〔第2章〕の紹介(3)

{〔第2章〕の紹介(3)}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/ac2751b7b5f61c69c830db8ef2f68b58
/1214+[%425]

---

%0:〔第2章〕の紹介(3)

`▲ 
%4:抄録

%424:〔§2.4〕(135)/*準同型写像*/での追加
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
%424:〔§2.4〕(135)/*準同型写像*/
%424D2:〔定義2.2〕(135)/*群の準同型写像*/
%424TB:〔定理2.11〕(138)/*「Im`(f)」は群*/
%424TC:〔定理2.12〕(139)/*「Ker`(f)」は群*/
%424TD:〔定理2.13〕(140)/*準同型写像*/
%424P7:〔問2.7〕(142)
--------------------------------------------------------------------------------
`▲ 

%425:〔§2.5〕(144)/*第2同型定理,第3同型定理*/での追加
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
%425TE:〔定理2.14〕(145)/*部分群であるための条件*/
%425TF:〔定理2.15〕(146)/*部分群の演算*/
%425TG:〔定理2.16〕(147)/*第2同型定理*/
%425P8:〔問2.8〕(149)
%425TH:〔定理2.17〕(150)/*第3同型定理*/
%425P9:〔問2.9〕(152)
--------------------------------------------------------------------------------
`▲ 

 

〔第2章〕の紹介(5)

{〔第2章〕の紹介(5)}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/8754ed75b6b8771899941e7c32cb3fa6
/12212+[%42TGM1]（茶: 確認中; 灰色: 確認済; 緑: 非慣用記法）

---

%0:〔第2章〕の紹介(5)

%4:抄録 

%426:〔§2.6〕(153)/*対称群「S_n」*/での追加
`▼

---

%42PA:〔問2.10〕(153)
%42PB:〔問2.11〕(162)
%42TI:〔定理2.18〕(164)/*置換は互換の積*/
%42TJ:〔定理2.19〕(166)/*対称群の生成元*/
%42TK:〔定理2.20〕(167)/*置換の奇偶性*/
%42TL:〔定理2.21〕(171)/*交代群*/
%42TM:〔定理2.22〕(171)/*交代群と対称群*/
%42TN:〔定理2.23〕(172)/*交代群は三換の積*/
%42TO:〔定理2.24〕(173)/*交代群の生成元*/

---

`▲

%42PC:〔問2.12〕(175)
`▼

---

(0)対称群「`S_{3} = {e, σ, (σ^{2}), τ, (τσ), (τσ^{2})}」に対して
交代群「`A_{3} ={e, σ, (σ^{2})}」であることを確認せよ．
(1){e} ⊂ (`A_{3}) ⊂ (`S_{3})．/*「(τ`A_{3})) ⊂ (`S_{3})」*/

---

`▲ 

%42PD:〔問2.13〕(175)
`▼

---

(0)対称群「`S_{4} = {V∪(σ V)∪(σ^{2} V)∪(τ V)∪(τ σ) V∪(τ σ^{2}) V}」に対して
　 交代群「`A_{4} = {V∪(σ V)∪(σ^{2} V)}」であることを確認せよ．
(1)「<α> = {e, α}」,「β<α> = {β, γ}」,「V = {<α>, β<α>}」,
　 「(σ V) = {σ<α>, σβ<α>}」,「(σ^{2} V) = {σ^{2}<α>, σ^{2}β<α>}」
　 「`A_{4} = V∪(σ V)∪(σ^{2} V)」,「τ`A_{4} = τ V ∪(τσ) V)∪(τσ^{2}) V)」
(2)〔p.177〕に「`A_{4} / V」「V / <α>」の演算表．

---

`▲

%42D3:〔定義2.3〕(178)/*可解群*/
`▼

---

(0)「`G」に対する部分列「(`H_{0}, `H_{1}, …, `H_{S}={e})」において，
　 ① 「`H_{K'}」が「`H_{K' - 1}」の部分群であり，
　 ②　剰余群「`H_{K' - 1} / `H_{K'}」が巡回群
　となるとき「`G」を「可解群」という．
(1)「`H_{K'}」が「`H_{K' - 1}」の部分群である列を「正規列」という．/*「組成列」*/
　　/*組成列と単純群 [物理のかぎしっぽ]*/
(2)さらに「`H_{K' - 1} / `H_{K' - 1}」が巡回群となるとき「可解列」という．

---

`▲

%4TPS1:〔定理2.25〕(179)/*巡回群の直積は可解群*/
`▼

---

(1)巡回群は可解群である．
(2)巡回群の直積は可解群である
(3)〔p.179〕の例
----------------------------------------
　①「`G = `C_{3}×`C_{5}×`C_{7}」とする
　②「`H_{1}=(Δ(K1 / 3), Δ(K2 / 5), Δ(0 / 7))」，
　　「`H_{2}=(Δ(K1 / 3), Δ(0 / 5), Δ(0 / 7))」，「{e} = (Δ(0 / 3), Δ(0 / 5), Δ(0 / 7))」
　　とおくと「`G ⊃ `H_{1} ⊃ `H_{2} ⊃ {e}」
　③「`G / `H_{1}」は「(Δ(0 / 3), Δ(0 / 5), Δ(1 / 7)) + `H_{1}」を生成元とする
　　位数「7」の巡回群
　④「`H_{1} / `H_{2}」は「(Δ(0 / 3), Δ(1 / 5), Δ(0 / 7)) + `H_{2}」を生成元とする
　　位数「5」の巡回群
　⑤「`H_{1} / `H_{2}」は「(Δ(1 / 3), Δ(0 / 5), Δ(0 / 7))」を生成元とする
　　位数「3」の巡回群
　⑥「`G」は可解群
----------------------------------------
(4)原著の記号をよく見ると上付き波線の「c」は「`Δ(K' / 7)'」の元を表しているようです．
　 /*〔pp.140-142〕の〔定理2.13〕の証明での説明*/
(5)「Δ(1 / 7)」は「`Δ(K' / 7)'」の乗法の単位元．/*加法の単位元は「Δ(0 / 7)」*/
(6)「(3)」の数値例は簡単すぎて「`H_{1}」を「`H_{2}」に制限する意図が分かり難いので
　 「3」の平方根を求めるための「`H_{K'}」を考えてみました．/*【[%62TPM1】*/
　 ・「③」で「Δ(0 / 7)【∈`Δ(K' / 7)'】」が日曜日に対応していれば`Δ(K' / 7)'の特別扱いも納得
(7)【[%62TFS1.[%122]】でWikipediaの解説「商群」を紹介．
(8)【%62D3】の参考資料を一読して「正規列」に関する抄録は断念．

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`▲

%42TPM1:「3」の平方根の計算の幾何学的説明
`▼

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(0)【[%62TPS1](6)】への補足です．/*数十年前の高校生は「数学Ⅰ」で「開平法」【開平法】を学習*/ 
　　/*「`H_{1}」を「`H_{2}」に制限する例としては見当違いでしたが参考までに*/
(1)自然数「M」の平方根を「ρ(M)」，短辺の長さが「a」で長辺の長さが「b」である長方形を「η(a, b)」，
　 長方形「η(1, x)」の対角線の長さを「h`(x)」と略記する．　　
(2)例えば「ρ(3)=h`(ρ(2))」，「ρ(5)=h`(ρ(2))」，「ρ(7)=h`(ρ(25))」．
　　/*求めたい平方根によって考える長方形が変わる*/
(3)「_xy平面」上の4点「{(0, 0), (ρ(2), 0), (0, 1), (ρ(2), 1)}」を頂点とする長方形は「η(1, ρ(2))」と合同．
(4)「(3)」の長方形では「 (ρ(2), 1)」を中心とする半径「1」の円と対角線の交点の座標は
　 「(c * ρ(2), c)」（c = (ρ(3) - 1) / ρ(3)）と表現できる．/*「c = ρ(2) / ρ(3)」*/
(5)「(4)」の長方形「η(c, c * ρ(2))」は「(3)」の長方形と相似だから，対角線の長さも「c倍」．
(6)「η(1, ρ(2))」内の2点「(ρ(2), 1)」,「(ρ(2), 1)」を結ぶ線分の長さは「1」であり，「η(1, ρ(2))」内のこれと相似な
　  「η(c, c * ρ(2))」の対角線の長さは「ρ(3) - 1」に等しい．
(7)「η(1, ρ(2))」内の「η(1, ρ(2))」と相似な長方形の右上の頂点「(c^{n}, c^{n} * ρ(2))」は「n」の増加とともに
　  「η(1, ρ(2))」の対角線上を移動し点「(0, 0)」に近づく．
(8)「`H[K'] = η(c^{K'},  c^{K'} * ρ(2))」とおくと，一応「`H_[K'] ⊃ `H_[K' + 1]」

---

`▲

%42TQ:〔定理2.26〕(180)
`▼

---

(0)「5次」以上の交代群「`A_{N}」は可解ではない．
(1)参考資料 /*「5次方程式，可解性」で検索*/
　①[_アーベル-ルフィニの定理]@https://ja.wikipedia.org/wiki/アーベル-ルフィニの定理
　②[3_五次方程式 ]@http://hooktail.sub.jp/algebra/QuinticEq/
　③[61_peng225]「5次方程式の解を巡る旅 」@http://peng225.hatenablog.com/entry/2018/03/07/180342
　④「方程式からガロア理論 」@https://lemniscus.hatenablog.com/entry/20120527/1338129004
　⑤「5次方程式が解けないことの直感的説明」@http://yosniimura.net/memo/quintic_equation.html
　⑥「可解な5次方程式について」@http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf
　⑦「5 次方程式の可解性の高速判定法」@http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0848-01.pdf
　⑧[3_]「置換群に翻弄された方程式の可解性─ガロア理論再考」@http://hooktail.sub.jp/contributions/galois16529.pdf
(2)「(1)」の資料の多くは多項式の等価変換で説明していますが，以下ではあみだくじを抽象化したモデルで考え，多項式との連付けは〔第3章〕まで待ちます．/*【[%62TQM1]】で補足*/

