{〔第６章〕の紹介(2)}@
/16545+[%56P8M1]（茶: 確認中; 灰色: 確認済; 緑: 非慣用記法）/*「確認後白色にする」*/
%0:「〔第6章〕の紹介(2)」
「〔第6章〕の紹介(1)」が「25000字」を超えたのでこのファイルを追加．
%1:参考資料`▼【〔第6章〕の紹介(1)}】`▲
%2:資料の参照
`▼
(0)参照の基本形は『「`RefNo[`Site_`ID]」「`Title」@`URL」』
(1)参考資料
①[1_]「〔第6章〕の紹介(1)」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/f41dce022ad0d7f376cc39ca6dba17f5
②[2_]「このファイル」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/59148b111430774387f30d75f7266e1f
③[78_]「ピークの定理への補足」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/291675702b4ba0355242fbd4efad28b5
④[79_]「ピークの定理(□)関連資料」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/e8b60af195f9178367fb30154bde7914
(2)「③」,「④」は「①」と同じ
(3)「①」を参照しながら「②をオンラインで直接編集」．/*「③を使わない」*/
(4)このファイルでは命題「∃f, Imorph`(f; f(S1), S2)」を「S1 `=~ S2」(ゴシック)と略記．
/*【[%414D4](4).[%17]】*/
(5)「~」(ゴシック)を「f^{-1}(x)」の略記「f~(x)」にも使う．/*「使用パラグラフで注記」*/
(6)非慣用記号は「□ := □」で定義．全パラグラフで共通の大域的な定義には「::=」を使用．
①大域的な定義では定義行の「::=」の左辺の式の背景色を「緑」にする
`▲[1_2]のコピー
%3:記事の修正`▼【[2_2](4)】`▲/*「[2_2]＝[%2].「このファイル」」*/
%4:抄録`▼【[2_2](5)】`▲
%468:〔§6.8〕(472)/*巡回拡大からべき根拡大へ*/での追加
`▼
%46T5:〔定理6.5〕(473)/*巡回拡大からべき根拡大を作る*/
%46T6:〔定理6.6〕(476)/*デデキントの補題*/
%46T7:〔定理6.7〕(478)/*べき根拡大を作るべき根の存在*/
`▲[1_468]のコピー
%46T7:〔定理6.7〕(478)/*べき根拡大を作るべき根の存在*/
`▼
(0)「ζ」を「1」の原始ｎ乗根とし，「g(x):= x + ζ^{n - 2} * σ(x) + ζ^{n - 1} * x」とする．
/*「σ(x) ＝ σ^{1}(x)」,「x ＝ σ^{n}(x)」( n ＝ (n - 1) + 1) )*/
(1)集合「{g(θ^{k}); k ∈ `N(n - 1)}」には/*【定義から当然】*/「σ^{n}(x)」は含まれない．
(2)「連立１次方程式」や「ファンデルモンドの行列式」を用いるともっとあざやかに【証明】できますが
線形代数の知識が必要」〔p.479〕
(3▼)「`C[x']」で考えると「ζ = W`(1 / n)」,「g(θ^{k}) ＝ W`(k / n)」( k ∈ `N(n) )
/*「g(x):= W`((n-1) / n) + W`((n-2) / n) + …, + W`(n / n)」*/
`▲[2_56T7]に移動
%469:〔§6.9〕(480)/*べき根で解ける方程式の条件*/での追加
`▼
%46T8:〔定理6.8〕(480)/*可解群のとき解はべき根で表される*/
%46T9:〔定理6.9〕(481)/*累べき根拡大体のガロア閉包*/
%46TA:〔定理6.10〕(486)/*解がべき根で表されるときは可解群*/
`▲[1_469]のコピー
%46T9:〔定理6.9〕(481)/*累べき根拡大体のガロア閉包*/
`▼
(0)〔定理6.8〕の逆の命題．/*「ピークの定理の完結」*/
(1)「α」がべき根で表されているとき，「`E / `Q」が累巡回拡大かつガロア拡大となる
「α」を含む「`Q」の拡大体が存在する
(2)〔pp.481-486〕の説明の紹介
(3)(4)
`▲[1_46T9]のコピーに加筆
%46A:〔§6.10〕(488)/*ガロア群が可解群でない方程式*/での追加
`▼
%46PN:〔問6.23〕(491)
%46TB:〔定理6.11〕(488)/*位数pの元の存在-コーシーの定理*/
`▲
%46PN:〔問6.23〕(491)
`▼
(0)「x^{5} - 6 * x + 3 ＝ 0」の解はべき根で表せないことを示せ．
(1)参考資料
①[アーベル-ルフィニの定理]@https://ja.wikipedia.org/wiki/アーベル-ルフィニの定理
②[_五次方程式]@https://ja.wikipedia.org/wiki/五次方程式
③[５次方程式が解けないことの直感的説明]@http://yosniimura.net/memo/quintic_equation.html
④[群論からガロア理論への入門（五次方程式の解の公式は存在しない）]@https://math-fun.net/20191210/3949/
