【倍数の判定Part②】

【倍数の判定法】

pは10と互いに素とする。

10x≡1 (mod p)の解を、x≡t (mod p)

a+tb≡0 (mod p)↔10a+b≡0 (mod p)

【例】7の倍数

10x≡1 (mod 7)

10x≡1+7×(-3)≡-20→x≡-2≡5

a-2b≡0 (mod 7)↔10a+b≡0 (mod 7)

a+5b≡0 (mod 7)↔10a+b≡0 (mod 7)

【例】13の倍数

10x≡1 (mod 13)

10x≡1+13×3≡40→x≡4

a+4b≡0 (mod 13)↔10a+b≡0 (mod 13)

【例】63の倍数

10x≡1 (mod 63)

10x≡1+63×3≡190→x≡19

a+19b≡0 (mod 63)

↔10a+b≡0 (mod 63)

【証明】

pと10は互いに素だから

ps+10t=1を満たす整数(s,t)が存在する

10a+b

=10a+(ps+10t)b=10(a+tb)+psb

よって、

a+tb≡0 (mod p)

↔10a+b≡0 (mod p)

tを考えると、10t≡1 (mod p)

tは、10x≡1 (mod p)の解である。

(2024/7/16)

【例】n=123456は7 の倍数か？

a+5b≡0 (mod 7)↔10a+b≡0 (mod 7)

12345+30=12375

1237+25=1262

126+10=136

13+30=43

n=123456は7の倍数でない。

(※)123456=7×17636+4

a-2b≡0 (mod 7)↔10a+b≡0 (mod 7)

を利用してもOK

【例】n=122667は31の倍数か？

10x≡1 (mod 31)

10x≡1-31≡-30→x≡-3

a-3b≡0 (mod 31)↔10a+b≡0 (mod 31)

12266-21=12245

1224-15=1209

120-27=93

9-9=0

n=122667は31の倍数である。

(※)122667=31×3957

【例】2021は43の倍数か？

10x≡1 (mod 43)

10x≡1+43×3≡130→x≡13≡-30

a+13b≡0↔10a+b≡0↔a-30b≡0

2021→202+13=215→21+65=86=43×2

2021→202-30=172→17-60=-43

2021は43 の倍数

(※)2021=43×47

計算が楽な方でやる。

【京大の問題にチャレンジ②】

【2018年】

P=n^3-7n+9が素数となる整数nをすべて求めよ。

a≡0, b≡1, c≡-1 (mod 3)のとき

p=a+b+c→p≡0

q=ab+bc+ca→q≡-1

r=abc→r≡0

とする。

a,b,cは、x^3-px^2+qx-r=0の解

P=n^3-pn^2+qn-r+3が素数となる整数n

=(n-a)(n-b)(n-c)+3

p=3s, q=3t-1, r=3uとおける。

P=n^3-3sn^2+(3t-1)n-3u+3

=n^3-n-3sn^2+3tn-3u+3

=(n^3-n)-3(sn^2-tn+u-1)

=n(n+1)(n-1)-3(sn^2-tn+u-1)

n(n+1)(n-1)は3の倍数だから、

Pは3の倍数

Pは素数だから、P=3

P=n^3-pn^2+qn-r+3=3

n^3-pn^2+qn-r=0だから、

n=a,b,c

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a≡0, b≡1, c≡-1 (mod 3)のとき、

P=(n-a)(n-b)(n-c)は3の倍数

P+3が素数となる整数nは、

a,b,cである。

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【例】a=-3, b=1, c=2

(n+3)(n-1)(n-2)=n^3-7n+6

P=n^3-7n+9が素数となる整数nは、

-3,1,2→【2018 入試問題】

P=n^3+sn^2+tn+u

s≡u≡0 (mod 3)

t≡-1 (mod 3)

のとき、Pは3の倍数

【例】a=3, b=-2, c=2

p=3, q=-6-4+6=-4, r=-12

P=n^3-3n^2-4n+15が素数となる整数n

【解】

P=n^3-n-3n^2-3n+15

=n(n+1)(n-1)-3(n^2-n+5)

n(n+1)(n-1)は3の倍数だから、

Pも3の倍数

Pは素数だから、P=3

n^3-3n^2-4n+15=3

n^3-3n^2-4n+12=0

n^2(n-3)-4(n-3)=0

(n-3)(n^2-4)=0

(n-3)(n+2)(n-2)=0

よって、n=3,-2,2

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a≡0, b≡1, c≡-1, d≡2, e≡-2 (mod 5)

P=(n-a)(n-b)(n-c)(n-d)(n-e)は5の倍数

P+5が素数となる整数nは、

a,b,c,d,eである。

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P=n^5+pn^4+qn^3+rn^2+sn+t

p≡q≡r≡t≡0 (mod 5)

s≡4≡-1 (mod 5)

とき、Pは5の倍数

(2024/6/30)

【分数の割り算】

【分数の掛け算】

(5/7)×(4/3)=(5×4)/(7×3)=20/21

分数の掛け算は、分母同士分子同士を掛ける。

【約分】

分母と分子が等しい分数は1

分母分子に同じ数を掛けても等しい

(5×3)/(7×3)=(5/7)×(3/3)=(5/7)×1=(5/7)

【逆数】

(4/3)×(3/4)=(4×3)/(3×4)=12/12=1

分母と分子を入れかえたものを、

元の数の「逆数」という。

【割り算の計算】

5÷7=5/7 →割り算と分数の関係

1.2÷0.3=(1.2/0.3)=(1.2/0.3)×1

=(1.2/0.3)×(10/10)

=(1.2×10)/(0.3×10)

=(1.2×10)÷(0.3×10)

よって、

1.2÷0.3=(1.2×10)÷(0.3×10)=12÷3=4

割り算の計算では

割られる数と割る数に同じ数を掛けて

計算してもよい。

割る数の逆数を掛ける。

(5/7)÷(4/3)

={(5/7)×(3/4)}÷{(4/3)×(3/4)}

={(5/7)×(3/4)}÷1

=(5/7)×(3/4)

したがって

(5/7)÷(4/3)=(5/7)×(3/4)

【分数の割り算】

分数の割り算は、

割る数の分母分子を入れかえて

掛けることと同じである。

分数の割り算は、割る数の逆数を掛ける

(2024/7/2)

不等式の証明

a＞25のとき、√a-√(a-9)＜1を証明せよ。

大小関係

45-√2023と5-√23の大小関係を求めよ。