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初等中等教育に関する雑談です。
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ピークの定理（12）

2020-03-10 10:55:59 | 備忘録

{ピークの定理（12）}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/4a0ac9d0fd010f7d04e18b4e7c6316eb

作業中/3469+「%2」が更新されない

%0:ピークの定理（12）
%1:同一タイトルの下書きの影響を調査中
　[7A_]「ピークの定理（10）」/*「非慣用記法について」*/@
　〔下書き→削除〕@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/9a57ab5f6f42cf4d3c902d0229c0b4a0
　[7B_]「ピークの定理（11）」/*「〔第１章〕の復習」*/@
　〔下書き→削除〕@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/45a9e6897d614ae2de6acbb1e9dd5736
　[7C_]「ピークの定理（12）」/*「〔第２章〕の復習」*/@
　〔下書き→削除〕@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/5bcb5c37cd17e173646ee60df720492a
　[7D_]「ピークの定理（13）」/*「〔第３章〕の予習」*/@
　〔下書き→削除〕@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/b8d56c91b7f720950e59f7b34e1bf788
　　/*「同一タイトルは混乱の元凶」*/

%0:ピークの定理（12）/*「〔第２章〕の紹介(1)+...+(5)」*/

%1:〔第２章〕の紹介(□)へのリンク
`▼

%11:〔第２章〕の紹介(1)@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/2204439190409627784a76a4d536ea3d

%12:〔第２章〕の紹介(2)@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/4075a5e43ecfc46706c138605ce2debf

%13:〔第２章〕の紹介(3)@
%14:〔第２章〕の紹介(4)@
%15:〔第２章〕の紹介(5)@

`▲「〔第２章〕の復習(□)」とファイル名の重複を回避

%2:〔第２章〕の問・定義・定理

%21:「〔第２章〕の紹介(1)」の問・定義・定理
`▼

(1)
(2)
(3)(4)(5)

`▲

 

 


「Δ」で学ぶ有限群

2020-03-03 11:04:48 | 備忘録

{「Δ」で学ぶ有限群}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/bdb37142250ea75e73b7dbeff2cf705c
/7587+[%3]

%90:「Δ」で学ぶ有限群/*「by Itangy」*/
・[78_]が「25000字」を超えたので [2_]を作成して【[%70_]以降を移動】

%1:まえがき/*「[75_]-[78_]のファイルの紹介」*/

%2:参考資料
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(1)「Wikipedia」以外の参考資料
　[1_]「ピークの定理（１）」@@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/4a9d8cdc176aeeffebfd3e59282e4a26
　[2_]「このファイル」@
https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/2cb7c35acfcc634cf14d095283143f6b/
　[3_]「物理のかぎしっぽ」@http://hooktail.sub.jp/sitemap.html
　[4_]「ときわ台学」@http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/000daisu.html
　[5_]「高校数学の美しい物語」@https://mathtrain.jp/elegant
　[6_]「はてなブログ」@https://hatenablog.com/
　[61_peng225]@https://profile.hatena.ne.jp/peng225/
　[62_biteki-math]「美的数学のすすめ」@http://biteki-math.hatenablog.com/about
　[7_]「その他のWebサイト」
　[71_数学メモ]@https://www.sist.ac.jp/~kanakubo/research/math.html
　[72_note]「noppoman」@https://note.com/noppoman /*直接参照 as(2)④*/
　[73_mathwords] /*直接参照*/「剰余類の意味と２つの姿」@https://mathwords.net/joyorui
　[74_tanren]「日々是鍛錬」@https://www.hibikore-tanren.com/category/math/
　[75_]「〔第1章〕の復習（５）」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/44f62cc03d4d7c0d33d6a4fe59e26331
　[76_]「〔第2章〕の復習（６）」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/1494b69f0bbb8c6d7793afb467dcafa0
　[77_]「〔第2章〕の復習（７）」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/db7541e83f506a504199fa715a513b12
　[78_]「〔第2章〕の復習（８）」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/2cb7c35acfcc634cf14d095283143f6b
　[79_blogmura-yy]「ピークの定理関連資料」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/e8b60af195f9178367fb30154bde7914
　[8_]「書籍」@https://isbn.jpo.or.jp/index.php/fix__about/fix__about_2/
　[81_]「ガロア理論の頂を踏む」@ISBN978-4-86064-363-8
　★https://www.beret.co.jp/books/detail/487
　[82_]「論理学」@ISBN978-4-86064-363-8
　★https://www.amazon.co.jp/論理学-野矢-茂樹/dp/4130120530
　[9_]「Ｑ＆Ａ」/*直接参照*/
　[91_OK]「OKWave」@https://okwave.jp/
　[92_goo]「教えて!goo」@https://oshiete.goo.ne.jp/
　[93_Yahoo]「Yahoo知恵袋」@https://chiebukuro.yahoo.co.jp/
(2)資料の参照(2)資料の参照/*「[76_]に準拠」*/
(3)使用記号:キー入力し難い式は適宜定義して使う
　①{擬似コードによる表現}@https://blog.goo.ne.jp/bonsai19/e/bb51b0440ad573d19b28a4fd73041416
　/*「TeXに準じた記法の背景色は Cyan」as「x^{3} - 1 = 0」,「A^{(i, j)}」*/
　②[_数学記号の表]@https://ja.wikipedia.org/wiki/数学記号の表
　③「+」「-」「*」「/」は「Ｃ言語」の算術演算子と同じ．/*「%」は使わない */
　④比較演算子には「＜」,「≦」,「＝」,「≧」,「＞」,「≠」を使う．/*背景色は「Cyan」*/
　④非慣用記法は本文中に「□:=」で定義する．/*「□」の背景色は「Green」*/
　⑤「スマホ」で上付きにならない半角の記号「~」は背景色を「Brown」にして明示する．
　　/*「~」(ゴシック)が「~」(Arial)に,「'*'」は「'*'」になるので「`Δ(K'/M)*」を使わない．*/
　⑥このファイルのパラグラフは「%」を外したパラグラフIDで参照する．例えば「2_61D1」
(4)記事の修正
　①正誤表は作らない/*「オンラインで修正し背景色を茶色にして明示」*/
--------------------------------------------------------------------------------
`▲

