{ピークの定理（６）}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/0a412cddafd9113374af1d2ee3bf0e88
/28205.
{ピークの定理（５）}の続きです（「Nexus7」でチェックするために公開）．
意味不明の箇所（esp.[%□]）があれば，まず[%8]を見てください．
この記事が30000行を超えると「下書き」にして，{ピークの定理（７）}を作成．
%316:〔§1.6〕での変更
`▼
(3)「`Congr(M; A, B)」を「A≡B mod(M)」と略記．【[%3121](2).[%13]】
(4)「Mを法とする剰余類」を「`ClassR(M)」と表記．【[%3121](3).[%13]】
(5)「全単射 f で同型」になることを「Imorph`(f; G1, G2)」と表示．【[%3141](3).[%13]】
(6)「G」の位数が「n」であることを「`Ord(G) = n」と表記．【[%3151](4)[%13]】
(7)原著の上線付き剰余類には「Δ`(K'/ M)'」を使う．/*記法を変更*/【[%214].[%12]】
(8)「Δ`(K'/M)」の「K'」は変数，「M」は定数．【[%3111].[%13]】
・「K'」に数値を代入した「Δ`(2 / 5)'」と「Δ`(3 / 5)'」は別の剰余類．/*〔p.36〕の図*/
(9)「Δ(2 / 5)=Δ(1 / 5)+Δ(1 / 5)=2 * Δ(1 / 5)」は「`R」上の演算．【[%4163](3)-(5).[%15]】
`▲
%4161:〔問1.7〕を削除/*30000行超過 */．【[%54].[%14]】
0 から 14 までの中にただ一つある．
0 6 12 3 9 (R3`[1], R5`[4]) + (R3`[2], R5`[3]) = (R3`[0], R5`[2])
1 10 7 13 4 R`[4] + R`[8] = R`[12]
2 5 11 8 14
定義されている「ΔX」「ΔY」の積を考えようとすると混乱する
(4)乗算の基本は自然数の積と同様に加算する個数．
(5)「Δ(1 / M)」が生成する巡回群「<Δ(1 / M)>」での加算に対する逆元は「Δ(M / M) = 0」を
利用できる．未知数「X」の方程式「Δ(K / M) + Δ(X / M) = 0」の解は「X = M - K」
`▲「正統派」は「Δ(X)」を使わないので読みづらい？
%41161:〔§1.1〕への補遺/*[%411]≠[%416]*/
`▼
(1)連分数を使うと【[%4111].[%12]】/*〔問1.1〕*/の式を一つの式で表現できる．
(2)「8 / 3 = 2 + 2 / 3 = 2 + 1 /(3 / 2) = 2 + 1 /(1 + 1 / 2)」/*「Δ(2 / 1) = 0」*/
(3)【[1].[%4113](4).[%151]】の略記法では「8 / 3 = [2; 1, 2]」であるが，この式の右辺は左辺に依存して
分り難いので，ブログでは「`SeqFr(8, 3; 1, 2)」のように略記する．/*一般には通用しない*/．
(4)(4)「GCD`(8, 5) = Q3」は【[%4113].[%12]】の漸化式/*説明不足？*/参照．
(5)「∃`K0 ∈ `N, R`[K0] = 1」，「R`[K0 - 1]=GCD`(M, N)」．【[%4113].[%12]】
(6)とりあえず「R'[K' / M] = Δ(K' / M)」と考える．【[%4113](4).[%12]】
(8)「R4 = 0」,「R1 = 0」となる直前の「Q3」が「GCD`(8, 5)」,「Q1」が「GCD`(12, 4)」．【[%4113]】
(9)「8 / 5 = `SeqFr(8, 5; 1, 1, 1, 2)」「12 / 4 = `SeqFr(12, 4; 3)」
`▲「`SeqFr()」の説明用に「ピークの定理（５）」からコピー
%4162:〔問1.8〕`▼
「Δ(A / 105)」,「Δ(B / 105)」,「Δ(C / 105)」の値を求めよ．
(1)Δ((69 + 1) / 3) = Δ(1 / 3)
(2)Δ((20 + 1) / 5) = Δ(1 / 5)
(3)Δ((14 + 1) / 7) = Δ(1 / 7)