---

`▲第4の関門．/*〔pp.180-181〕の証明はこれまでと異なり抽象的なので難解．*/

%42TQM1:〔定理2.26〕への補足 
`▼

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(0)〔pp.180-181〕の証明が分かり難いので【[%62TM2](5)】の置換の表現を「μ5("12345"; "pqrst")」と変更し，
　 「8本」の縦棒を持つ同様のあみだくじ「「μ7("1234567"; "pqrstxyz")」」を考える．
(1)〔p.180〕の『「`N_」に含まれていない元「x, y」に関しても交換子「x^{- 1}・y^{- 1}・x・y」を作ると
　 「`N_」に含まれてしまう』の意味が分かり難いので「μ5()」に交換子「{x, y, z}」を追加した
　「μ7()」を作って「(2)」で説明する．/*「交換子」と混同しないように「文字列を変更」*/
・原著の「N」は[%1A]等の「`N」（自然数の集合）と紛らわしいので「`N_」を使用．
(2)「μ7()」の作成手順：
　①あみだくじ「μ5("12345"; "rspqt")」の右側に横棒のない「2本」の縦棒を追加したあみだくじ
　「μ7("1234567"; "qspqtxy")」を作る．/*「`σ("rspqt") = `σ("pqrst")」*/
　②初期値「"pqrst"」を偶置換で並べ替えた「"rspqt"」を作り「μ7()」の「"1234567"」を「"rspqtxy"」に変更．
　　/*「μ7()」の上端に「μ5()」のあみだくじを埋め込むのと等価*/
　　・以下では「μ7("pqrstxy"; "qspqtxy")」と略記
　③「"rspqtxy"」と「"pqrstxy"」を比較して出口の文字が入口の文字と異なる棒の
　　出口の文字を「'/'」に変える．【目視処理: これを実行するプログラムは容易に作れる!】．
　　「"rspqtxy"」→「"rspq/ry"」　　
　④出口の文字が「'/'」でない最も左にある棒の出口の文字を「'x'」にする．
　　「"rspq/xy"」→「"xspq/ry"」/*「'r'」を「'x'」にする:「x^{- 1}='r'」*/
　⑤出口の文字が「'/'」または「'x'」でない最も左にある棒の出口の文字を「'y'」にする．
　　「"xspq/ry"」→「"xypq/rs"」/*「's'」を「'y'」にする:「y^{- 1}='s'」*/
　⑥「"xypq/rs"」→「"rypq/xs"」/*「'x'」を戻す*/
　⑦「"rypq/xs"」→「"rspq/xy"」/*「'y'」を戻す*/
　⑧「"rspq/xy"」は「"pqrs/xy"」と異なるので「③」に戻る
　⑨出口の文字列が「"/////xy"」になれば置換終了．
(3)「(x, x^{- 1}」,「(y, y^{- 1})」を【対にして使うので「μ5()」の奇偶性は不変!】
(4)「μ("pqrst"; "rspqt")」が奇置換なら「{'x', 'y'}」を戻せない．
(5)「μ5()」の下端の文字列を変えた時も同様
(6)「`N_」を巡回群としているが，あみだくじでは剰余計算での「Δ」の非線形性の考慮は困難．
　　/*恒等式「Δ((200 + 300) / 41) = Δ(8 / 41)」の「{200, 300}」と「8」の関係は複雑*/
　　/*論理和や論理積の簡単な恒等式なら容易にあみだくじを作れる*/
・「巡回群」は蛇足なので全体を削除
(7)置換に過ぎないあみだくじで〔定理2.26〕を証明するのは難しいと思われるが「https://www.amazon.co.jp/」の
　 「29件」の書評（一部しか閲覧できない）でこの点に言及したものはなさそうです．
　　/* 気になるトピック「あみたくじ」の「＞続きを読む」も一応読みました．*/
(7)〔pp.180-181〕の証明を読み直して【[%62TQM2]】を作成．
(8)正体不明の「`N_」に拘るのは止めて〔§2.7〕に進みます．
・「正体不明」は勘違いなので全体を削除

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`▲

%42TQM2:[%42TQM1] (7)への補足
`▼

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(0)【[%62TQM1](2)】の「μ7()」を用いて〔定理2.26〕(180)を証明する．
(1)補題:『[%62TQM1](2)③の処理によって「 `σ("pqrst")」の任意の文字列を「⑨」の形に置換できる．』
(2)「(1)」の略証:交換子「{'x','y'}」を用いて「μ7()」の出口の文字列を左から順に「'/'」にできる．
(3)〔定理2.26〕を証明するには「⑨」の形にできない「`A_{5}」の偶置換を例示すればよい．
(4)定理の略証:『偶置換「μ5("qprts"; "pqrstxy")」は「μ7("pqrxs"; "/////ty")」まで置換できるが「'y'」を使えない』
〔p.180〕の『「`A_{N}/`N_」が巡回群となるような「`N_」』を具体化して考える．【[%62TQM1](1)】
(1)「f(Δ(K'/3)=3*K'」によって「Δ(K'/3)"」の元を整数化して「`N_={0,1,2}」と定める．
(2)簡単化のため数字とその数字が表す文字を同一視する．
(3)「`N_」の演算を加法として演算子「・」を省略する
(4)「`N_」は可換群だから「"ab"・"c"="abc"="bac"="cab"」（「σ("abc")=σ("123")」）
(5)【[%62TQM1](0)】の置換「μ5("12345"; "rspqt")」は「"rspqt"」を他の「σ("pqrst")」の文字列に置き換えても
　 「μ7()」の左の「5本」の出口の文字列を「 "/////"」にして「'x'」まで戻せる．「’ｙ’」を戻せないのは「μ5()」が
　　前提に反する奇置換の場合．
(6)「(5)」の「 "/////"」にすることの妥当性が証明の難点(?)
(7)

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`▲

%5: らくがき
 
%52TM:〔定理2.22〕(171)/*交代群と対称群*/
 
%52TM1:「3」の平方根の計算の幾何学的説明
`▼

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(0)【[%62TPS1](6)】への補足です．/*数十年前の高校生は「数学Ⅰ」で「開平法」を学習*/
　　★https://ja.wikipedia.org/wiki/開平法
　　/*「`H_{1}」を「`H_{2}」に制限する例としては見当違いでしたが参考までに*/
(1)自然数「M」の平方根を「ρ(M)」，短辺の長さが「a」で長辺の長さが「b」である長方形を「η(a, b)」，
　 長方形「η(1, x)」の対角線の長さを「h`(x)」と略記する．　　
(2)例えば「ρ(3)=h`(ρ(2))」，「ρ(5)=h`(ρ(2))」，「ρ(7)=h`(ρ(25))」．
　　/*求めたい平方根によって考える長方形が変わる*/
(3)「_xy平面」上の4点「{(0, 0), (ρ(2), 0), (0, 1), (ρ(2), 1)}」を頂点とする長方形は「η(1, ρ(2))」と合同．
(4)「(3)」の長方形では「 (ρ(2), 1)」を中心とする半径「1」の円と対角線の交点の座標は
　 「(c * ρ(2), 0)」（c = (ρ(3) - 1) / ρ(3)）と表現できる．/*「c = 1 - 1 /  ρ(3)」*/
(5)「(4)」の長方形「η(c, c * ρ(2))」は「(3)」の長方形と相似だから，対角線の長さも「c倍」．
(6)「η(1, ρ(2))」内の「η(1, ρ(2))」と相似な長方形「η(c^{K'},  c^{K'} * ρ(2))」の右上の頂点は
　　「K'」の増加とともに「η(1, ρ(2))」の対角線上を移動し，「K' → ∞」で「(0, 0)」に収束．
(7)「 ρ(3) * (c + c^{2} +  c^{3} +  c^{4} + ・・・) = ρ(3) / (1 - c) = ρ(3) 」
(8)「`H[K'] = η(c^{K'}, c^{K'}*ρ(2))」とおくと，一応「`H_[K'] ⊃ `H_[K' + 1]」

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`▲

%526TM2:文字列の群
`▼

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(0)【[%62TQ](2)】の補足として「制御文字」{'\b', '\n'}を含む文字列の群を考える．
(1)文字列「"xy"」,「"z"」は「"xy"・"z"="xyz"」のような演算「・」によって「半群★」になる．
　★https://ja.wikipedia.org/wiki/半群
(2)「(1)」の群の単位元は空列「””」．/*「"xy"・""=""・"xy"="xy"」*/
(3)「(1)」の文字列「"ab"」の逆元は「”\b\b”」．/*「"ab"\b\b"=""」*/
(4)直前の文字を消すだけなら「"xy\bz"="xz"」でもよいが「"xy\bx"="xx"」を「"y"」にしたければ
　 制御文字「'\n'」で始まる「(5)」のような処理を考えればよい．
(5)「"\nxy\bx"」を「カーソル」が行末にある文字列と考え，「"\bx"」をカーソルの左にある
　 「'x'」を削除してカーソルを行末に戻す操作と解釈する．/*「"\xyz\n"="\n"」,「"\n\b"=""」*/

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`▲

%526TM3:「交換子群」に関する資料の紹介
`▼

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(0)「群★」を再読すると「4.7 可解群・交換子群・冪零群」が見つかったので
　　　★https://ja.wikipedia.org/wiki/群_(数学)
　「交換子群」の関連資料を検索しました
　　[1]交換子部分群
　　　https://ja.wikipedia.org/wiki/交換子部分群
　　[2]交換子群 [物理のかぎしっぽ]
　　　http://hooktail.sub.jp/algebra/CommunicatorSubgroup/
　　[3]ときわ台学/代数入門/交換子群，可解群
　　　http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/101gun.html
　　[4]群の交換子全体は交換子群と一致するか？
　　　http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/10kurano.pdf
　　[5]交換子群について | 瀬端合同会社
　　　http://www.linktracktool.com/数学/群/交換子群について.html
　　[6]ガロア理論の，交換子を使った証明がわからない！
　　　http://moiiyo.blog118.fc2.com/blog-entry-119.html
(1)「(1)[1]」からの引用:
----------------------------------------
G の部分群 D(G) を 
D(G) = ( xyx^{- 1}y^{- 1}( x, y ∈ G)
と定め、H1 = D(G), H2 = D(H1), ... と帰納的に G の部分群 Hi を定めるとき、
Hr = {e} となる自然数 r が存在するならば G を可解群と呼ぶ。 
一般に、「xyx^{- 1}y^{- 1}」を x と y の交換子と呼び、[x, y] であらわす。
さらに G の部分群 H, K に対し、[h, k] (h ∈ H, k ∈ K) の形の元で生成される G の部分群を
 [H, K] で表し、H と K の交換子群という。 
この記号を用いれば、D(G) = [G, G] であり、これを G の交換子群と呼ぶ。
D(G) は G の特性部分群、したがって特に正規部分群である。
すぐに分かるように、D(G) = {e} は G がアーベル群となることに同値である。
したがって、剰余群 G/H がアーベル群となるなら H ⊇ D(G) であり、
自然に G/H ⊆ G/D(G) と見なせるので、G/D(G) は G の剰余アーベル群の中で最大のものになる。
よって G/D(G) を G の最大剰余アーベル群あるいは G のアーベル化、アーベル商などと呼ぶ。 
----------------------------------------
(2)