%3:目次
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
　§1.0:〔第１章〕整数で考える剰余類
　§1.1:剰余の表現/*「γ5(k)」*/
　§1.2:２次方程式/*「虚数単位」*/
　§1.3:数平面/*「三角関数」*/
　§1.4:行列式/*「置換」*/
　§1.5:剰余類/*「§2.4」*/
　§1.6:巡回群/*「§2.5」*/

　§2.0:〔第２章〕実数で考える巡回群
　§2.1:１次不定方程式/*「Δ(X') := X' - Γ(X')」*/
　§2.2:有限体/*「`GF(M)」*/
　§2.3:ユークリッド空間/*「直交座標系」*/
　§2.4:剰余類/*「`Δ(K' / M)'」*/
　§2.5:巡回群/*「σ(`Δ(K' / M)')」*/
　§2.6:対称群/*「τ(`Δ(K' / M)')」*/
　§2.7:部分群/*「`GR(6)」*/
　§2.8:準同型写像/*「e_`(□)」*/
　§2.9:正規列/*「組成列」*/

　§3.0:〔第３章〕複素数で考える商群
　§3.1:正規部分群/*「g・`H ＝ `H・g」*/
　§3.2:商群/*「GQ`(`Δ(`Z / M)')」*/
　§3.3:多項式環/*「RP`(`C)」*/
　§3.4:可解群/*「GS`(`Δ(`Z / M)')」*/
--------------------------------------------------------------------------------
`▲

%4:「[75_]-[78_]のパラグラフの紹介」*/
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(1)【[75_]】の問・定義・定理
　%51P1:〔問1.1〕/*「ユークリッドの互除法」*/
　%51P2:〔問1.2〕/*「１次不定式の一般的解法」*/
　%51P3:〔問1.8〕/*「中国の剰余定理」*/　　
　%51D1:記号の定義/*「剰余の表現」*/
　%52D1:記号の定義/*「２次方程式」*/
　%52D1:記号の定義/*「連立1次方程式」*/
　%53D1:記号の定義/*「三角関数」*/
　%54P1:〔問1.4〕(pp.36-37)/*「有限体での演算」*/
　%54D1:記号の定義/*「剰余類」*/
　%55P1:〔問1.5〕(pp.38-40)/*「正六角形の回転」*/
　%55D1:記号の定義/*「巡回群」*/
(2)【[76_]】の問・定義・定理
　　
(3)【[77_]】の問・定義・定理
　　
(4)【[78_]】の問・定義・定理
　　
--------------------------------------------------------------------------------
`▲


%5:あとがき/*「謝辞・免責事項」*/
========================================================================%6:らくがき/*「削り代★」*/
　★https://dictionary.goo.ne.jp/word/削り代/

%61A:〔§1.10〕での追加

%61AM1:「原始根」に関する無責任メモ
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「P = 41」の原始根を一つ求めよ．/*【[%41APD].[%18]】*/
(1)生かじりした「符号理論」（誤り検出訂正）では方程式「X^{N} = 1」の
　根「α」/*複素数*/を用いて符号語「α^{K}」/*単位円上の点*/に対応させている
(2)「X^{3} - 1 = (X - 1)*(X^{2} + X + 1)」だから「X^{2} + X + 1 = 0」の根「α」は
　「α^{3} = 1」を満足する．/*「|α| = 1」*/
(3)「Δ(1 / P)」を「α = cos(360°/ P)+_i * sin(360°/ P)」に対応させる．/*「|α^{P}| = 1」*/
(4)「Δ(1 / 5)」は「α = cos( 72°/ 5)+_i * sin(72°/ 5)」に対応．/*「72° * 5 = 360°」*/
(5)「α = cos( 360° / 41)+_i * sin(360° / 41)」である「α」は実在．
(6)「Δ(42 / 41) = Δ(1 / 41)」であるが,「42」は参考にならない．
(7)解説:「原始根」「原始多項式」「最小多項式」
(8)[%414D3].[%17]の「・」の実体は乗算「*」/*「Δ(2 / 5)・Δ(4 / 5) = Δ(8 / 5)」*/
　「正統派」は分数を使わないので分かり難い．【[%412P4].[%17]】/*「2」は原始根．【[%41APD].[%18]】*/
--------------------------------------------------------------------------------
`▲[%5171].[%18]のコピーに加筆

%61B:〔§1.11〕での追加

%61BM1:「複素数表示」に関する無責任メモ
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)[%415P6]で定義した「∠`(K' / M) = Δ((K' * π) / M)」（M ∈ `N）を使う．
(1)[%415P6]で定義した「W`(K' / M)=cos`(∠`(K' / M))+_i * sin(∠(K' / M))」を使う．
(2)「π」は無理数だから扱いにくいが「W`(K' / M) = exp(_i*∠`(K' / M))」は使い易い．
(3)「`F_{P}」の元を係数とする多項式は[%419PC]のように扱う。
　　[%51AM1](8)の「Δ(2 / 5)・Δ(4 / 5) = Δ(8 / 5)」は定数項の計算．/*【[%412P4]】*/
(4)「`F_{5}」の単項式の積の例:「2 * W’^{2} * 4 * W' = 3 * W'^{3}」
(5)符号理論の慣用記法では変数は「X」．/*「Z'」は「`R^{3}」の「Z座標」と紛らわしいので「W'」を使う*/
(6)符号理論の慣用記法では「σ^{K}」を「α^{K}」で表記/*「α」は原始多項式の根 */
(7)[%62BP0](5)の疑問は【[%41BTI](9)】の写像「φ」が参考になる．
(8)「`Δ(K' / M)'」（K' ∈ `Z; M ∈ `N）の元は「W`(K' / M)」と１対１に対応．
　例:「Δ(1 / 5)」は「α = cos( 72°/ 5)+_i * sin(72°/ 5)」に対応．/*【[%51AM1](4)】*/
(9)複素数体では任意の「K'」,「M」（K' ∈ `Z; M ∈ `N）について次式が成立．
　「W`(K' / M) + W`((-K') / M) = 0」/*「+」の逆元の計算公式;「0 = Δ(M / M)」 */
　「W`(K' / M) * W`((2 * M) / M) = 1」/*「*」の逆元の計算公式 */
--------------------------------------------------------------------------------
`▲

