたので、理由のあるサイトは2つになりました。