⑤[５次方程式の解]@https://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra/algebra_eq5.htm
⑥[20歳で逝った天才数学者が残した理論とは]@https://news.livedoor.com/article/detail/17295601/
⑦[５次方程式解の公式]@http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/07kurano.pdf
⑧[4次方程式と5次以上の方程式の Galois 理論]@https://www.kaijo.ed.jp/wp-content/uploads/2016/02/2011summer_6Amitani.pdf
(2)
`▲[1_46PN]のコピー
%46Y:あとがき
`▼
(1)高校生にも分かり易いように〔第１章〕から複素数を使いました
(2)【[1_55PF](6)】の方針に不満を感じる高校生は大学に進学してから原著を読み直してください
/*「工学部に進学しても〔第３章〕や〔第４章〕は役立ちます」*/
(3)５月は「〔第２章〕の復習（９）」のコピーに加筆して「ピークの定理（17）」を作成．
(4)６月に「ep58-kit」が「WILDの処理系」を開始．
[W7_1]@https://blog.goo.ne.jp/ep58-kit/e/0ee5e0e8bf0e77ac5ba581d6978ecc09
[W7_2]@https://blog.goo.ne.jp/ep58-kit/e/210cfaf99475b3cf3f98a8490d6e8aab
(6)「アクセス解析」のデータに励まされて〔第６章〕に辿り着きました．皆様に感謝！
`▲[1_46Y]のコピー
%5:らくがき
%56P5:〔問6.5〕(427)
`▼
(0)「P(x') := x'^{3} + a * x'^{2} + b * x' + c」( {a, b, c} ⊂ `Q )として
「P(x') ＝ 0」のガロア群を調べよ．
(1)参考資料:/*「[1_45PC](1)のコピー」*/
①〔定義5.6〕(318)
②〔定義5.7〕(320)
③[_最小分解体]@https://ja.wikipedia.org/wiki/分解体
④[3_最小分解体・代数的閉体]@http://hooktail.sub.jp/algebra/SplitField/
⑤[_ガロア群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/ガロア群
⑥[3_ガロア群の例]@http://hooktail.sub.jp/algebra/GaloisGroupEx/
⑦[3_体の自己同型写像]@http://hooktail.sub.jp/algebra/FieldIsomorphism/
(2)〔pp.427-428〕の解答の紹介．/*「過剰引用を自粛」*/
①〔問6.3〕と同様に「x := X - a / 3」と変数変換して「X^{2}」のない式を作り
「P(X) ＝ 0」の解を「{α_{1}, α_{2}, α_{3}}」とすると
「Q(α_{1}, α_{2}, α_{3}) ＝ Q(α_{1} - a / 3, α_{2} - a / 3, α_{3} - a / 3)」
②「x^{3} + p * x + q ＝ 0」の解を「{α, β, γ}」とすると，
これらは「t^{2} + q * t + p^{3} / 27 ＝ 0」の解を「{u^{3}, v^{3}}」として
「α = u + v」,「β = ω * u + ω^{2} * v」,「γ = ω^{2} * u + v」と表現できる
③３次方程式の根と係数の関係から
「α + β + γ ＝ 0」,「α * β + β * γ + γ * α ＝ p」,「α * β * γ ＝ - q」.
/*「(x - α) * (x - β) * (x - γ) ＝ x^{3} + p * x + q」*/
④「③」の「p」,「q」は有理数である．/*〔pp.427-428〕*/
(3)「W`(K' / 3)」を使うと/*「u ＝ W`(1 / 3)」,「v ＝ W`(2 / 3)」*/
①「x^{3} - 1 ＝ (x - W`(1 / 3)) * (x - W`(2 / 3)) * (x - W`(3 / 3))」,「W`(3 / 3) ＝ 1」
②「W`(K'/3) ＝ cos(∠(K' / 3)) + i_ * sin(∠(K' / 3))」( K' ∈ `N(3) )」/*「∠(3 / 3) ＝ 2 * π」*/
③「W`(2 / 3)」は「W`(1 / 3)」と共役な複素数．
④「γ ＝ １」,「α + β ＝ - 1」,「α * β ＝ 1」だから
「(x - α) * (x - β) * (x - γ) 」
＝「x^{3} + (α + β + 1) * x^{2} + (α * β + α + β) * x - (α * β * 1)」
＝「x^{3} - 1」
(4)「∠`(K' / M)」は無理数だから「W`(K1 / M)」を使った段階で「`C(x')」による考察．
/*「`Q[x'] ⊂ `R[x'] ⊂ `C[x']」で，主役は原始根「W`(1 / M)」*/
(5)「Itangy」は「Edge」のタブを左から順に