%61BM2:「操作」に関する無責任メモ`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)[%413P5]`[%17]の図形「A」を回転する操作「σ」を「作用素」という．
(1)「σA」は操作結果．/* 結果が等しければ「=」:履歴不問 */
(2)「σ」は「_xy平面上の図形をz軸を中心にして左回りに「π / 3」回転する作用素」．
(3)他にも「_xy平面上の図形をx軸方向に「5」移動する作用素」等．
(4)作用素を用いると式表現が簡明になる．/*例:「フーリエ変換」の公式「FEv = ReF」*/
(5)参考資料:[sys.PDF].`{ぼんさいノート＋関連資料`}
(6)作用素「Γ」,「Δ」の応用例：http://hdl.handle.net/11094/1299 
(7)関連資料
　[1]Digital filters using round-off noise control in frequency domain ...
　★https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/ecja.4400630303
　[2]A Plain Approach to Teach Modular Arithmetic 
　★http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=26503BE3CE54AFA381DEB8D41073246D?doi=10.1.1.600.1275&rep=rep1&type=pdf
--------------------------------------------------------------------------------
▲


aa


〔第２章〕の復習（８）

2020-02-25 14:07:45 | 備忘録

{〔第２章〕の復習（８）}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/2cb7c35acfcc634cf14d095283143f6b/
/10267+[%74P1]（茶: 確認中; 灰色: 確認済; 緑: 非慣用記法）

%80:複素数で考える商群
「〔第2章〕の復習（７）」が「25000字」を超えたので[%64]以降をこのファイルに移動．

%801:参考資料`▼/*【「[1_601]】と同じ.*/`▲
%802:記事の参照`▼/*【「[1_602]】と同じ.*/`▲
%803:目次【の復習】
`▼

　%70:複素数で考える商群
　%71:多項式環/*「実数体の拡大」*/
　%72:正規部分群/*「g・`H = H・g^{- 1}」*/
　%73:商群/*「`Δ(K'/M)'」*/
　%74:可解群

`▲

%804:各パラグラフの問・定義・定理【の追加】
`▼

%71D1:記号の定義/*「多項式環」*/
%72D1:記号の定義/*「正規部分群」*/
%73D1:記号の定義/*「商群」*/
%74P1:〔問4.1〕/*「可解群」*/

`▲

%71:多項式環

%71D1:記号の定義/*「多項式環」*/
`▼

(0)実数体を複素数体に拡大する解説を調べて要点を示せ．
(1)参考資料
　①[_多項式環#体上の一変数多項式環_K[X]]@https://ja.wikipedia.org/wiki/多項式環#体上の一変数多項式環_K[X]
　②[3_拡大体]@http://hooktail.sub.jp/algebra/ExtensionField/
　③[4_]「８　体の拡大とn次代数方程式の解法へ」@http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/280rng.html
　④[_単拡大]@https://ja.wikipedia.org/wiki/単拡大
(2)「(1)①」からの引用
実例として、複素数体「 `C」は実数体「`R」に「 i_^{2} + 1 = 0」を満たす i_ を唯一つ付け加えて得られる。
それに応じ、多項式「X^{2} + 1」は「`R」上既約であって 
C ? R [ X ] / ( X ^{2} + 1 ) /*「\textstyle \mathbb {C} \simeq \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)」*/ 
という同型が成立する。/*「 ? 」の記号は「画像フォルダ★」に保存*/
　★https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/4d/91/6893a2d16b6b470123c299910be9c50c.png
(3)「(1)②」からの引用
ここで，拡大体の表記法を紹介しておきます．体「Ｆ」に新たに代数的な元
「θ」を添加して拡大体を作るとき，その拡大体を「Ｆ(θ)」のように書きます．
特に，元を一個だけ添加して得られる拡大体を「単純拡大体」と呼びます．/*「`R(i_)」*/
複素数体は，実数体の拡大体で，拡大次数は「2」であることを確認してみてください．

