【油分け算】

映画「ダイ・ハード3」の中に次の問題がある。

３ガロンと５ガロンの容器を使って、４ガロンの水を量りとれ

和算書『塵劫記』(1627)にも似た問題がある。

1斗(10升)の油を7升枡と3升枡を使って5升ずつにわける

これを解くには、「一次不定方程式」を考えればよい。

3x+5y=4の整数解が答えになる。

解(x,y)=(-2,2),(3,-1),…

(-2,2)⇒[方針]5ガロンの容器で2回汲み、3ガロンの容器で2回捨てる

[3ガロン,5ガロン]

→[0,5]→[3,2]→[0,2]→[2,0]→[2,5]→[3,4]

→[0,4]

(3,-1)⇒[方針]3ガロンの容器で3回汲み、5ガロンの容器で1回捨てる

[3ガロン,5ガロン]

→[3,0]→[0,3]→[3,3]→[1,5]→[1,0]→[0,1]

→[3,1]→[0,4]

不定方程式だから他にも解はあるが、手数の少ないのはどちらかだろう。(-2,2)が最小回数か。

『塵劫記』7x+3y=5の解は、

(x,y)=(2,-3)(-1,4)

(2,-3)→[方針]10升枡から7升枡に2回、3升枡から10升枡に3回移す。

[10升枡,7升枡,3升枡]

→[10,0,0]→[3,7,0]→[3,4,3]→[6,4,0]→[6,1,3]

→[9,1,0]→[9,0,1]→[2,7,1]→[2,5,3]→[5,5,0]

油分けの問題は、一次不定方程式を解き、方針にしたがって解けばよい。

(2025/3/13)

【30を言ったら負けゲームPart2】

30を言ったら負けゲームをテレビで見た。

4人ぐらいがゲームをするのだが、ある特定の人物だけが負ける。他の3人がグルになっているは分かったが、その仕組みが分からなかった。

順々に一人が1個か2個言って数字を進め、30を言ったら負けになるというゲームである。

ABCDの4人で、Aをターゲットにする。

BCDが結託すれば、Aの言った個数に関わらず、4人の言った個数を5~7個にすることができる。

例えば、6としよう。

Aが1個のとき、BCDの2人が2個、1人か1個

Aが2個のとき、BCDの1人が2個、2人が1個

Dが29を言ってAに回せば良い。

29≡5 (mod 6)だから、

Dは6で割って5余る数5,11,17,23,29を言ってAに回せば良い。

BCDの2個言う人を固定しなければバレにくいだろう。

n人がゲームをする。一人が1個からk個まで言える。Mを言った人が負け。

n-1人はグルになってあるAを負けさせる。

Aの言った個数に関わらず、

n人が言った個数を、k+n-1個~(n-1)k+1個に

することができる。

k+n-1≦m≦(n-1)k+1とする。

M-1≡r (mod m)とすると、

mで割るとr余る数を言ったあとAに回せば、AがMを言うことになる。

(2025/3/15)

【点と直線の距離】

P(p,q)とax+by+c=0の距離d

d=|ap+bq+c|/√(a^2+b^2)

点と直線の距離とは、点と直線上の任意の点の距離で最短になるものをいう。

【証明】

〘step1〙原点(0,0)と直線ax+by+c=0の距離

直線上の任意の点をS(x,y)とする。

コーシー=シュワルツの不等式より、

(ax+by)^2≦(x^2+y^2)(a^2+b^2)

x^2+y^2≧(c^2)/(a^2+b^2)

x^2+y^2の最小値は、(c^2)/(a^2+b^2)

x^2+y^2は、OSの距離の2乗

よって、

原点(0,0)と直線ax+by+c=0の距離d

d=|c|/√(a^2+b^2)

〘step2〙点(p,q)と直線ax+by+c=0の距離

x軸方向に-p、y軸方向に-qだけ平行移動

a(x+p)+b(y+q)+c=0→ax+by+(ap+bq+c)=0

すなわち、

原点(0,0)と直線ax+by+(ap+bq+c)=0の距離

を求めればよい。

〘step1〙を利用して

点(p,q)と直線ax+by+c=0の距離d

d=|ap+bq+c|/√(a^2+b^2)