①「記事一覧」
②「「ピークの定理（□）」関連資料」
③「〔第５章〕の紹介(1)」
④「〔第６章〕の紹介(1)」
を表示して編集・確認
(6)「Nexus7」では「モバイルのブックマーク」に「③」,「④」を登録．
`▲[%46P5]から移動
%56P8M1:〔問6.8〕に関するらくがき
`▼
(0)【[%56P8]】に関する無責任メモです
(1)『「`K」が「1」の原始根「ζ」を含むときべき根拡大K(a^{1 / n})は巡回拡大である』〔p.468〕
の 「`K」は複素数体「`C」であるとして次のように解釈する．
①「ζ ＝ W`(1 / n)」
②『任意の正の実数「x」に対して「x^{n} = a」となる「x」を「a^{1 / n}」』〔p.468〕と表記．
/*「a」は円周率や自然対数の底でもよい」*/
③「数平面」上の点「r * (cos(∠`(k / n)) + i_ * sin(∠`(k / n)))」( r ＞ 0 )と
単位円上の点「r^{1 / n} * W`(k / n)」は１対１に対応する．
④複素数体の元「r^{1 / n} * W`(k' / n)」( (n, k') ∈ `N × `Z )は自由に四則演算可能．
⑤「`G_{n} := {W`(k / n); k ∈ `N(n)}」は位数「n」の巡回群と同型
⑥「`G_{n}」に加法と乗法の逆元/*【[2_56P8](3)⑤】*/が存在するので体になる
(2)〔定理6.4〕(467)に興味がある高校生はまず「商群」（「索引」に不在）について学び，
「Gal(K(a^{1 / n})/`K)」の意味を知ることが不可欠．
/*「https://note.com/noppoman/n/nb4bd7142700b」*/
(3)「数平面」上の原点を中心とする単位円に内接する正ｎ角形を回転して
一つの頂点を「1」に置くと「対称群」から離れて幾何学的に考察できる．
①「x^{2} - 1 ＝ (x - 1) * (x + 1)」
②「x^{3} - 1 ＝ (x - 1) * (x^{2} + x + 1)」
③「x^{4} - 1 ＝ (x^{2} - 1) * (x^{2} + 1)」
④「x^{5} - 1 ＝ (x - 1) * (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)」
⑤「x^{2} + x + 1 ＝ 0」の根の計算で「W`(1 / 3) - W`(2 / 3) ＝ 2 * 3^{1 / 2}」
⑥「x^{2} + 1 ＝ 0」の根の計算で「x^{2} + 1 ＝ (x - i_) * (x + i_)」
⑦「Δ(70/105) ＝ Δ(1 / 15)」として「Δ」の非線形性を回避しなくても
「{Δ(1 / 3), Δ(1 / 5), Δ(1 / 7),}」に対応するベクトル空間の基底に
「W'(35 * k' / 105), W'(21 * k' / 105), W'(15 * k' / 105), 」を使える
/*【[%416P8].[%17★]】の「中国の剰余定理」*/
(4)「`R[x']」上の既約でない4次方程式「③」から虚数単位「i_」を定義したのと同様に
適当な既約でない5次方程式から「i5_」を定義すれば5次方程式も代数的に解ける．
①「数学者」は/*「高校生向けに」*/このようなつまらないことに言及しない
②「(3)⑤」の「2 * 3^{1 / 2」のような「`R」のべき乗根は「r^{1 / n} * W'(k' / n)」で考察できる
(5)「(4)②」の「r^{1 / n} * W'(k' / n)」( (r, k') ∈ `R×`N(n) )と巡回群
「{W'(k / n); k ∈ `N(n)}」は同型
`▲「(4)」に駄文を追加するとすぐに「30000字」を超えるのでこのファイルを作成．
/*対策のため「blogger」を試用中・「ピークの定理（17）」の原稿も「blogger」*/
%56T7:〔定理6.7〕(478)/*べき根拡大を作るべき根の存在*/
`▼
(0)「ζ」を「1」の原始ｎ乗根とし，「g(x) := x + ζ^{n - 2} * σ(x) +…, + ζ^{n - 1} * x」とする．
/*「σ(x) ＝ σ^{1}(x)」,「x ＝ σ^{n}(x)」( n ＝ (n - 1) + 1) )*/
(1)集合「{g(θ^{k}); k ∈ `N(n - 1)}」には/*【定義から当然】*/「σ^{n}(x)」は含まれない．
(2)『「連立１次方程式」や「ファンデルモンドの行列式」を用いるともっとあざやかに【証明】できますが
線形代数の知識が必要」』〔p.479〕
(3)「`C[x']」で考えると「g(θ^{k}) ＝ W`(k / n)」( k ∈ `N(n) )
(4)「(2)」の高校生用の説明
①「P(x') := x^{n - 1} + x^{n - 2} + …, + x' + 1」と定める
②「代数学の基本定理」により「P(α) ＝ 0」となる「α」( α ∈ `C )が存在する．
③「n次」方程式「(x - 1) * P(x) ＝ 0」の解は「W`(k' / n)」( k' ∈ `N(n) )
④「③」の「n個」の解一つ「W`(1 / n)」は「原始根 ζ」で「σ^{k}(W`(1 / n)) ＝ W`(k / n)」
⑤「巡回群」の考察では「W`(1 / n)」より「W`(n / n)」の方が扱いやすい．
`▲[EOF]
aa