`▲「i_」は虚数単位/*【[].[]】*/

%72:正規部分群

%72D1:記号の定義/*「正規部分群」*/
`▼

(0)「Δ(K'/ M)"」は正規部分群であることを示せ
(1)参考資料
　①[_正規部分群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/正規部分群
　②[7_正規部分群]@https://www.sist.ac.jp/~kanakubo/research/hosoku/seiki_bubun.html
　③[3_正規部分群に関する幾つかの性質]@http://hooktail.sub.jp/algebra/NormalSubgroup2/
　④[3_同型定理]@http://hooktail.sub.jp/algebra/Isomorphism/
　⑤[4_正規部分群]@http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/080gun.html
　⑥[_同型定理]@https://ja.wikipedia.org/wiki/同型定理
(2)【[%423TF](1).[%1B]】の紹介（灰色）
　@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/45a9e6897d614ae2de6acbb1e9dd5736
------------------------------------------------------------
(0)「H」,「N」が「G」の部分群であるとき
　(ア)「H∩N」は「G」の部分群
　(イ)特に「N」が「G」の正規部分群であれば「HN」は「G」の部分群
(1)原著の「HN」〔p.145〕は分かり難いので，「(`H1)(`N2)」を
　「`H1(`N2) = {(h, n); (h ∈ `H1) ∧ (n ∈ `N2)}」と表示．
(2)上のように定めた「f: G → (G / N)」を「自然準同型」と呼びます．/*〔p.147〕*/
------------------------------------------------------------
(3)【[1_61D1](3)】で定義した「`G=Δ(K'/M)'」( K'∈ `N(M) )に対して次の記号を定義．
　①「`G」の元「x'」,「y'」の和を「`R」の加法で計算することを「GR`(「＋」; `G)」と表記．
　②「`G」の元「x'」,「y'」の積を「`R」の乗法で計算することを「GR`(「＊」; `G)」と表記．
　③「`G」の部分集合「H」,「N」に対して「`H(`N)」を次式で定義．
　　「`H(`N) = {(h, n); (h ∈ `H) ∧ (n ∈ `N)}」/*「非慣用記法」*/
(4)【[%62D1](7)】:
------------------------------------------------------------
　②「GF`(「＊」; `Δ(K' / M)')」/*「Ｍ」は素数;「Δ(M / M)」と「Δ(0 / M)」を使い分ける*/
　　　/*半角英数にすると「*」（上付き: Arial）になる*/
　③「`Δ(K' / M)*」はスマホでは「`Δ(K' / M)*」になるので「`Δ(K' / M)"」を使用
------------------------------------------------------------
(5)

`▲背景色が無視される

%73:商群

%73D1:記号の定義/*「商群」*/
`▼

(0)「`G=`Δ(K'/ 3)'」の元を示せ．
(1)参考資料
　①[_商群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/商群
　②[3_商群]@http://hooktail.sub.jp/algebra/QuotientGroup/
　③[81_noppoman]「商群」@https://note.com/noppoman/n/nb4bd7142700b
(2)「`Δ(K'/ M)'={Δ(K/ M); K ∈ `N(M)}」/*【[1_61D1](3)】*/だから
　 「(0)」の解は「`G = {`Δ(1/ 3)', `Δ(2/ 3)', `Δ(3/ 3)'}」
(3)「`Δ(K'/ 3)'」は「Δ(K'/ 3)」を「代表元」とする「M」を法とする剰余類の
　 元(集合)であり，慣用記法の「`Z/ 3 `Z」に等しい
(4)このブログの記法では「`Z/ 3 `Z」は「`Δ(K'/ 3)」( K ∈ `Z )と同じ集合
(5)「(1)⑤」の具体例の「あらすじ」
------------------------------------------------------------
①noteではtexがサポートされていないので、オーバーラインが表記できません。
そのため、以後はもうひとつの書き方である[x]で剰余類を表記します。
Z/3Z = { [0], [1], [2] }
②上で示した合同関係とその演算を持ち込めるか考えていきましょう。
③Gを群、Hをその部分群とするとき、 g＊H = H = H＊g
④Hが正規部分群であれば、Hの元の違いを同一視あるいは無視することで、
Gの元を同一視できるということを言っています。
⑤この正規部分群HでGを割ったG/Hを商群といいます。
⑥f: G -> G/Hが準同型写像である時、
π: G -> G/ker(f)となるπを自然な写像と定義しました。
つまり、G/Ker(f)は商群だったのです。
⑦3Z = [0]なので、φをZからZ/3Zへの準同型写像とすると、
ker(φ) = {x ∈ Z | φ(x) ∈ [0]} = 3Z
ここまで理解が進んだらもう準同型定理の「可換図式」がクリアに見えますよ。
------------------------------------------------------------
(6)

`▲

%74:可解群

%74P1:〔問4.1〕/*「可解群」*/
`▼

(0)「`Δ(K / M)"」は可解群であることを示せ．
(1)参考資料
　①[_群_(数学)]@https://ja.wikipedia.org/wiki/群_(数学)#可解群・交換子群・冪零群
　　・[_可解群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/可解群
　②[3_ガロア群と可解群]@http://hooktail.sub.jp/algebra/Radicals/
　③[3_]「可解群について補足」@http://hooktail.sub.jp/algebra/SolvableGroupsApp/
　④[4_]「10-2　 交換子群と可解群」@http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/101gun.html
　⑤[6_peng225]「群が可解でないための条件」@http://peng225.hatenablog.com/entry/2017/09/22/143833
　⑥[7_]「可解群」@https://www.sist.ac.jp/~kanakubo/research/hosoku/kakaigun.html
(2)「(1)⑥」の紹介/*「過剰引用を自粛」*/
------------------------------------------------------------
対称群が、開法で正規部分群に縮小し、さらにその中の正規部分群に縮小し、
最終的に正規部分群でもある恒等置換一つになる必要があるという事だ。
この事を記号で書くと、以下のようになる。
このような列を正規列という。
ガロアは、式の値を不変にする解の置換の群が以下の条件を満たすとき、
方程式が代数的に解ける必要十分条件である事を見出した。
①正規列を持つ（最後は恒等置換となる）。
②正規列の全ての剰余群（上記の例ではSn/H0、H0/H1等）が、巡回群となる。
この条件を満たす群を、方程式が解けるという意味で可解群という。
------------------------------------------------------------
(3)(4)

`▲

aa


「blogmura-yy」の記事一覧

2020-01-21 17:58:35 | 備忘録

`{「blogmura-yy」の記事一覧`}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/af7c870237727ee9cbba49b45ddbfade
=「blogmura-yy」の記事一覧
/7268+[%1]（緑: 確認中; 灰: 確認済; 茶:「Nexus7」未完）