---

`▲

aa

〔第2章〕の紹介(4)

{〔第2章〕の紹介(4)}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/ddcb40e35311ba6eb913fc75e51388c6
/8963+[%42TGM1]（茶: 確認中; 灰色; 確認済; 緑: 非慣用記法）

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%0:〔第2章〕の紹介(4)
%2:諸定義
%3:記法の変更`▼【[%2].[%13]】`▲

%4:抄録/*編集ミスを防ぐため[%123]の直接編集を止めてここで原稿を作成*/

%4:抄録
%426:〔§2.6〕(153)/*対称群「S(_N)」*/での追加
`▼
------------------------------------------------------------
%426PA:〔問2.10〕(153)
%426PB:〔問2.11〕(162)
%426TI:〔定理2.18〕(164)/*置換は互換の積*/
%426TJ:〔定理2.19〕(166)/*対称群の生成元*/
%426TK:〔定理2.20〕(167)/*置換の奇偶性*/
%426TL:〔定理2.21〕(171)/*交代群*/
%426TM:〔定理2.22〕(171)/*交代群と対称群*/
%426TN:〔定理2.23〕(172)/*交代群は三換の積*/
%426TO:〔定理2.24〕(173)/*交代群の生成元*/
------------------------------------------------------------
%427:〔§2.7〕(175)/*可解群*/での追加
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
%42PC:〔問2.12〕(175)
%42PD:〔問2.13〕(175)
%42D3:〔定義2.3〕(178)/*可解群*/
%42TP:〔定理2.25〕(179)/*巡回群の直積は可解群*/
%42TU:〔定理2.30〕(184)/*剰余群も可解群*/
--------------------------------------------------------------------------------
`▲

%42PC:〔問2.12〕(175)
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)対称群「`S_{3} = {e, σ, (σ^{2}), τ, (τσ), (τσ^{2})}」に対して
交代群「`A_{3} ={e, σ, (σ^{2})}」であることを確認せよ．
(1){e} ⊂ (`A_{3}) ⊂ (`S_{3})．/*「(τ`A_{3})) ⊂ (`S_{3})」*/
--------------------------------------------------------------------------------
`▲ 

%42PD:〔問2.13〕(175)
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)対称群「`S_{4} = {V∪(σ V)∪(σ^{2} V)∪(τ V)∪(τ σ) V∪(τ σ^{2}) V}」に対して
　 交代群「`A_{4} = {V∪(σ V)∪(σ^{2} V)}」であることを確認せよ．
(1)「<α> = {e, α}」,「β<α> = {β, γ}」,「V = {<α>, β<α>}」,
　 「(σ V) = {σ<α>, σβ<α>}」,「(σ^{2} V) = {σ^{2}<α>, σ^{2}β<α>}」
　 「`A_{4} = V∪(σ V)∪(σ^{2} V)」,「τ`A_{4} = τ V ∪(τσ) V)∪(τσ^{2}) V)」
(2)〔p.177〕に「`A_{4} / V」「V / <α>」の演算表．
--------------------------------------------------------------------------------
`▲

%42D3:〔定義2.3〕(178)/*可解群*/
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「`G」に対する部分列「(`H_{0}, `H_{1}, …, `H_{S}={e})」において，
　 ① 「`H_{K'}」が「`H_{K' - 1}」の部分群であり，
　 ②　剰余群「`H_{K' - 1} / `H_{K'}」が巡回群
　となるとき「`G」を「可解群」という．
(1)「`H_{K'}」が「`H_{K' - 1}」の部分群である列を「正規列」という．/*「組成列」*/
　　/*組成列と単純群 [物理のかぎしっぽ]*/
(2)さらに「`H_{K' - 1} / `H_{K' - 1}」が巡回群となるとき「可解列」という．
--------------------------------------------------------------------------------
`▲

%4TPS1:〔定理2.25〕(179)/*巡回群の直積は可解群*/
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(1)巡回群は可解群である．
(2)巡回群の直積は可解群である
(3)〔p.179〕の例
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　①「`G = `C_{3}×`C_{5}×`C_{7}」とする
　②「`H_{1}=(Δ(K1 / 3), Δ(K2 / 5), Δ(0 / 7))」，
　　「`H_{2}=(Δ(K1 / 3), Δ(0 / 5), Δ(0 / 7))」，「{e} = (Δ(0 / 3), Δ(0 / 5), Δ(0 / 7))」
　　とおくと「`G ⊃ `H_{1} ⊃ `H_{2} ⊃ {e}」
　③「`G / `H_{1}」は「(Δ(0 / 3), Δ(0 / 5), Δ(1 / 7)) + `H_{1}」を生成元とする
　　位数「7」の巡回群
　④「`H_{1} / `H_{2}」は「(Δ(0 / 3), Δ(1 / 5), Δ(0 / 7)) + `H_{2}」を生成元とする
　　位数「5」の巡回群
　⑤「`H_{1} / `H_{2}」は「(Δ(1 / 3), Δ(0 / 5), Δ(0 / 7))」を生成元とする
　　位数「3」の巡回群
　⑥「`G」は可解群
----------------------------------------
(4)原著の記号をよく見ると上付き波線の「c」は「`Δ(K' / 7)'」の元を表しているようです．
　 /*〔pp.140-142〕の〔定理2.13〕の証明での説明*/
(5)「Δ(1 / 7)」は「`Δ(K' / 7)'」の乗法の単位元．/*加法の単位元は「Δ(0 / 7)」*/
(6)「(3)」の数値例は簡単すぎて「`H_{1}」を「`H_{2}」に制限する意図が分かり難いので
　 「3」の平方根を求めるための「`H_{K'}」を考えてみました．/*【[%62TPM1】*/
　 ・「③」で「Δ(0 / 7)【∈`Δ(K' / 7)'】」が日曜日に対応していれば`Δ(K' / 7)'の特別扱いも納得
(7)【[%62TFS1.[%122]】でWikipediaの解説「商群」を紹介．
(8)【%62D3】の参考資料を一読して「正規列」に関する抄録は断念．
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`▲

%42TPM1:「3」の平方根の計算の幾何学的説明
`▼
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(0)【[%62TPS1](6)】への補足です．/*数十年前の高校生は「数学Ⅰ」で「開平法」【開平法】を学習*/ 
　　/*「`H_{1}」を「`H_{2}」に制限する例としては見当違いでしたが参考までに*/
(1)自然数「M」の平方根を「ρ(M)」，短辺の長さが「a」で長辺の長さが「b」である長方形を「η(a, b)」，
　 長方形「η(1, x)」の対角線の長さを「h`(x)」と略記する．　　
(2)例えば「ρ(3)=h`(ρ(2))」，「ρ(5)=h`(ρ(2))」，「ρ(7)=h`(ρ(25))」．
　　/*求めたい平方根によって考える長方形が変わる*/
(3)「_xy平面」上の4点「{(0, 0), (ρ(2), 0), (0, 1), (ρ(2), 1)}」を頂点とする長方形は「η(1, ρ(2))」と合同．
(4)「(3)」の長方形では「 (ρ(2), 1)」を中心とする半径「1」の円と対角線の交点の座標は
　 「(c * ρ(2), c)」（c = (ρ(3) - 1) / ρ(3)）と表現できる．/*「c = ρ(2) / ρ(3)」*/
(5)「(4)」の長方形「η(c, c * ρ(2))」は「(3)」の長方形と相似だから，対角線の長さも「c倍」．
(6)「η(1, ρ(2))」内の2点「(ρ(2), 1)」,「(ρ(2), 1)」を結ぶ線分の長さは「1」であり，「η(1, ρ(2))」内のこれと相似な
　  「η(c, c * ρ(2))」の対角線の長さは「ρ(3) - 1」に等しい．
(7)「η(1, ρ(2))」内の「η(1, ρ(2))」と相似な長方形の右上の頂点「(c^{n}, c^{n} * ρ(2))」は「n」の増加とともに
　  「η(1, ρ(2))」の対角線上を移動し点「(0, 0)」に近づく．
(8)「`H[K'] = η(c^{K'},  c^{K'} * ρ(2))」とおくと，一応「`H_[K'] ⊃ `H_[K' + 1]」
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`▲

%42TQ:〔定理2.26〕(180)
`▼
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(0)「5次」以上の交代群「`A_{N}」は可解ではない．
(1)参考資料 /*「5次方程式，可解性」で検索*/
　[1]アーベル-ルフィニの定理
　　https://ja.wikipedia.org/wiki/アーベル-ルフィニの定理
　[2]五次方程式 [物理のかぎしっぽ]
　　http://hooktail.sub.jp/algebra/QuinticEq/
　[3]5次方程式の解を巡る旅 ?5次方程式の可解性判定編 ...
　　http://peng225.hatenablog.com/entry/2018/03/07/180342
　[4]方程式からガロア理論 - 再帰の反復blog
　　https://lemniscus.hatenablog.com/entry/20120527/1338129004
　[5]5次方程式が解けないことの直感的説明 - 新村芳人のホームページ
　　http://yosniimura.net/memo/quintic_equation.html
　[6]可解な5次方程式について
　　http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf
　[7]5 次方程式の可解性の高速判定法
　　http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0848-01.pdf
　[8]置換群に翻弄された方程式の可解性─ガロア理論再考
　http://hooktail.sub.jp/contributions/galois16529.pdf
(2)「(1)」の資料の多くは多項式の等価変換で説明していますが，以下ではあみだくじを抽象化したモデルで考え，
　　多項式との連付けは〔第3章〕まで待ちます．/*【[%62TQM1]】で補足*/
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`▲第4の関門．/*〔pp.180-181〕の証明はこれまでと異なり抽象的なので難解．*/

