【共役な複素数】

f(x)を実数係数の整式とする。
f(a+bi)=p+qiのとき、f(a-bi)=p-qi

p,qは実数とする。

を証明せよ。

【証明】
f(x)=Σ《k=0,…,n》(t[k]x^k)とする。
t[k]は実数

a+bi=r(cosθ+isinθ)とする。
ド・モアブルの公式より、
(a+bi)^k=r^k{cos(kθ)+isin(kθ)}

a-bi=r(cosθ-isinθ)
ド・モアブルの公式より、
(a-bi)^k=r^k{cos(kθ)-isin(kθ)}

(a+bi)^k=p[k]+q[k]iのとき、
p[k], q[k]は実数
p[k]=r^k×cos(kθ), q[k]=r^k×sin(kθ)
(a-bi)^k=r^k×cos(kθ)-{r^k×sin(kθ)}i
=p[k]-q[k]i

f(a+bi)=Σ{t[k](a+bi)^k}
=Σ{t[k](p[k]+q[k]i)}
=Σ(t[k]p[k])+Σ(t[k]q[k])i=p+qiより、

f(a-bi)=Σ{t[k](a-bi)^k}
=Σ{t[k](p[k]-q[k]i)}
=Σ(t[k]p[k])-Σ(t[k]q[k])i=p-qi
【証明終】

これを利用すると、
f(a+bi)=0ならば、f(a-bi)=0
となり、
x=a+biがf(x)=0の解のとき、x=a-biも解になることが分かる。