%0:list-yy
・編集用の備忘録です．/*「記事URL」でなく,「編集」ボタンがほしい*/
`▼

`{tweet-yy`}@http://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/900803383555b1060181fc7ef6cca3c6
=tweet-yy(#2@HCS)
/volatile+[%K1O]（緑: 確認中; 灰: 確認済; 茶:「Nexus7」未完）

`▲{tweet-yy}の「ヘッダ部」/*「#2@HCS」(2018/12/28):「50件」ずつ表示したときの「#2」*/

%1:(2019.06.27-2020.01.21)
公開中 「blogmura-yy」の記事一覧 2020/01/21
公開中 〔第2章〕の復習（７） 2020/01/20
公開中 わいわい川柳（2019冬） 2020/01/19
公開中 〔第1章〕の復習（５） 2020/01/08
公開中 〔第2章〕の復習（６） 2019/12/21
公開中 「blogmura-yy」へのアクセス(PVIP) 2019/12/15
公開中 ピークの定理（12） 2019/12/12
公開中 第３章の紹介（１） 2019/12/08
公開中 「ピークの定理」への補足 2019/12/08

・[%2]の「2019/12/08」以前の記事も「記事一覧」で表示される
　編集したい記事を探し難い（「１頁目」先頭に追加されるので「古いファイル」を探すときに邪魔：ページの切れ目を分かりやすくしてほしい）
・https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/46/2e/45e880e87652e565bca2ea25bb01360d.png
・「50件」ずつ表示すると「前へ」／「次へ」でジャンプできる
公開中 ピークの定理（13） 2019/12/06
公開中 〔第2章〕の復習（５） 2019/12/02
公開中 「ピークの定理（□）」関連資料 2019/11/29
公開中 〔第2章〕の復習（4） 2019/11/27
公開中 〔第2章〕の復習（３） 2019/11/16
公開中 ピークの定理（10） 2019/11/13
公開中 〔第2章〕の復習（２） 2019/11/03
公開中 ピークの定理（11） 2019/10/31
公開中 〔第2章〕の復習 2019/10/31
公開中 JISフォント（編集用） 2019/10/28
公開中 check-yy 2019/10/28
公開中 JISフォント（編集用） 2019/10/28
公開中 〔第1章〕の復習（３） 2019/10/19
公開中 〔第1章〕の復習（４） 2019/10/19
公開中 わいわい川柳（2019秋） 2019/10/10
公開中 わいわい川柳（2019冬） 2019/10/08

%2:(2018.01.30-2019.12.08)/*旧「記事一覧」（新しい順）の１頁目*/
公開中 「ピークの定理」への補足 2019/12/08
公開中 ピークの定理（13） 2019/12/06
公開中 〔第2章〕の復習（５） 2019/12/02
公開中 「ピークの定理（□）」関連資料 2019/11/29
公開中 〔第2章〕の復習（4） 2019/11/27
公開中 〔第2章〕の復習（３） 2019/11/16
公開中 ピークの定理（10） 2019/11/13
公開中 〔第2章〕の復習（２） 2019/11/03
公開中 ピークの定理（11） 2019/10/31
公開中 〔第2章〕の復習 2019/10/31
公開中 JISフォント（編集用） 2019/10/28
公開中 check-yy 2019/10/28
公開中 〔第1章〕の復習（３） 2019/10/19
公開中 〔第1章〕の復習（４） 2019/10/19
公開中 わいわい川柳（2019秋） 2019/10/10
公開中 わいわい川柳（2019冬） 2019/10/08
公開中 〔第2章〕の復習 2019/09/27
公開中 TV番組へのリンク 2019/09/12
公開中 わいわい川柳（2019夏） 2019/08/29
公開中 新聞記事へのリンク 2019/08/11
公開中 ピークの定理（９） 2019/07/21
公開中 〔第1章〕の復習（２） 2019/07/19
公開中 ピークの定理（７） 2019/07/14
公開中 ピークの定理（８） 2019/07/14
公開中 主な定理 2019/07/10 
公開中 〔第1章〕の復習 2019/07/09
公開中  「ピークの定理（１）」への補足 2019/07/03
公開中 ピークの定理（１） 2019/07/02
公開中 tmp 2019/07/01
公開中 〔補足〕の変更履歴 2019/06/30
公開中 〔擬似コード〕の復習 2019/06/27
公開中 〔擬似コード〕による表現 2019/06/27
公開中 ピークの定理（３） 2019/06/18
公開中 補足onJ66 2019/06/16
公開中 パソコンサークル 2019/06/08
公開中 〔本〕の紹介 2019/06/08
公開中 「goo」のメールとブログ 2019/06/05
公開中 「ルートの説明」の紹介 2019/06/02
公開中 「論理学」に関するメモ 2019/05/30
公開中 わいわい川柳（2019春） 2019/05/09
公開中 ピークの定理（６） 2019/04/29
公開中 ピークの定理（５） 2019/04/25
公開中 ピークの定理（４） 2019/04/24
公開中 ピークの定理（２） 2019/04/24
公開中 「ピークの定理（□）」への補足 2019/04/10
公開中 わいわい川柳（2018冬） 2019/02/18
公開中 記事の紹介・補足（２） 2019/02/14
公開中 tmp 2019/02/14
公開中 〔EOS〕に関するメモ 2019/02/13
公開中 雑記帳 2019/02/06
公開中 リハビリに関するメモ 2019/02/02
公開中 gooID利用明細 2019/01/31
公開中 ２次元パズル 2019/01/31
公開中 tweet-yy 2018/12/28
公開中 わいわい川柳（2018秋） 2018/12/19
公開中 OCNメールに関するメモ 2018/11/09
公開中 鼻水が止まらない 2018/10/26
公開中 数独解法チャート 2018/10/20
公開中 わいわい川柳（2018夏） 2018/09/21
公開中 わいわい川柳（2018春） 2018/07/31
公開中 そこが知りたい脳卒中 2018/06/24
公開中 SNSに関するメモ 2018/06/06
公開中 Open Document 2018/05/29
公開中 ?HCD:減加法の筆算 2018/05/28
公開中 LibreOffice の使い方 2018/04/30
公開中 スマホ・タブレット 2018/04/29
公開中 「ぼんさいメモ」への補足 2018/04/25
公開中 わいわい川柳 2018/04/25
公開中 [?I2H:]4thH82-3.xlsm の使い方 2018/04/11
公開中 ?H8T%2:引き算の練習 2018/03/31
公開中 ?H48%3:掛け算の問題 2018/03/22
公開中 Fine2-Figs 2018/03/18
公開中 ?H48%1:足し算の問題 2018/03/07
公開中 gooブログの常時SSL化 2018/02/25
公開中 「引き算の教え方」のURL 2018/01/30
公開中 「Googleアナリティクス」に関するメモ 2018/01/30
公開中 tmp 2018/01/30 