%42TQM1:〔定理2.26〕への補足 
`▼
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(0)〔pp.180-181〕の証明が分かり難いので【[%62TM2](5)】の置換の表現を「μ5("12345"; "pqrst")」と変更し，
　 「8本」の縦棒を持つ同様のあみだくじ「「μ7("1234567"; "pqrstxyz")」」を考える．
(1)〔p.180〕の『「`N_」に含まれていない元「x, y」に関しても交換子「x^{- 1}・y^{- 1}・x・y」を作ると
　 「`N_」に含まれてしまう』の意味が分かり難いので「μ5()」に交換子「{x, y, z}」を追加した
　「μ7()」を作って「(2)」で説明する．/*「交換子」と混同しないように「文字列を変更」*/
・原著の「N」は[%1A]等の「`N」（自然数の集合）と紛らわしいので「`N_」を使用．
(2)「μ7()」の作成手順：
　①あみだくじ「μ5("12345"; "rspqt")」の右側に横棒のない「2本」の縦棒を追加したあみだくじ
　「μ7("1234567"; "qspqtxy")」を作る．/*「`σ("rspqt") = `σ("pqrst")」*/
　②初期値「"pqrst"」を偶置換で並べ替えた「"rspqt"」を作り「μ7()」の「"1234567"」を「"rspqtxy"」に変更．
　　/*「μ7()」の上端に「μ5()」のあみだくじを埋め込むのと等価*/
　　・以下では「μ7("pqrstxy"; "qspqtxy")」と略記
　③「"rspqtxy"」と「"pqrstxy"」を比較して出口の文字が入口の文字と異なる棒の
　　出口の文字を「'/'」に変える．【目視処理: これを実行するプログラムは容易に作れる!】．
　　「"rspqtxy"」→「"rspq/ry"」　　
　④出口の文字が「'/'」でない最も左にある棒の出口の文字を「'x'」にする．
　　「"rspq/xy"」→「"xspq/ry"」/*「'r'」を「'x'」にする:「x^{- 1}='r'」*/
　⑤出口の文字が「'/'」または「'x'」でない最も左にある棒の出口の文字を「'y'」にする．
　　「"xspq/ry"」→「"xypq/rs"」/*「's'」を「'y'」にする:「y^{- 1}='s'」*/
　⑥「"xypq/rs"」→「"rypq/xs"」/*「'x'」を戻す*/
　⑦「"rypq/xs"」→「"rspq/xy"」/*「'y'」を戻す*/
　⑧「"rspq/xy"」は「"pqrs/xy"」と異なるので「③」に戻る
　⑨出口の文字列が「"/////xy"」になれば置換終了．
(3)「(x, x^{- 1}」,「(y, y^{- 1})」を【対にして使うので「μ5()」の奇偶性は不変!】
(4)「μ("pqrst"; "rspqt")」が奇置換なら「{'x', 'y'}」を戻せない．
(5)「μ5()」の下端の文字列を変えた時も同様
(6)「`N_」を巡回群としているが，あみだくじでは剰余計算での「Δ」の非線形性の考慮は困難．
　　/*恒等式「Δ((200 + 300) / 41) = Δ(8 / 41)」の「{200, 300}」と「8」の関係は複雑*/
　　/*論理和や論理積の簡単な恒等式なら容易にあみだくじを作れる*/
・「巡回群」は蛇足なので全体を削除
(7)置換に過ぎないあみだくじで〔定理2.26〕を証明するのは難しいと思われるが「https://www.amazon.co.jp/」の
　 「29件」の書評（一部しか閲覧できない）でこの点に言及したものはなさそうです．
　　/* 気になるトピック「あみたくじ」の「＞続きを読む」も一応読みました．*/
(7)〔pp.180-181〕の証明を読み直して【[%62TQM2]】を作成．
(8)正体不明の「`N_」に拘るのは止めて〔§2.7〕に進みます．
・「正体不明」は勘違いなので全体を削除
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`▲

%42TQM2:[%42TQM1] (7)への補足
`▼
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(0)【[%62TQM1](2)】の「μ7()」を用いて〔定理2.26〕(180)を証明する．
(1)補題:『[%62TQM1](2)③の処理によって「 `σ("pqrst")」の任意の文字列を「⑨」の形に置換できる．』
(2)「(1)」の略証:交換子「{'x','y'}」を用いて「μ7()」の出口の文字列を左から順に「'/'」にできる．
(3)〔定理2.26〕を証明するには「⑨」の形にできない「`A_{5}」の偶置換を例示すればよい．
(4)定理の略証:『偶置換「μ5("qprts"; "pqrstxy")」は「μ7("pqrxs"; "/////ty")」まで置換できるが「'y'」を使えない』
〔p.180〕の『「`A_{N}/`N_」が巡回群となるような「`N_」』を具体化して考える．【[%62TQM1](1)】
(1)「f(Δ(K'/3)=3*K'」によって「Δ(K'/3)"」の元を整数化して「`N_={0,1,2}」と定める．
(2)簡単化のため数字とその数字が表す文字を同一視する．
(3)「`N_」の演算を加法として演算子「・」を省略する
(4)「`N_」は可換群だから「"ab"・"c"="abc"="bac"="cab"」（「σ("abc")=σ("123")」）
(5)【[%62TQM1](0)】の置換「μ5("12345"; "rspqt")」は「"rspqt"」を他の「σ("pqrst")」の文字列に置き換えても
　 「μ7()」の左の「5本」の出口の文字列を「 "/////"」にして「'x'」まで戻せる．「’ｙ’」を戻せないのは「μ5()」が
　　前提に反する奇置換の場合．
(6)「(5)」の「 "/////"」にすることの妥当性が証明の難点(?)
(7)
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`▲作業中

%425:〔§2.5〕(144)/*第2同型定理,第3同型定理*/での追加
`▼

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%42TE:〔定理2.14〕(145)/*部分群であるための条件*/
%42TF:〔定理2.15〕(146)/*部分群の演算*/
%42TG:〔定理2.16〕(147)/*第2同型定理*/
%42P8:〔問2.8〕(149)
%42TH:〔定理2.17〕(150)/*第3同型定理*/
%42P9:〔問2.9〕(152)

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`▲

%42TF:〔定理2.15〕(146)/*部分群の演算*/
`▼

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(0)「`H」が「`G」の部分群，「`N_」が「`G」の正規部分群であるとき「`H ∩ (`H ∩ `N_)」と「`H・`N_/`N_」は
　同型であり，「`N_」が「`H」の正規部分群であるときも成立．/*このブログでは「`N」:自然数の集合*/
(1)有限群「`G」の部分群「`H」について「a'・`H = `H・a'」（a' ∈ `H）であるとき，
　「`H」を「`G」の「正規部分群」という．/*〔定理2.8〕(126)*/
(2)演算子がないと分かり難いので慣用記法に反して「・」を挿入．/*【[%62T1].[%12]】*/
(3)原著の「HN」〔p.145〕は分かり難いので，「(`H1)(`N2)」を
　「`H1(`N2) = {(h, n); (h ∈ `H1) ∧ (n ∈ `N2)}」と表示．/*【[%62TF](1).[%122]】*/
(4)上のように定めた「f:G → G / N」を「自然準同型」と呼びます．/*〔p.147〕*/
(5)「Wikipedia」の解説:「自然変換」「群準同型」「商群」【準同型定理】　
(6)「自然準同型」は索引にないのでWikipediaの記事を【[%62TFS1]】で紹介
(7)参考資料
　①[_自然変換]@https://ja.wikipedia.org/wiki/自然変換
　②[3_準同型写像 ]@http://hooktail.sub.jp/algebra/Homomorphic/
　③[61_peng225]「群の自然な準同型と部分群の対応」
　　http://peng225.hatenablog.com/entry/2016/12/18/112359 

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`▲

%42TFS1:「商群」(Wikipedia)の紹介
`▼

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(1)商群（しょうぐん、英: quotient group, factor group）あるいは剰余群、因子群とは、
群構造を保つ同値関係を用いて、大きい群から似た元を集めて得られる群である。
例えば、n を法とした加法の巡回群は、整数から、差が n の倍数の元を同一視し、
そのような各類（合同類と呼ばれる）に1つの実体として作用する群構造を定義することによって得られる。
群論と呼ばれる数学の分野の一部である。
(2)群の商において、単位元の同値類はつねにもとの群の正規部分群であり、
他の同値類たちはちょうどその正規部分群の剰余類たちである。
得られる商は G/N と書かれる、ただし G はもとの群で N は正規部分群である。
（これは「G mod N（ジーモッドエヌ）」と読まれる。"mod" は modulo の略である。） 
(3)商群の重要性の多くはその準同型との関係に由来する。
第一同型定理は任意の群 G の準同型による像はつねに G のある商と同型であると述べている。
具体的には、準同型 φ: G → H による G の像は G/ker(φ) と同型である、
ただし ker(φ) は φ の核 を表す。
(4)商群の双対概念は部分群であり、これらが大きい群から小さい群を作る2つの主要な方法である。
任意の正規部分群 N は、大きい群から部分群 N の元の間の差異を除去して得られる、対応する商群を持つ。
圏論では、商群は商対象の例であり、これは部分対象の双対である。
商対象の他の例は、商環、商線型空間、商位相空間、商集合を参照。
(5)名前「商」の動機づけ
G/N が商群と呼ばれる理由は整数の除法から来る。
12 を 3 で割ると答えは 4 である、なぜならば 12 個のモノを 3 コのモノからなる 
4 つのグループに分けることができるからである。
商群は同じ思想であるが、最終的な答えは数ではなく群である、
なぜならば群はモノの任意の集まりよりも多くの構造を持っているからである。 
詳しく述べるため、N を G の正規部分群として、G/N を見ると、
群構造は自然な「グループ分け」をするために用いられる。
これらは N の G における剰余類である。
最終的な商は（通常の割り算が与える）単なる剰余類の個数よりも多くの情報を含んでおり、
それ自身群構造を持つ。 