【証明終】

次元を上げ、点と平面の距離の公式を考える。

原点(0,0,0)と平面ax+by+cz+d=0との距離

コーシー=シュワルツの公式より、

(ax+by+cz)^2

≦(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)

x^2+y^2+z^2≧(d^2)/(a^2+b^2+c^2)

よって、

原点(0,0,0)と平面ax+by+cz+d=0との距離s

s=|d|/√(a^2+b^2+c^2)

点(p,q,r)と平面ax+by+cz+d=0との距離t

平行移動を考えて

ax+by+cz+d=0→ax+by+cz+(ap+bq+cr+d)=0

t=|ap+bq+cr+d|/√(a^2+b^2+c^2)

(2025/3/17)

【2次方程式の解法まとめ】

a≠0とする。

方程式 ax^2+bx+c=0 を2次方程式という。

【step 1】x^2=p→x=±√p

ただし、

p＜0のときは、実数の範囲にはなく、

虚数単位i を利用する。

s＞0で、p=-s＜0のとき

√p=√(-s)=(√s)i→例、√(-5)=(√5)i

x^2=9→x=±√9=±3

x^2=7→x=±√7

x^2=0→x=±√0→x=0

x^2=-3→x=±√(-3)=±(√3)i

(※)b=0のとき、ax^2+c=0

ax^2=-c→x^2=-(c/a)

【step 2】AB=0⇔A=0 または B=0

(x-α)(x-β)=0

⇔x-α=0 または x-β=0

⇔x=α または x=β

⇔x=α,β

(px+q)(sx+t)=0

⇔px+q=0 または sx+t=0

⇔x=-q/p または x=-t/s

⇔x=-q/p, -t/s

(※)ax^2+bx+cが因数分解できれば、2つの1次方程式解くことでOK

(※)c=0のとき、ax^2+bx=0

x(ax+b)=0

⇔x=0 または ax+b=0

⇔x=0, -b/a

x^2+x-6=0⇔(x+3)(x-2)=0⇔x=-3, 2

6x^2-5x-6=0⇔(2x-3)(3x+2)=0⇔x=3/2, -2/3

4x^2+6x=0⇔2x(2x+3)=0⇔x=0,-3/2

【step 3】平方完成を利用

(※)x^2+2px+p^2=(x+p)^2

(※)a=1, bが偶数(b=2p)

x^2+2px+c=0

x^2+2px+p^2-p^2+c=0

(x+p)^2=p^2-c→【step 1】の形

x+p=±√(p^2-c)

x=-p±√(p^2-c)

x^2-12x+32=0

x^2-12x+36=36-32

(x-6)^2=4

x-6=±2

x=6±2

x=8, 4

x^2-18x-7=0

x^2-18x+9^2=81+7

(x-9)^2=88

x-9=±√88=±2√22

x=9±2√22

x^2-4x+148=0

x^2-4x+4=4-148

(x-2)^2=-144

x-2=±√(-144)=±(√144)i=±12i

x=2±12i

【step 4】解の公式

ax^2+bx+c=0

[×4a]→4a^2x^2+4abx+4ac=0

(2ax)^2+2b(2ax)=-4ac

(2ax)^2+2b(2ax)+b^2=b^2-4ac

(2ax+b)^2=b^2-4ac

2ax+b=±√(b^2-4ac)

2ax=-b±√(b^2-4ac)

x={-b±√(b^2-4ac)}/(2a)

ここで、

D=b^2-4acとすると、

x=(-b±√D)/(2a)

実際の計算では、Dを求めてから計算する方が楽なことが多い。

2x^2+5x+1=0

D=5^2-4×2×1=25-8=17

x=(-5±√17)/4

3x^2-4x-5=0

D=(-4)^2-4×3×(-5)=16+60=76

x=(4±√76)/6=(4±2√19)/6=(2±√19)/3

6x^2-3x+2=0

D=(-3)^2-4×6×2=9-48=-39

x={3±√(-39)}/12={3±(√39)i}/12

2x^2+x-6=0

D=1^2-4×2×(-6)=1+48=49=7^2

x=(-1±7)/4→x=3/2, -2

(※)2x^2+x-6=(2x-3)(x+2)

(2025/3/12)

奇数の平方の和

mを奇数の自然数とする。

1からmまでの奇数の平方の和を求めよ。