%3:(2017.03.1-2018.01.26)/*旧「記事一覧」（新しい順）の２頁目*/
公開中 ?H6G:気まぐれメモ（コピー） 2018/01/26
公開中 病院・医院・施設に関するメモ（コピー） 2018/01/12 
公開中 ?H5K:Excelに関するメモ（コピー） 2018/01/12
公開中 ?H48%1:足し算の問題（バックアップ） 2018/01/09
公開中 メモ 2018/01/0
公開中 ?H48%0:算数の問題 2018/01/09
公開中 Microsoft Edge 2018/01/08
公開中 [0]How to teach division in Japan 2018/01/0
公開中 ?HC7:[H82-3.xlsx]の使い方 2018/01/07
公開中 ?HBQ:覚えやすい引き算の筆算（修正版） 2017/12/14
公開中 「パズル１」の解の探索 2017/11/18
公開中 HAF:「Excel VBA実践テクニック」からの引用 2017/11/01
公開中 H6H:Excelに関するメモ（コピー） 2017/10/30
公開中 HAE%0:「Excel 2010 VBAの基礎知識」からの引用 2017/10/
公開中 [□.xlsm]内の「Sub□」のリスト 2017/10/25
公開中 Last access ranking of blogmura-yy 2017/10/20
公開中 パズル１ 2017/10/16
公開中 パズル２ 2017/10/14
公開中 HA1:gooメールのパスワード 2017/10/09
公開中 ?H8T%1:足し算の練習 2017/09/28
公開中 Excelの「OFFSET」関数 2017/09/26
公開中 ?H8T%3:掛け算の練習 2017/09/20
公開中 ?H8T%0:新訂 計算の練習 2017/09/14
公開中 テスト４ 2017/09/0
公開中 ?H48%3:掛け算の問題(復元版) 2017/08/30
公開中 ?H45%0:計算の練習 2017/08/27
公開中 〔商品〕の紹介 2017/08/18
公開中 テスト３ 2017/08/12
公開中 ?H8A%0:ワークシートのURL 2017/08/12
公開中 テスト１ 2017/08/10
公開中 ?H6M:マクロの例 2017/07/30
公開中 ?H4R%0:オンライン無料Web塾 2017/07/17
公開中 goo決済カードの変更 2017/07/06
公開中 Amazonへの問合せ 2017/07/03
公開中 ?H48%4:割り算の問題 2017/07/03
公開中 ?H48%2:引き算の問題 2017/07/03
公開中 blogmura-yy's HP 2017/07/02
公開中 news 2017/07/01
公開中 「Amazon」からの情報 2017/07/01
公開中 ?H48%1:足し算の問題 2017/06/24
公開中 ?H6I:[?H6H]への追加 2017/06/2
公開中 広告の非表示 2017/06/23
公開中 囲碁規約 2017/06/19
公開中 ?H6F:[?H6E]への追加 2017/06/1
公開中 [0]Try to add decimal numbers 2017/04/30
公開中 ？H41%0:[H41-1.xlsx]のダウンロードと実行 2017/04/20
公開中 blogmura-yy's buffer 2017/04/09
公開中 Profile of EP58 2017/03/25
公開中 Introduction to [globaledu.jp] 2017/03/22
公開中 掛け算の筆算 2017/03/2
公開中 What's new in this blog 2017/03/21
公開中 [0]How to teach division in Japan 2017/03/20
公開中 blog by blogmura-yy is restarted. 2017/03/
公開中 数式のカラー表示の標準化 2017/03/19
公開中 小学校で学ぶ算数 2017/03/17
公開中 Agile Ventures 2017/03/16
公開中 Escape sequences used in bonsai-chat's blog 2017/03/12
公開中 「ぼんさいメモ」の更新情報 2017/03/1
公開中 にほんブログ村 2017/03/1
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〔第2章〕の復習（７）

2020-01-20 17:12:04 | 備忘録

{〔第2章〕の復習（７）}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/db7541e83f506a504199fa715a513b12
作業中/26069+[%64P1]（茶: 確認中; 灰色: 確認済; 緑: 非慣用記法）
/

・[1_6]が「25000字」を超えたので [1_7]を作成して【[2_64]以降を移動】
・更新されないパラグラフがあるのでファイルを削除して新規に作成．

%70:複素数で考える商群
・「異端爺」のメモ．無理数【π】を用いて分数を使わない「正統派」の説明【整数論の入門書】に反抗．
・「30000字」対策で[1_64]以降をこのファイルに移動．

%701:参考資料`▼[1_601]のコピー`▲

%702:記事の参照`▼[1_602]のコピー`▲

%703:目次
`▼

　%61:1次不定方程式
　%62:有限体
　%63:既約多項式
　%64:ユークリッド空間
　%65:剰余類
　%66:部分群
　%67:準同型写像
　%71:多項式環
　%72:正規部分群
　%73:商群
　%74:可解群