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`▲「過剰引用を自粛」

%42TGM1:〔定理2.16〕(147)
`▼

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(0)「`H」,「`N_」が「`G」の部分群で，「`N_」が「`G」の正規部分群であるとき
　 「`H/(`H ∩`N_)」は「`H(`N_) / `N_」と同型であり，「`N_」が「`H」の正規部分群であるときも成立．
(1)「Imorph(f; `G, (`G / `N_)」となる「f」を「f(n) = (x) `N_」と定めると
　 「f(xy) = (x・y) `N_ = ((x)`N_))・((y)`N_) = f(x)・ f(y)」
(2)有限群「`G」の部分群「`H」に対して「a・`H=`H・a」（a ∈ `H）であるとき
「`H」を「`G」の「正規部分群」という．/*〔定理2.8〕(126)*/
(3)「{g`[1]・`H, g`[2], …… , g`[d]・`H}」/*〔定理2.4〕(112)*/は
　　演算「(g`[i']・`H)・(g`[j']・`H)=(g`[i']・g`[j'])・`H」によって群になる．この群を
　　「`G」の「`H」による「剰余類」といい，「`G / `H」で表す．/*【[%62T8](2).[%123]】*/
(4)〔p.147〕の準同型写像「f:`G → (`G / `N_)」の説明．/*cf.「`N」は自然数の集合:従来通り*/
　①「f(x')=(・x') + `H」とする．/*「・」付きの元を「`H」に追加．*/
　②「f(x' + y')=(・(x' + y'))+`H = (・x') + `H)+(・y') + `H) = f(x') + f(y')」だから
　　「f」は準同型写像．/*「f:`G → (`G / `N_)」だから「x' + y'」は「`G」の任意の元*/
　③〔第1章〕では「・」＝「*」であったが〔第2章〕から「・」＝「+」になったので
　　演算子を明示するために表現を変更．
　④「f」の定義域を「`H」に制限した「f2:`H → (`G / `N)」を考える
　⑤「Im(f2)=(`H(`N_)) / `N_」と「Ker(f2)=`H ∩`N」は同型．
　⑥〔p.147〕の「`H・`N_ = {(h・n); (h∈`H) ∧ (h∈`H)}」は分かり難いので
　　「`H(`N_)={(・h)+`N; h ∈`H}」と定義．/*【[%62TF].[%122★]】*/　
　⑦「(5)」に「`G = `Δ(K'/5)'」「`H = `Δ(K'/3)'」としたときの単純な計算例を示す．
　⑧「自然準同型写像」では「`H(`N_)」の「`H」を「`N」の元を操作する
　　「作用素」の集合として使いたいと推測して【[%62P8S2]④】を作成
(5)「f3:`R → `Δ(K'/3)"」「f5:`R → `Δ(K'/5)"」を次のように定める:
　①「f3(x') = 3 * x'」（x' ∈ `R），「g3(x') = x' / 3」（x' ∈ `R）と定めると
　　「f3(Δ(K'/ 3)) = K'」（K' ∈ `N），「f3(Δ(3 / 3)) = 0」，
　　「f3(`Δ(K'/ 3)") = {0, 1, 2}」「g3(f3(`Δ(K'/ 3)"))={0, 1, 2}」
　②同様に「f5(x') = 5 * x'」（x' ∈ `R），「g5(x') = x' / 5」（x' ∈ `R）と定めると
　　「f5(`Δ(K'/ 5)") = {0, 1, 2, 3, 4}」「g5(f5(`Δ(K'/ 3)"))={0, 1, 2, 3, 4}」
　③既約でない剰余類「`Δ(K' / 15)'」に対して「f35:`R → `Δ(K'/15)'」「g53:`R → `Δ(K'/15)'」を
　　「f35(x') = f3(f5(x')」（x' ∈ `R），「g53(x') = g5(g3(x')」（x' ∈ `R）と定めると
　　「f35(Δ(x'/ 15)) = f3(f5(Δ(x'/ 15)) = f3(Δ(x'/ 3)) = x'」，「g53(Δ(x' / 1) = Δ(x'/ 15)」
(6)群の性質を説明する具体例は〔問1.4〕(37)のような計算例と〔問1.5〕(38)のような操作例
　　に大別される．「あみだくじ」による置換群の説明は原著の特徴であるが，〔定理2.26〕(180)の証明の
　　『 n が4以下の場合にはこのような m,l をとることができませんから』が難解．/*【[%62TQM2].[%125]】*/
　　 [%62P8S2]②の　 「Δ(200 / 41) * Δ(300 / 41) = Δ(60000 / 41)」のような計算（操作？）も
　　「300本」の縦棒を持つ　 「あみだくじ」で計算できる
　①左端から「K'」番目の縦棒の出入口に「Δ(K' / 41)」を10進数で表現した文字列を書ばよい．
　②「Δ(200 / 41)=36」,「Δ(300 / 41)=13」だから「"36"×"13"」を計算して答の10進数表示は「"468"」
(7)「`H = `Δ(K' / 5)"」「`N_ = `Δ(K' / 3)"」として「`H」を「{W`(K' / 5); K' ∈ `Z}」に対応させ，
　 「`N_」を「_xy平面」上の三角形「A」に対応させる
　①「_xy平面」上の点「P(x, y)」は「W`(1 / 5) * P(x, y)」によって原点を中心に「360° / 5 = 72°」左回りに回転するので「W`(1 / 5) * `N_」で三角形「A」の各頂点を「72°」回転させることができる．　　 
　②/*「W`(1 / 3) * P(x, y)」ならば「120°」回転*/

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`▲①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯⑰⑱⑲⑳

aa

〔第2章〕の紹介(2)

{〔第2章〕の紹介(2)}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/4075a5e43ecfc46706c138605ce2debf
/6751+[%42P8]

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%0:〔第2章〕の紹介(2)
%1:参考資料
%2:諸定義
%3:記法の変更`▼【[%2].[%13]】`▲

%4:抄録/*編集ミスを防ぐため[%123]の直接編集を止めてここで原稿を作成*/

%4:抄録
%422:〔§2.2〕(104)/*一般の剰余群*/での追加
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
%422:〔§2.2〕(104)/*一般の剰余群*/での追加
%422T3:〔定理2.3〕(110)/*剰余類*/
%422T4:〔定理2.4〕(112)/*ラグランジュの定理*/
%422P2:〔問2.2〕(113)
%422T5:〔定理2.5〕(114)/*位数乗は単位元*/
%422T6:〔定理2.6〕(115)/*フェルマーの小定理，オイラーの定理*/
%422T7:〔定理2.7〕(115)/*剰余類の単位元*/
--------------------------------------------------------------------------------
`▲

%423:〔§2.3〕(116)/*「S(P_6)」*/での追加
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
%423P3:〔問2.3〕(116)
%422T8:〔定理2.8〕(126)/*剰余群*/
%423P4:〔問2.4〕(129)
%423P5:〔問2.5〕(131)
%423T9:〔定理2.9〕(132)/*巡回群の剰余群は巡回群*/
%423P6:〔問2.6〕(133)
%423TA:〔定理2.10〕(134)/*半分の部分群は正規部分群*/
--------------------------------------------------------------------------------
`▲

%42P8:〔問2.8〕の復習
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「G = `Z」「`H1 = (6)`Z」「`N2 = (10)`Z」のとき
　　「`H/(`H ∩ `N_)」と「`H(`N_)」は同型であることを確認せよ．【_「`N」:自然数の集合】
(1)「`G = `Δ(K' / 1)'」と考えれば剰余類で表現できる．
(2)『加法（＋）の演算は交換可能ですから』(149)に関するメモ
　①〔第1章〕では群の演算「・」は「*」であったが〔第2章〕から「＋」で考える．
　②「*」では「Δ」の非線形性を扱いにくい．/*〔問1.13〕(84)*/
　　【_高校生でも計算できる「Δ(200 / 41) * Δ(300 / 41) = Δ(60000 / 41)」に「原始根」で苦労？】
　③「`H/(`H ∩ `N_)」は「商群」
　　【「x'∈`H/(`H ∩ `N_)」∧「y'∈`H/(`H ∩ `N_)」と「x' = y'」を同一視して「類別★」!】
　④『「f2:`H → `G /`N_」では定義域が「`H」に制限されていますから「`H(`N_)」の
　　「`N_」による剰余類を考えて「Im(f2)」は「`H」から「`G /`N_」への全射』(148)
　　 /*原文と少し表現が異なる*/
(3)【_「f:(6)`Z/(30)`Z → (2)`Z/(10)`Z」を「f(6 * x') = 2 * x'」と定めると
　　「f(6 * x'+ 6 * y')=f(6 * x') + f(6 * y')」だから同型写像】
(4)一般に「(a)`Z/(LCM(a, b))`Z」と「(GCD`(a,b))`Z」は同型
--------------------------------------------------------------------------------
`▲

 

〔第2章〕の紹介(1)

{〔第2章〕の紹介(1)}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/2204439190409627784a76a4d536ea3d
/20847+[]
・リンクが無効

---

%0:〔第2章〕の紹介(1)

%4:抄録

%421:〔§2.1〕/*二面体群*/での追加
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
%42P1:〔問2.1〕(98)
%42T1:〔定理2.1〕(101)/*「g」による入れ替え*/
%42T2:〔定理2.2〕(102)/*「g」が部分群に作用*/
%42D1:〔定義2.1〕(103)/*二面体群*/ 
%42D1M1
--------------------------------------------------------------------------------
`▲
 
