2次式の因数分解
P=5x^2-11x+2
y=5xとする。
5P=25x^2-55x+10=y^2-11y+10
=(y-10)(y-1)=(5x-10)(5x-1)=5(x-2)(5x-1)
よって、P=(x-2)(5x-1)
たすき掛けの本質は、
acx+(ad+bc)x+bdから、a,b,c,dを見つける計算である。
P=acx^2+(ad+bc)x+bd
y=acxとする。
acP=(acx)^2+(ad+bc)acx+acbd
=y^2+(ad+bc)y+abcd
=(y+bc)(y+ad)
=(acx+bc)(acx+ad)
=c(ax+b)×a(cx+d)=ac(ax+b)(cx+d)
よって、P=(ax+b)(cx+d)
(※)P=ax^2+bx+c
y=axとする。
aP=y^2+by+ac
【例①】
P=3x^2-7x-6
y=3xとする。
3P=9x^2-21x-18=y^2-7y-18
=(y-9)(y+2)
=(3x-9)(3x+2)=3(x-3)(3x+2)
P=(x-3)(3x+2)
【例②】
P=6x^2+x-15
y=6xとする。
6P=36x^2+6x-90=y^2+y-90
=(y+10)(y-9)
=(6x+10)(6x-9)=2(3x+5)×3(2x-3)
P=(3x+5)(2x-3)
(※)係数が大きくなると、
yの2次式の因数分解で大変な場合もある。
【例③】
P=48x^2-115x-150
y=48xとする。
48P=(48x)^2-115(48x)-150×48
=y^2-115y-150×48
=(y-160)(y+45)
=(48x-160)(48x+45)
=16(3x-10)×3(16x+15)
=48(3x-10)(16x+15)
P=(3x-10)(16x+15)
【x^2+bx+c→α+β=b, αβ=cとなるα,β】
①p^2がcの因数で、pがbの因数である最大なものをpとする。
②s+t=b/p, st=c/p^2→s,tを見つける
(s,tは互いに素)
(※)s,tは互いに素だから、累乗はひとまとまりで考える。
③(α,β)=(ps,pt)
④x^2+bx+c=(x+α)(x+β)
-115=-5×23
-150×48=-2×3×5^2×2^4×3=-2^5×3^2×5^2
p=5
s+t=-23, st=-2^5×3^2=-32×9
→(s,t)=(-32,9)→(α,β)=(-160,45)
(※)2021/7/2【海外のたすき掛け】参照
(2023/3/17)