`▲「灰色のパラグラフ別ファイル」

%64:部分群

%64D1:記号の定義/*「部分群」*/

`▼

(1)「`Δ(Δ(K' / 3))'」( K' ∈ `N(3) )が「`Δ(K' / 6))'」( K' ∈ `N(6) )の部分集合
　 であることを「`Δ(K' / 6))'⊃`Δ(Δ(K'/ 2) / 3))'」( K'∈ `N(6) )と表記．/*「式」( 式への制約条件 )*/
(2)「`Δ(K' / M)' = {Δ(K / M); (K ∈ `N(M))∧(GCD`(K, M) = 1)}」である「剰余類」を「既約剰余類」といい
　 「`Δ(K' / M)"」と略記する/*「非慣用記法」*/
(3)「`Δ(K' / 6))'⊃`Δ(Δ(K'/ 2) / 3))'」( K'∈ `N(6) )を「正規列」という
(4)参考資料
　　①[_剰余類環]@https://ja.wikipedia.org/wiki/剰余類環
　　②[63_既約剰余類群]@http://biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/04/14/135722
　　③[_群論の用語#正規列]@https://ja.wikipedia.org/wiki/群論の用語#正規列
　　④[_正規部分群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/正規部分群
　　⑤[3_正規部分群]@http://hooktail.sub.jp/algebra/NormalSubgroup/
　　⑥[_組成列]@https://ja.wikipedia.org/wiki/組成列
　　⑦[3_組成列]@http://hooktail.sub.jp/algebra/GroupSeries/
(5)「`Δ(K' / 6))'⊃`Δ(Δ(K'/ 2) / 3))'⊃`Δ(Δ(K'/ 3) / 2))' ⊃ `Δ(Δ(K'/ 1) / 1))'」は組成列
　　/*「`Δ(Δ(K'/ 1) / 1))'=`Δ(0 / 1))' = {0}」*/
(6)「`GR(M)={Δ(K / M); (K ∈ `Z)∧(K < M)}」,「GR`[K']=Δ((K'- 1) / M)」（ K' ∈ `N(M) ）と定める
(7)例えば
　　①「`GR(6) = {Δ((K - 1) / 6); K ∈ `N(6)}」
　　②「`GR(3) = {Δ(1 / 3), Δ(2 / 3), Δ(3 / 3)}」
　　③「`GR(2) = {Δ(1 / 2), Δ(2 / 2)}」
　　④「`GR(1) = {Δ(1 / 1)} = {0}」
　　⑤「`GR(6) ⊃ `GR(3) ⊃ `GR(2) ⊃ `GR(1)」

`▲「(2)」を修正．/*「背景色はオプション」*/

%64P1:〔問4.1〕/*「同型写像」*/
`▼

(0)[2_64D1](7)の「`GR(K')」に対して「f(`GR(6)) = `GR(3)」となる「同型写像 f」を求めよ．
　 /*「f(`GR(6)) = {f(X); X ∈`GR(6)} 」*/
(1)参考資料
　 ①[_部分群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/部分群
　 ②[_同型写像]@https://ja.wikipedia.org/wiki/同型写像
　 ③[3_準同型写像]@http://hooktail.sub.jp/algebra/Homomorphic/
　 ④[_代数的構造]@https://ja.wikipedia.org/wiki/代数的構造
(2)「f(Δ(K' * 2) / 6) = {Δ(2 / 6),Δ(4 / 6),Δ(6 / 6)} = `GR(3)」( K' ∈ `N(6) )
　　/* 「{a, b, a, a, b} = {a,b}」*/
(3)「Δ(K' / 6)」( K'∈ `N(6) )に対応する「_xy平面」上の正六角形「{P`(K' / 6)}」の
　 正三角形「{P`(K' / 3)」( K'∈ `N(3) )と合同な正三角形は
　①「{P`(2 / 6), P`(4 / 6), P`(6 / 6)}」,「{P`(1 / 6), P`(3 / 6), P`(5 / 6)}」
　②「{P`(1 / 6), P`(3 / 6), P`(5 / 6)}」は「P`(K' / 3)」( K'∈ `N(3)を原点の周りを
　　「360°/ 2」（ 2 = 6/3 ）回転した点とみなすと考えやすい．
　③「Δ(K' / 24)」( K'∈ `N(24) )の場合は「360°/ 8」（ 8 = 24/3 ）回転
　　/*合同な正三角形は「8」個*/
(4)一般に「Δ((M - K') / M)」=1-Δ(K' / M)」( K'∈ `N(M) )
　 /*「Δ((M - K') / M)」は「Δ(K' / M)」の加法の逆元．/*【[1_63D1](5)】*/
(5)「f(`Δ(K'/ 6)')=`Δ(K3'/ 3)'」( (K', K3') ∈ `N(6)×`N(3) )/*「f(Δ(K'/ 6) = Δ((K' * 2) / 6)」*/であれば
　「`Δ(K'/ 6)'」と「`Δ(K'/ 3)'」は「代数的構造」が等しい．
　①巡回シフトの作用素「σ」/*【[2_63D1](1)】*/に対しても次式が成立:
　「σ`Δ(K'/ 6)' = σ`Δ(K3'/ 3)'」
(6)