%42P1:〔問2.1〕(98)`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(1)「`xy平面」上の三角形を「G」とする．/*【[%3171].[%17]】*/
(2)「G」を「z軸」周りに「120°回転」した図形を「σG」で表す．
(3)「G」を「y軸」周りに「180°回転」した図形を「τG」で表す．
(4)「恒等作用素」を「e」とすると「σ^{3} = τ^{2} = e」
　/*「σ^{n + 1}G = σ(σ^{n}G)」*/
(5)「σ」と「τ」の演算表は〔p.99〕のようになり，「結合法則」が成立する．
(6)「`T_{3}={e, σ, σ^{2}, τ, (τσ), (τσ^{2})}」を正三角形の二面体群という．
(7)〔問1.5〕の巡回群「`C_{6}」は演算表が対角線に対して対称なので可換群(アーベル群)であるが，
　　上記の「`T_{3}」は非可換．
(8)「`C_{6}」,「`T_{3}」ともに演算表のどの行，どの列にも群の元がちょうど1回ずつ出てくる．
--------------------------------------------------------------------------------
`▲〔p.98〕の図が分かり難いので(2), (3)は〔p.99〕の図で推測．

%421P10:〔p.98〕の「τσ」の点線は無印の頂点から対辺への垂線？（「τσ^{2}」はOK）
　正誤表には記載なし

%42T1:〔定理2.1〕/*「g」による入れ替え*/
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「`G = {g_{1}, g_{2}, … , g_{n}}」を群,「g  ∈ `G」とする
(1)「g・`G = {g・g_{1},  g・g_{2},  … ,  g・g_{n}}」と定めると「g・G = G」
(2)「`G・g = {g_{1}・g,  g_{2}・g, … , g_{n}・g}」と定めると「`G・g = `G」
(3)「`G」の部分群「`H」の任意の元「h」についても「h・`H = `H = `H・h」
(4)「`Ord(`G) = n」で「`G・g」の中に等しいものがないので「g・`G = `G = `G・g」
--------------------------------------------------------------------------------
`▲演算子がないと分かり難いので【慣用記法に反して】「・」を挿入
 
%42T2:〔定理2.2〕/*剰余類*/
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「`H」を「`G」の部分群とすると「Δ(|G| / |H|) = 0」
(1)「g・`G」を左剰余類，「`G・g」を右剰余類という．
--------------------------------------------------------------------------------
`▲

%42D1:〔定義2.1〕(103)/*二面体群*/
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(1)「`xy平面」上の単位円に内接する「正 n 角形」を「A」とする．
(2)「z軸」を中心に「A」を左回りに「(360°/ n)回転」した図形を「σA」で表す．
(3)「y軸」を中心に「A」を左回りに「180°回転」した図形を「τA」で表す．
　　/*「「y軸」に関して「対称移動」しても「τ^{2} = e」*/
(4)上記の「σ」と「τ」で生成される群を「`D_{n}」と書く．
(5)「σ^{n} = τ^{2} = e」だから「`D_{n}」は有限群．
(6)「`D_{n}」は非可換/*「σ^{k}」だけでは「表裏」不変*/
--------------------------------------------------------------------------------
`▲

%421D1S:〔pp.104-109〕の説明の要約
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(1)「Δ(K1' / 5) + Δ(K2' / 5) = Δ((K1'+K2') / 5)」．/*加法に関して閉じている*/
(2)「Δ(K1' / 5) + Δ((- K1') / 5) = 0」．/*加法の逆元*/
(3)「Δ(3/ 5) + Δ((- K1') / 5)' = {Δ((3 + K') / 5); K'∈`Z}」
(4)「`Δ(K' / 5)'」の任意の元「Δ(K1' / 5)」に対して「Δ(K1' / 5) ∈ `Δ(K2' / 5)'」
　 となる「K2 ∈ `Z」が存在する
(5)「K1' ≠ K2'」ならば「`Δ(K2' / 5)'∩`Δ(K2' / 5)'」は空集合．
(6)「2 + `Δ(K' / 5)'={2}∪`Δ(K' / 5)'」
(7)「`Δ(K' / 5)'」（K'∈`Z）は「Δ(K' / 5) = 0」である整数の集合
--------------------------------------------------------------------------------
`▲式の表現は[%1A]に準拠
 
%42D1M:「W`(K' / M)」による補足
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「_xy平面」上の正三角形の頂点を「{`W(1 / 3),`W(2 / 3),`W(3 / 3)}」とする．
(1)[%422D1](2)の操作「σ」で頂点「`W(K' / 3)」は「`W((K' + 1) / 3)」に移動する．
(3)「A」の頂点を「{`W(4 / 12), `W(8 / 12), `W(12 / 12)}」にすると「σ」で細かく
　 回転できる．/*「(σ^{3})A」で「y軸」が対称軸になる:「360°/ 12 = 30°」*/
(4)正五角形では「360°/ 5 = 72°」．
--------------------------------------------------------------------------------
`▲「W`(K' / M)」の定義は【[%515P6M1](6).[%1A★]】
 
%422:〔§2.2〕/*一般の剰余群*/での追加
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
%42T3:〔定理2.3〕(110)/*剰余類*/
%42T4:〔定理2.4〕(112)/*ラグランジュの定理*/
%42P2:〔問2.2〕(113)
%42T5:〔定理2.5〕(114)/*位数乗は単位元*/
%42T6:〔定理2.6〕(115)/*フェルマーの小定理，オイラーの定理*/
%42T7:〔定理2.7〕(115)/*剰余類の単位元*/
--------------------------------------------------------------------------------
`▲
 
%42T3:〔定理2.3〕(110)/*剰余類*/
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)(0)「`H」を位数「n」の有限群「`G」の部分群とする．
(1)参考資料/*脱落していたので「wikipedia」の解説を紹介*/
　[1] https://ja.wikipedia.org/wiki/剰余類
　[2] https://ja.wikipedia.org/wiki/部分群の指数 
(2)「h・`H」を作ると「h・`H ⊂ `H ⊂ `G」
--------------------------------------------------------------------------------
`▲

%42T4:〔定理2.4〕(112)/*ラグランジュの定理*/
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「`H」が「`G」の部分群のとき「|`G| = [G:H] * |`H|」
(1)〔定理1.5〕の拡張．【[%4163].[%14]】
--------------------------------------------------------------------------------
`▲
 
%423:〔§2.3〕/*S_p{6}*/での追加
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
%423P3:〔問2.3〕(p.116)
%423T8:〔定理2.8〕(126)/*剰余群*/
%423T9:〔定理2.9〕(132)/*巡回群の剰余群は巡回群*/
%423TA:〔定理2.10〕(134)/*半分の部分群は正規部分群*/
%423TF:〔定理2.15〕(146)/*部分群の演算*/
%423D2:〔定義2.2〕(135)/*群の同型写像*/
%423P8S1:〔問2.8〕(149)
--------------------------------------------------------------------------------
`▲
%42P3:〔問2.3〕(p.116)
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「G = P(1 / 2, 1 / 2, 1 / 2)」として立方体「D」の置き換えからなる群を求めよ
　　「α」=「Gを通るx軸と平行な直線の周りの180°回転」
　　「β」=「Gを通るz軸と平行な直線の周りの180°回転」
　　「γ」=「Gを通るy軸と平行な直線の周りの180°回転」
(1)「D」の「_xyz空間での」頂点「P[K']」（0 ≦ K'≦ 7）の座標を
　　「P[K'] = (Δ(K'/2), Δ(K'/4), Δ(K'/8))」とする．
(2)「_xyz空間」内の任意の点「P(X', Y', Z')」（(X', Y', Z') ∈ `R^{3}）について
　　直接座標軸周りの180°回転を計算すると「Vの演算表」〔p.118〕を作成できる．
(3)例えば「(αβ) = γ」は次式で確認できる．
　 「βP(X, Y, Z) = P(- X, - Y, Z)」
　 「α(βP(X, Y, Z)) = P(- X, Y, - Z)」
--------------------------------------------------------------------------------
`▲
 
%42T8:〔定理2.8〕(126)/*剰余群*/
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「`H」を有限群「`G」の部分群とする．
(1)「g'  `H = `H  g'」（g' ∈ `H）であるとき「`H」を「`G」の「正規部分群」という．
(2)「`G」の「`H」による剰余類「{g_{1}`H, …, g_{D}`H}」（D = [`G:`H]）は
　 「(g_{K1'}`H)・(g_{K2'}`H) = (g_{K1'} ・ g_{K2'})`H」という演算について群になる．
(3)「(2)」の群を「`G」の「`H」による剰余群といい「`G / `H」で表す．
--------------------------------------------------------------------------------
`▲
 
%42T9:〔定理2.9〕(132)/*巡回群の剰余群は巡回群*/

%42TA:〔定理2.10〕(134)/*半分の部分群は正規部分群*/

%42TF:〔定理2.15〕(146)/*部分群の演算*/
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「H」,「N」が「G」の部分群であるとき
　(ア)「H∩N」は「G」の部分群
　(イ)特に「N」が「G」の正規部分群であれば「HN」は「G」の部分群
(1)原著の「HN」〔p.145〕は分かり難いので，「(`H1)(`N2)」を
　「`H1(`N2) = {(h, n); (h ∈ `H1) ∧ (n ∈ `N2)}」と表示．
(2)上のように定めた「f:G → (G / N)」を「自然準同型」と呼びます．/*〔p.147〕*/ 
(3)「Wikipedia」の解説:「自然変換」「群準同型」「商群」【準同型定理】　/*とりあえず気にせず回避*/
--------------------------------------------------------------------------------
`▲
 
