【第12章】
(12)2次関数のグラフと方程式
y=ax^2+bx+cのグラフとx軸との共有点のx座標は、ax^2+bx+c=0の実数解である。
D＞0 ⇔ 共有点2個
D=0 ⇔ 共有点1個
D＜0 ⇔ 共有点0個(共有点なし)
例)y=x^2-kx+5のグラフがx軸と2点で交わるようなkの値の範囲を求めよ。
【解】
D=k^2-20
x軸と2点で交わるから、D＞0
k^2-20＞0
(k+2√5)(k-2√5)＞0
よって、k＜2√5, 2√5＜k
(13)2次関数のグラフと不等式
y=ax^2+bx+cのグラフがx軸より上にあるxの範囲が、ax^2+bx+c＞0の解
すべてのxに対してax^2+bx+c＞0
⇔
y=ax^2+bx+cのグラフが常にx軸より上
⇔
a＞0, D=b^2-4ac＜0
すべてのxに対してax^2+bx+c＜0
⇔
y=ax^2+bx+cのグラフが常にx軸より下
⇔ a＜0, D=b^2-4ac＜0
すべてのxに対してax^2+bx+c≧0
⇔ a＞0, D=b^2-4ac≦0
(関数のグラフと不等式)
一般にグラフの位置関係と不等式には次の関係がある。
y=f(x)のグラフがy=g(x)のグラフより上にあるxの範囲
⇔
不等式f(x)＞g(x)の解