`▲「f」の背景色を修正

%64P2:〔問4.2〕/*「平方根の計算」*/

`▼

(0)「_xy平面」の点「(P[1], P[1])」( P[1]=2 )と原点「(0, 0)」を結ぶ線分を対角線とする正方形を
　 「S[2]」とし，この対角線と「(P[1], P[1])」を中心とする半径「P[1]」の円の交点の座標を
　 「(P[2], P[2])」とする．/*P[2] = (2^{1 / 2} - 2」*/
(1)「(P[1], P[1])」と「(0, 0)」を結ぶ線分の長さは「2^{1 / 2}」
(2)「(P[K'], P[K'])」と原点「(0, 0)」を結ぶ線分を対角線とする正方形を「S[K' + 1]」
　 としてこの対角線と「(P[K'], P[K'])」を中心とする半径「P[K']」の円の交点の座標を
　 「(P[K'+ 1 ], P[K'+ 1])」とする．/*「P[K' + 1] = (2^{1 / 2}) - P[K']」*/
(3)点「(P[K'], P[K'])」は「K'」の増加に伴って原点に近づき「K' → ∞」の極限で「(0, 0)」に収束．

`▲

%64P3:〔問4.3〕/*「立方根の計算」*/

`▼

(0)「_xyz空間」の点「(P[1], P[1], P[1])」( P[1] = 2 )と原点「(0, 0, 0)」を結ぶ線分を
　 対角線とする立方体を「V[1]」とし，この対角線と「(P[1], P[1], P[1])」を
　 中心とする半径「2」の球の交点を「(P[2], P[2], P[2])」とする．
(1)「(P[1], P[1], P[1])」と「(0, 0, 0)」を結ぶ線分の長さは
　 「((P[1] - 0)^{2} + (P[1] - 0)^{2} + (P[1] - 0)^{2})^{1/2} = (2^{2} * 3)^{1/2}」
(2)「(P[K'], P[K'], P[K'])」と原点「(0, 0, 0)」を結ぶ線分を対角線とする立方体を「V[K' + 1]」
　 としてこの対角線と「(P[K'], P[K'], P[K'])」を中心とする半径「P[K']」の円の交点の座標を
　 「(P[K'+ 1 ], P[K'+ 1], P[K'+ 1])」とする．/*「P[K' + 1] = (12^{1 / 2}) - P[K']」*/
(3)点「(P[K'], P[K'], P[K'])」は「K'」の増加に伴って原点に近づき「K' → ∞」の極限で
　「(0, 0, 0)」に収束．
(4)「(P[K'], P[K'], P[K'])」と「(0, 0, 0)」を結ぶ線分を対角線とする正六面体を「V[K']」とすると
　 「V[K'] ⊃ V[K' + 1]」だから
　 「正六面体群」/*【[1_63D2](4)⑤】*/の「正規列」/*【[1_64D1](4)③】*/を作れる．

`▲「(2)」を訂正


%64P4:〔問4.4〕/*「べき乗根の計算」*/

`▼

(0)「4次元ユークリッド空間」の点「(P[1], P[1], P[1], P[1])」( P[1] = 2 )
　 と原点「(0, 0, 0, 0)」を結ぶ線分を対角線とする「超立方体」を「V[1]」とし，
　 この対角線と「(P[1], P[1], P[1], P[1])」を中心とする半径「2」の「超球面」の
　 交点を「(P[2], P[2], P[2], P[2])」とする．
　①[_ユークリッド空間]@https://ja.wikipedia.org/wiki/ユークリッド空間
　②[3_四次元の世界]@http://hooktail.sub.jp/welcome/what4dim/
　③[_超立方体]@https://ja.wikipedia.org/wiki/超立方体
　④[_超球面]@https://ja.wikipedia.org/wiki/超球面
(1)「V[1]」の対角線と「(P[K'], P[K'], P[K'], P[K'])」を中心とする半径「2」の「超球面」の
　 交点を「(P[K' + 1], P[K' + 1], P[K' + 1], P[K' + 1])」とする．
(2)「(P[1], P[1], P[1], P[1])」と「(0, 0, 0, 0)」を結ぶ線分の長さは
　 「 (2^{2} * 4)^{1/2}」
(3)点「(P[K'], P[K'], P[K'], P[K'])」は「K'」の増加に伴って原点に近づき「K' → ∞」の極限で
　「(0, 0, 0, 0)」に収束．

`▲

5:準同型写像

%65D1:記号の定義/*「準同型写像」*/

`▼

(1)慣用記法に反する次の記号を定義する
　①写像「f1:`R → `R」,「f2:`R → `R」の「合成写像★」を「(f1)・(f2)」で表す/*「非慣用記法」*/
　　/*「□・□」を別の用途で使用*/
　②「(f1・f2)」が「恒等写像」となる「f1」/*「逆写像」*/が存在すれば
　　 これを「f2~」と略記．/*ゴシックにすると(上付)「~」になる*/．
　③「虚数単位★」を「i_」，「自然対数の底★」を「e_」と表記/*「緑は定義行のみ」*/
　④「x」の「自然対数」を「log(x)」，「常用対数」を「log10(x)」と略記
　　「log(1) = e_」だから「e_^{i_ * x} = exp(i_ * x)」
(2)「準同型写像」の参考資料
　①[_群準同型#準同型写像]@https://ja.wikipedia.org/wiki/群準同型#準同型写像の種類
　②[3_準同型写像]@http://hooktail.sub.jp/algebra/Homomorphic/
　③[_準同型定理]@https://ja.wikipedia.org/wiki/準同型定理
　④[4_準同型定理]@http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/120gun.html
　⑤[_自然変換]@https://ja.wikipedia.org/wiki/自然変換
　⑥[61_]「群の自然な準同型と部分群の対応」@http://peng225.hatenablog.com/entry/2016/12/18/112359
　⑦[93_]「"自然な"の意味」@https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14169193324
　　/*「たいてい次のどちらかだと思います」:
　　　「部分群（部分対象）からの標準的単射」／「剰余群（商対象）への標準的全射」*/
(3)「⑦部分群からの標準的単射」の例は/*【[2_64P1](3)②】*/
(4)「⑦剰余群への標準的全射」の具体例による説明の紹介/*【[2_65D1]⑥】*/

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