%42D2:〔定義2.2〕(135)/*群の同型写像*/
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「f1:`G1 → `G2」/*「`G1」,「`G2」は群*/とする．
(1)「f1(X'・Y') = f1(X')・f1(Y')」（(X',Y') ∈ `G1^{2}）であることを「Hmorph`(f1; `G1, `G2)」
　で表し．「f1」を「`G1」から「`G2」への「準同型写像」という
　 /*記法は【[%3141](3).[%13]】の「Imorph`(f; `G1, `G2)」に準拠*/
(2)「Im`(f1)  = {f1(g); g ∈ `G1}」は群．/*〔定理2.11〕*/
(3)「Ker`(f1) = {f1(g); (f1(g) = e2)∧(g ∈ `G1)}」は群．/*〔定理2.12〕*/
(4)「`N2 = Ker`(f1)」とすると「Imorph`(f1; `G1 / `N2, Im`(f1))」．/*〔定理2.13〕*/
(5)「表系」「裏系」の区別〔p.135〕を止めて単に「σ」「τ」で考える？
　  /*「σ^{3} = τ^{2} = e」だから「<σ, τ>」は有限群．*/
(6)「τ」で冷遇されていた加法の反乱（「Δ」の非線形性:）を鎮圧？
　 「Δ(2 / 5) + Δ(4 / 5) ≠ (6 / 5)」/*演算の主役は「＊」．「＋」は脇役*/
　・「σΔ(K' / M)=Δ(K' / M)」,「τΔ(K' / M)=Δ((- K') / M)」にしたい？
(7)「Δ(K' / M)」を「W`(K' / M)」に対応させ難い．【[%51BTKM2](9).`[%1A]】
--------------------------------------------------------------------------------
`▲「Δ(X) = X - Γ(X)」(fractional piece of X)/*【[%21](1).`[%17]」】*/

%42P8:〔問2.8〕(149)
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「G = `Z」「`H1 = (6)`Z」「`N2 = (10)`Z」として，
　 「`H1 ∩`N2」と「`H1(`N2) / `N2」は同型であることを示せ．
(1)「`H1」も「`N2」も加法（＋）について群になっています．〔p.149〕
　　/*〔第1章〕と異なり演算が【・】=【+】である「可換群」で例示*/
(2)簡単のため有限集合「`H1 =`Δ(K'/ 6)'」,「`N2 = `Δ(K'/ 10)'」で考える．
　　/*「`Δ(K'/ M)'」（0 ≦ K'＜M）は原著の上線付き数字が「K'」の集合*/
(3)「`H1 ∩`N2 = `Δ(K'/ 6)' ∩ `Δ(K'/ 10)' = `Δ(K'/ 30)'」/*30 = LCM`(6, 10)*/
(4)「`H1(`N2) / `N2 = {(K1, K2); (K1∈ `H1)(K1∈ `H1)}=(2)`Z」/*2 = GCD`(6, 10)*/
　　/*「`H1(`N2)」の定義は【[%62TF](1)】参照:「`N2」は「`H1」と別世界の集合*/
(5)「`H1(`N2) / `N2 = (2)`Z / (10)`Z = `Δ(K'/ 5)'」
--------------------------------------------------------------------------------
`▲「(x) `N0 = {x; (x ∈ `R ∩`N0)}」/*【[%2].[%11]】:「`N」は自然数の集合*/
********************************************************************************

%4:抄録

%42P8S:〔問2.8〕の復習
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「G = `Z」「`H1 = (6)`Z」「`N2 = (10)`Z」のとき
　　「`H/(`H ∩ `N_)」と「`H(`N_)」は同型であることを確認せよ．【_「`N」:自然数の集合】
(1)「`G = `Δ(K' / 1)'」と考えれば剰余類で表現できる．
(2)『加法（＋）の演算は交換可能ですから』(149)に関するメモ
　①〔第1章〕では群の演算「・」は「*」であったが〔第2章〕から「＋」で考える．
　②「*」では「Δ」の非線形性を扱いにくい．/*〔問1.13〕(84)*/
　　【_高校生でも計算できる「Δ(200 / 41) * Δ(300 / 41) = Δ(60000 / 41)」に「原始根」で苦労？】
　③「`H/(`H ∩ `N_)」は「商群」
　　【「x'∈`H/(`H ∩ `N_)」∧「y'∈`H/(`H ∩ `N_)」と「x' = y'」を同一視して「類別★」!】
　④『「f2:`H → `G /`N_」では定義域が「`H」に制限されていますから「`H(`N_)」の
　　「`N_」による剰余類を考えて「Im(f2)」は「`H」から「`G /`N_」への全射』(148)
　　 /*原文と少し表現が異なる*/
(3)【_「f:(6)`Z/(30)`Z → (2)`Z/(10)`Z」を「f(6 * x') = 2 * x'」と定めると
　　「f(6 * x'+ 6 * y')=f(6 * x') + f(6 * y')」だから同型写像】
(4)一般に「(a)`Z/(LCM(a, b))`Z」と「(GCD`(a,b))`Z」は同型
--------------------------------------------------------------------------------
`▲[%42P8S1].[%122]の改訂版. 

%425:〔§2.5〕(144)/*第2同型定理,第3同型定理*/での追加
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
%42TE:〔定理2.14〕(145)/*部分群であるための条件*/
%42TF:〔定理2.15〕(146)/*部分群の演算*/
%42TG:〔定理2.16〕(147)/*第2同型定理*/
%42P8:〔問2.8〕(149)
%42TH:〔定理2.17〕(150)/*第3同型定理*/
%42P9:〔問2.9〕(152)
--------------------------------------------------------------------------------
`▲

%42TF:〔定理2.15〕(146)/*部分群の演算*/
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「`H」が「`G」の部分群，「`N_」が「`G」の正規部分群であるとき「`H ∩ (`H ∩ `N_)」と「`H・`N_/`N_」は
　同型であり，「`N_」が「`H」の正規部分群であるときも成立．/*このブログでは「`N」:自然数の集合*/
(1)有限群「`G」の部分群「`H」について「a'・`H = `H・a'」（a' ∈ `H）であるとき，
　「`H」を「`G」の「正規部分群」という．/*〔定理2.8〕(126)*/
(2)演算子がないと分かり難いので慣用記法に反して「・」を挿入．/*【[%62T1].[%12]】*/
(3)原著の「HN」〔p.145〕は分かり難いので，「(`H1)(`N2)」を
　「`H1(`N2) = {(h, n); (h ∈ `H1) ∧ (n ∈ `N2)}」と表示．/*【[%62TF](1).[%122]】*/
(4)上のように定めた「f:G → G / N」を「自然準同型」と呼びます．/*〔p.147〕*/
(5)「Wikipedia」の解説:「自然変換」「群準同型」「商群」【準同型定理】　
(6)「自然準同型」は索引にないのでWikipediaの記事を【[%62TFS1]】で紹介
(7)参考資料
　[1]自然変換 - Wikipedia
　　https://ja.wikipedia.org/wiki/自然変換
　[2]準同型写像 [物理のかぎしっぽ]
　　http://hooktail.sub.jp/algebra/Homomorphic/
　[3]群の自然な準同型と部分群の対応 - ペンギンは空を飛ぶ
　　http://peng225.hatenablog.com/entry/2016/12/18/112359
--------------------------------------------------------------------------------
`▲

%42TFS:「商群」(Wikipedia)の紹介`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(1)商群（しょうぐん、英: quotient group, factor group）あるいは剰余群、因子群とは、
群構造を保つ同値関係を用いて、大きい群から似た元を集めて得られる群である。
例えば、n を法とした加法の巡回群は、整数から、差が n の倍数の元を同一視し、
そのような各類（合同類と呼ばれる）に1つの実体として作用する群構造を定義することによって得られる。
群論と呼ばれる数学の分野の一部である。
(2)群の商において、単位元の同値類はつねにもとの群の正規部分群であり、
他の同値類たちはちょうどその正規部分群の剰余類たちである。
得られる商は G/N と書かれる、ただし G はもとの群で N は正規部分群である。
（これは「G mod N（ジーモッドエヌ）」と読まれる。"mod" は modulo の略である。） 
(3)商群の重要性の多くはその準同型との関係に由来する。
第一同型定理は任意の群 G の準同型による像はつねに G のある商と同型であると述べている。
具体的には、準同型 φ: G → H による G の像は G/ker(φ) と同型である、
ただし ker(φ) は φ の核 を表す。
(4)商群の双対概念は部分群であり、これらが大きい群から小さい群を作る2つの主要な方法である。
任意の正規部分群 N は、大きい群から部分群 N の元の間の差異を除去して得られる、対応する商群を持つ。
圏論では、商群は商対象の例であり、これは部分対象の双対である。
商対象の他の例は、商環、商線型空間、商位相空間、商集合を参照。
(5)名前「商」の動機づけ
G/N が商群と呼ばれる理由は整数の除法から来る。
12 を 3 で割ると答えは 4 である、なぜならば 12 個のモノを 3 コのモノからなる 
4 つのグループに分けることができるからである。
商群は同じ思想であるが、最終的な答えは数ではなく群である、
なぜならば群はモノの任意の集まりよりも多くの構造を持っているからである。 
詳しく述べるため、N を G の正規部分群として、G/N を見ると、
群構造は自然な「グループ分け」をするために用いられる。
これらは N の G における剰余類である。
最終的な商は（通常の割り算が与える）単なる剰余類の個数よりも多くの情報を含んでおり、
それ自身群構造を持つ。 
--------------------------------------------------------------------------------
`▲[%123]では灰色にした部分を削除（過剰引用を自粛）

