大人の数学教室137(三角比⑫)

【第12章】

2点間の距離の公式

(詳しくは後に解説する。知らない人は飛ばして(12)に進むか、ふむふむそんな公式があるのかと思って読んでください。)

座標平面上にA(a,b), B(s,t)の2点がある。

2点A,B間の距離ABは

AB=√{(s-a)^2+(t-b)^2}

【余弦定理の証明<2点間の距離>】

a^2=b^2+c^2-2bc×cosA を示す。他の2つも同様に示すことができる。

A(0,0),B(c,0),C(b×cosA,b×sinA) となるように、△ABC を座標平面上に置く。

BC^2

=(b×cosA-c)^2+(b×sinA)^2

= b^2×(cosA)^2-2bc×cosA+c^2

+b^2×(sinA)^2

=b2×{(sinA)^2+(cosA)^2}

+c^2-2bc×cosA

よって、

a^2=b^2+c^2-2bc×cosA

【証明終】

(12)余弦定理を使える場合

①3辺と1角の関係

具体的な使い方は、

A- 2辺とそのはさむ角→対辺

B- 3辺→角の余弦→角

例)b=3,c=4, A=30°のとき、aを求めよ。

余弦定理より、

a^2=3^2+4^2-2×3×4×sin30°

=9+16-12=13

a＞0より、a=√13

例)a=7, b=5, c=8のとき、Aを求めよ。

余弦定理より、

cosA=(5^2+8^2-7^2)/(2×5×8)=1/2

よって、A=60°

大人の数学教室136(三角比⑪)

【第11章】

(11)余弦定理

a^2=b^2+c^2-2bc×cosA

b^2=c^2+a^2-2ca×cosB

c^2=a^2+b^2-2ab×cosC

上の式を変形して、

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)

cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)

cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

【余弦定理の証明】

a^2=b^2+c^2-2bc×cosA を示す。他の2つも同様に示すことができる。

A(0,0),B(c,0),C(b×cosA,b×sinA) となるように、△ABC を座標平面上に置く。

点C からx 軸への垂線の足をH とする。

CH=b×sinA

(i) A<90° かつ B<90° のとき

H は辺AB の内部にある。

AH=b×cosA, BH=c-b×cosA

△CHB は直角三角形だから、BC^2=CH^2+BH^2

=(b×sinA)^2+(c-b×cosA)^2

=b^2×(sinA)^2

+c^2-2bc×cosA+b^2×(cosA)^2

=b^2×{(sinA)^2+(cosA)^2}

+c^2-2bc×cosA

よって、

a^2=b^2+c^2-2bc×cosA

(ii)A<90° かつ B=90°のとき

H=B だから、b×cosA=c

△ABC は直角三角形だから、

BC^2=AC^2-AB^2 より、a^2=b^2-c^2

b^2+c^2-2bc×cosA=b^2+c^2-2c^2

=b^2-c^2=a^2

(iii)A<90° かつ B>90° のとき

Hは線分ABのBの外側にある。

AH=b×cosA, BH=b×cosA-c

△CHBは直角三角形だから、

BC^2=CH^2+BH^2

=(b×sinA)^2+(b×cosA-c)^2

=b^2×(sinA)^2

+b^2×(cosA)^2-2bc×cosA+c^2

=b^2×{(sinA)^2+(cosA)^2}

+c^2-2bc×cosA

よって、

a^2=b^2+c^2-2bc×cosA

(iv)A=90° のとき

△ABC は直角三角形だから、BC^2=AC^2+AB^2

a^2=b^2+c^2

b^2+c^2-2b×cosA

=b^2+c^2-2bc×cos90°=b^2+c^2=a^2

(v)A>90° のとき、cosA<0

H は線分ABのAの外側にある。

AH=-b×cosA, BH=c-b×cosA

△CHBは直角三角形だから、

BC^2=CH^2+BH^2

=(b×sinA)2+(c-b×cosA)2

=b^2×(sinA)^2

+c^2-2bc×cosA+b^2×(cosA)^2

=b2×{(sinA)^2+(cosA)^2}

+c^2-2bc×cosA

よって、

a^2=b^2+c^2-2bc×cosA

【証明終】

余弦定理より、

①C＜90° ⇔ cosC>0

⇔ a^2+b^2-c^2>0 ⇔ a^2+b^2＞c^2

②C=90° ⇔ cosC=0

⇔ a^2+b^2-c^2=0 ⇔ a^2+b^2=c^2

③C＞90° ⇔ cosC=0

⇔ a^2+b^2-c^2<0 ⇔ a^2+b^2＜c^2

C＜90°⇔a^2+b^2＞c^2

C=90°⇔a^2+b^2=c^2

C＞90°⇔a^2+b^2＜c^2

大人の数学教室135(三角比⑩)

【第10章】

(10)正弦定理を使える場合

①2辺と2角

②外接円の半径と1辺

③外接円の半径と1角

正弦定理より、

sinA:sinB:sinC=a:b:c

例)A=45°,B=75°,a=2のとき、cを求めよ。

C=180°-(A+B)=60°

正弦定理より、

c/sin60°=2/sin45°

csin45°=2sin60°

c×1/√2=2×√3/2

よって、c=√6

(別解)

正弦定理より、

a:c=sinA:sinC=sin45°:sin60°=√2:√3

√2c=2√3

c=√6

例)A=60°, a=3のとき、外接円の半径を求めよ。

正弦定理より、

2R=3/sin60°=6/√3=2√3

よって、R=√3

例)△ABCが半径2の円に内接している。

A=45°のとき、aを求めよ。

正弦定理より、

a/sin45°=2×2

a=4sin45°=2√2

大人の数学教室134(三角比⑨)

【第9章】

(9)正弦定理

正弦定理

△ABCにおいて、外接円の半径をRとする。

a/sinA = b/sinB = c/sinC =2R

【正弦定理の証明】

△ABC の外接円の中心をO とし、半径をR とする。a/sinA=2R を示す。

(i)辺BC が直径の場合

A が円周上の点だから∠BAC=90°

a=2R

a/sinA=2R/sin90°=2R

(ii)辺BCが直径でない場合

円周は長さの異なる2 つの弧に分かれる。

(ii)-1 頂点A が長い弧上の点の場合

直線OBと、点B と異なる円との交点をD とする。BD は直径だから、∠BCD=90°

弧⌒BCの円周角だから、A=∠BAC=∠BDC

sin∠BDC=BC/BD=a/2R

よって、sinA=a/2R a/sinA=2R

(ii)-2 頂点A が短い弧上の点の場合

長い弧上に点E をとると、(ii)-1より

sin∠BEC=a/2R

また、四角形ABEC は円に内接する四角形である。

∠BAC+∠BEC=180° だから、

∠BAC=180°-∠BEC

sinA=sin∠BAC=sin(180°-∠BEC)

=sin∠BEC=a/2R

よって、a/sinA=2R

【証明終】

(対辺)-(対角)がペアになっている。

大人の数学教室133(三角比⑧)

【第8章】

(8)三角比の相互関係②

座標による定義でも、(5)同様の相互関係が成り立つ。

三角比の相互関係

① tanθ=sinθ/cosθ

② (sinθ)^2+(cosθ)^2=1

③ 1+(tanθ)^2=1/(cosθ)^2

例)sinθ=5/13のとき、cosθ, tanθの値を求めよ。

(sinθ)^2+(cosθ)^2=1より、

(cosθ)^2=1-(sinθ)^2=1-25/169=144/169

cosθ=±12/13

cosθ=12/13のとき、tanθ=5/12

cosθ=-12/13のとき、tanθ=-5/12

(※ 三角比の値の範囲に注意)

0°≦θ≦180°のとき、

0≦sinθ≦1

-1≦cosθ≦1

tanθはすべての値