%42TG:〔定理2.16〕(147)
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「`H」,「`N_」が「`G」の部分群で，「`N_」が「`G」の正規部分群であるとき
　 「`H/(`H ∩`N_)」は「`H(`N_) / `N_」と同型であり，「`N_」が「`H」の正規部分群であるときも成立．
(1)「Imorph(f; `G, (`G / `N_)」となる「f」を「f(n) = (x) `N_」と定めると
　 「f(xy) = (x・y) `N_ = ((x)`N_))・((y)`N_) = f(x)・ f(y)」
(2)有限群「`G」の部分群「`H」に対して「a・`H=`H・a」（a ∈ `H）であるとき
「`H」を「`G」の「正規部分群」という．/*〔定理2.8〕(126)*/
(3)「{g`[1]・`H, g`[2], …… , g`[d]・`H}」/*〔定理2.4〕(112)*/は
　　演算「(g`[i']・`H)・(g`[j']・`H)=(g`[i']・g`[j'])・`H」によって群になる．この群を
　　「`G」の「`H」による「剰余類」といい，「`G / `H」で表す．/*【[%62T8](2).[%123]】*/
(4)〔p.147〕の準同型写像「f:`G → (`G / `N_)」の説明．/*cf.「`N」は自然数の集合:従来通り*/
　①「f(x')=(・x') + `H」とする．/*「・」付きの元を「`H」に追加．*/
　②「f(x' + y')=(・(x' + y'))+`H = (・x') + `H)+(・y') + `H) = f(x') + f(y')」だから
　　「f」は準同型写像．/*「f:`G → (`G / `N_)」だから「x' + y'」は「`G」の任意の元*/
　③〔第1章〕では「・」＝「*」であったが〔第2章〕から「・」＝「+」になったので
　　演算子を明示するために表現を変更．
　④「f」の定義域を「`H」に制限した「f2:`H → (`G / `N)」を考える
　⑤「Im(f2)=(`H(`N_)) / `N_」と「Ker(f2)=`H ∩`N」は同型．
　⑥〔p.147〕の「`H・`N_ = {(h・n); (h∈`H) ∧ (h∈`H)}」は分かり難いので
　　「`H(`N_)={(・h)+`N; h ∈`H}」と定義．/*【[%62TF].[%122★]】*/　
　⑦「(5)」に「`G = `Δ(K'/5)'」「`H = `Δ(K'/3)'」としたときの単純な計算例を示す．
　⑧「自然準同型写像」では「`H(`N_)」の「`H」を「`N」の元を操作する
　　「作用素」の集合として使いたいと推測して【[%62P8S2]④】を作成
(5)「f3:`R → `Δ(K'/3)"」「f5:`R → `Δ(K'/5)"」を次のように定める:
　①「f3(x') = 3 * x'」（x' ∈ `R），「g3(x') = x' / 3」（x' ∈ `R）と定めると
　　「f3(Δ(K'/ 3)) = K'」（K' ∈ `N），「f3(Δ(3 / 3)) = 0」，
　　「f3(`Δ(K'/ 3)") = {0, 1, 2}」「g3(f3(`Δ(K'/ 3)"))={0, 1, 2}」
　②同様に「f5(x') = 5 * x'」（x' ∈ `R），「g5(x') = x' / 5」（x' ∈ `R）と定めると
　　「f5(`Δ(K'/ 5)") = {0, 1, 2, 3, 4}」「g5(f5(`Δ(K'/ 3)"))={0, 1, 2, 3, 4}」
　③既約でない剰余類「`Δ(K' / 15)'」に対して「f35:`R → `Δ(K'/15)'」「g53:`R → `Δ(K'/15)'」を
　　「f35(x') = f3(f5(x')」（x' ∈ `R），「g53(x') = g5(g3(x')」（x' ∈ `R）と定めると
　　「f35(Δ(x'/ 15)) = f3(f5(Δ(x'/ 15)) = f3(Δ(x'/ 3)) = x'」，「g53(Δ(x' / 1) = Δ(x'/ 15)」
(6)群の性質を説明する具体例は〔問1.4〕(37)のような計算例と〔問1.5〕(38)のような操作例
　　に大別される．「あみだくじ」による置換群の説明は原著の特徴であり，[%62P8S2]②の
　 「Δ(200 / 41) * Δ(300 / 41) = Δ(60000 / 41)」のような計算も「300本」の縦棒を持つ
　 「あみだくじ」で計算できる
　①左端から「K'」番目の縦棒の出入口に「Δ(K' / 41)」を10進数で表現した文字列を書ばよい．
　②「Δ(200 / 41)=36」,「Δ(300 / 41)=13」だから「"36"×"13"」を計算して答の10進数表示は「"468"」
(7)「`H = `Δ(K'/ 5)"」「`N_ = `Δ(K'/ 3)"」として「`H」を「{W`(K'/5); K' ∈ `Z}」に対応させ，
　 「`N_」を「_xy平面」上の三角形「A」に対応させる
--------------------------------------------------------------------------------
`▲/*【[%2].`[%11]】*/

%427:〔§2.7〕(175)/*可解群*/での追加
`▼
---------------------------------------------------                                                                                                                                                                                 -----------------------------
%42PC:〔問2.12〕(175)
%42PD:〔問2.13〕(175)
%42D3:〔定義2.3〕(178)/*可解群*/
%42TP:〔定理2.25〕(179)/*巡回群の直積は可解群*/
%42TQ:〔定理2.26〕(180)/*交代群の非可解性*/
%42TR:〔定理2.27〕(181)/*可解群の部分群も可解群*/
%42TS:〔定理2.28〕(183)/*対称群の非可解性*/
%42TT:〔定理2.29〕(183)/*準同型写像の像でも可解群*/
%42TU:〔定理2.30〕(184)/*剰余群も可解群*/
--------------------------------------------------------------------------------
`▲ 
 
%42PC:〔問2.12〕(175)
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)対称群「`S_{3} = {e, σ, (σ^{2}), τ, (τσ), (τσ^{2})}」に対して
交代群「`A_{3} ={e, σ, (σ^{2})}」であることを確認せよ．
(1){e} ⊂ (`A_{3}) ⊂ (`S_{3})．/*「(τ`A_{3})) ⊂ (`S_{3})」*/
--------------------------------------------------------------------------------
`▲ 
%42PD:〔問2.13〕(175)
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)対称群「`S_{4} = {V∪(σ V)∪(σ^{2} V)∪(τ V)∪(τ σ) V∪(τ σ^{2}) V}」に対して
　 交代群「`A_{4} = {V∪(σ V)∪(σ^{2} V)}」であることを確認せよ．
(1)「<α> = {e, α}」,「β<α> = {β, γ}」,「V = {<α>, β<α>}」,
　 「(σ V) = {σ<α>, σβ<α>}」,「(σ^{2} V) = {σ^{2}<α>, σ^{2}β<α>}」
　 「`A_{4} = V∪(σ V)∪(σ^{2} V)」,「τ`A_{4} = τ V ∪(τσ) V)∪(τσ^{2}) V)」
(2)〔p.177〕に「`A_{4} / V」「V / <α>」の演算表．
--------------------------------------------------------------------------------
`▲
  
%42D3:〔定義2.3〕(178)/*可解群*/
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「`G」に対する部分列「(`H_{0}, `H_{1}, …, `H_{S}={e})」において，
　 ① 「`H_{K'}」が「`H_{K' - 1}」の部分群であり，
　 ②　剰余群「`H_{K' - 1} / `H_{K'}」が巡回群
　となるとき「`G」を「可解群」という．
(1)「`H_{K'}」が「`H_{K' - 1}」の部分群である列を「正規列」という．/*「組成列」*/
　【「組成列と単純群 [物理のかぎしっぽ]」★】/*`[%622]*/
(2)さらに「`H_{K' - 1} / `H_{K' - 1}」が巡回群となるとき「可解列」という．
--------------------------------------------------------------------------------
`▲ 

%42TP:〔定理2.25〕(179)/*巡回群の直積は可解群*/
`▼
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(1)巡回群は可解群である．
(2)巡回群の直積は可解群である
(3)〔p.179〕の例
　①「`G = `C_{3}×`C_{5}×`C_{7}」とする
　②「`H_{1}=(Δ(K1/3), Δ(K2/5), Δ(0/7))」，
　　「`H_{2}=(Δ(K1/3), Δ(0/5), Δ(0/7))」，「{e} = (Δ(0/3), Δ(0/5), Δ(0/7))」
　　とおくと「`G ⊃ `H_{1} ⊃ `H_{2} ⊃ {e}」
　③「`G / `H_{1}」は「(Δ(0/3), Δ(0/5), Δ(1/7)) + `H_{1}」を生成元とする
　　位数「7」の巡回群
　④「`H_{1} / `H_{2}」は「(Δ(0/3), Δ(1/5), Δ(0/7)) + `H_{2}」を生成元とする
　　位数「5」の巡回群
　⑤「`H_{1} / `H_{2}」は「(Δ(1/3), Δ(0/5), Δ(0/7))」を生成元とする
　　位数「3」の巡回群
　⑥「`G」は可解群
(4)[%423TF](1).[%1B]で定めた「`H1(`N2)」の「`H1」を群「`N2」の元を操作する
　「作用素★」の集合とみなして考える．
(5)「(4)」に基づく無責任解釈の例
　①「`N2」は文字列の集合（言語に依存），「`H1」は文字列を編集する関数の集合．
　②文字列を結合する演算子「・」を「"ab"・"c" = "abc"」のように定めると
　 文字列の集合は「半群★」になり，直前の文字を消す制御文字「'\b'」を加えると
　「"ab"・"\b\b" = ""」（「""」は単位元）だから「"ab"」の逆元が存在する
　③「`N2」は時間関数の集合，「`H1」は時間関数や２次元画像を処理する作用素の集合．
　　/*「フーリエ変換はいずれの信号にも適用可能」*/
(6)「(3)」では「`N2」は巡回群の集合
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`▲

%42TU:〔定理2.30〕(184)/*剰余群も可解群*/
`▼
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(0)「`N_」を群「`G」の正規部分群とする．
(1)「`G」が可解群であれば「`N」と「`G / `N_」も可解群．
　①「`G」が可解群なら「`N」も可解群．/*〔定理2.27〕*/
　②「f:`G→(`G / `N_)」を「f(a) = (a) `N_」で定めると「f(a)=(ab) `N_ = (f(a) `N_)・((b) `N_)」
　③「f」は全単射だから「f(`G) = `G / `N_」も可解群．/*〔定理2.29〕*/
(2)「(1)」の逆も真 
　①「`G / `N_」は剰余群だから元は「(g) `N_」の形をしている． 
　②「`H_{i}」を〔p.185〕の②のように定めると③の正規列が得られる．
(3)索引に「自然準同型」がないので【[%423TF](1).`[%1B]】の非慣用記法「`H1(`N2)」に関するメモ
　【[%62TUM1]】（準備中）を参照してください．
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`▲【_高校生は「剰余群も可解群」だけ覚えればよい．〔第３章〕から読みやすくなります．】

%62Z:あとがき`▼
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(1)〔定理2.26〕の証明が抽象的で分かり難いので【[%62TQM2]】を作成．
(2)[%423TF].`[%1B]の「自然準同型」を復習して【[%62TFM1]】を作成．
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`▲〔第2章〕の抄録を終了．

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