(4)ゆえに (A,B,C) = (70, 21, 15)
(5)/*「Δ(35 / 3) = Δ(2 / 3)」だから「2 * Δ(35 / 3) = Δ(4 / 3)」*/
`▲
%4163:３元1次不定方程式
〔問1.8〕を一般化した次の問題を考える．
`▼
「(A, B, C)∈`N^{3}」として「Δ(A / 105) = 2」「Δ(B / 105) = 8」「Δ(C / 105) = 11」
である「(A, B, C)」を求めよ．/*「105 = 3 * 5 * 7」*/
(1)「Δ(2*(2*35 / 3*35)) = Δ(4 / 3)」, 「A = 4 * 35」
(2)「Δ(2*(8*21 / 5*21)) = Δ(16 / 5)」, 「B = 16 * 21」
(3)「Δ(2*(11*15 / 7*15)) = Δ(22 / 7)」, 「C = 22 * 15)」
(4)e.g.「(A, B, C) = (140, 336, 330)」
`▲
%4164:〔定理1.6〕:割愛．/*中国剰余定理*/
%4165:〔定理1.7〕:割愛．/*中国剰余定理:3変数*/
%4166:〔定理1.8〕/*「`Z/(n)`Z」の分解*/
`▼
(1)「N = P * Q * R」（「P」,「Q」,「R」は互いに素）のとき，
「`Imorph(f; `Z/(N)`Z); `Z/(N)`Z)×`Z/(N)`Z)×`Z/(N)`Z)」となる単射「f」が存在．
(2)[%4163]の具体例の場合，ベクトル「(2, 8,11)」には
「2*(Δ(1 / 3), 0, 0) + 8 * (0,Δ(1 / 5), 0) + 11 * (0, 0, Δ(1 / 7))」が対応し，
「f(A3, A5, A7) + f(B3, B5, B7) = f(A3 + B3, A5 + B5, A7 + B7)」が成立．
(3)「(Δ(1 / 3), 0, 0)」「(0, Δ(1 / 5), 0)」「(0, 0, Δ(1 / 7))」はスカラー倍を
整数倍に限定した実数体上のベクトル空間の直交基底．【[%5162]】
▲
%41661:補遺`▼
(2)原著の巡回群の乗算演算子「×」は直積と紛らわしいのでこのブログでは「・」を使用．【[%3141](1).[%13]】
【[%4163](4).[%15]】．/*「Δ(K1 / M) * Δ(K2 / M)」は「K1*K2」個の「Δ(1 / M)」の和と考える．*/
(3)「`ClassR(M)」の剰余類を「M」の上線付き数字で表すのは扱いにくいので、
このブログでは「R`[K'/ M]」と表記．【[%213](5).[%12]】
`▲[%316]参照．
%5:らくがき
%5161:分数で表現した中国の剰余定理`▼
[1]https://blog.goo.ne.jp/bonsai-juku/e/5d0b3b14b80c0b83fd8ee64198877fd7
[2]http://hooktail.maxwell.jp/kagi/61e316359c2cb1b220e2dfcc1ce361f5.html
・この記事は現在、プロジェクトメンバーによる査読中のものです。
草稿段階ですので、内容・表現の正確さについて責任を負いかねます。
・正統派から見ると異端児(異端爺)に属するようです ．
・「ドップラー効果」の説明も異端？（e.g.「物理のかぎしっぽ」,「Wikipedia」）
[3]"/fie2004/papers/1248.pdf" could not be found./*FIE 2004: CDを紛失/
[4]https://ja.wikipedia.org/wiki/中国の剰余定理
・LSIの集積度が低かった頃，高速乗算のため兵器に採用された．
[5]【[%4112].[%12]】
`▲「ピークの定理（５）」からの移動
%5162:剰余ベクトル空間の直交基底`▼
(1)「F`(X,Y,Z) = 3 * Δ(X / 3) + 5 * Δ(Y / 5) + 7 * Δ(Z / 7)」とする．
(2)「F`(70, 0, 0) = Δ(1 / 3)」,「F`(0, 21, 0) = Δ(1 / 5)」,「F`(0, 0, 15) = Δ(1 / 7)」
(3)「3 * Δ(X / 3)=A」,「5 * Δ(X / 5) = B」,「7 * Δ(X / 7) = C」となる「X」は
「X = 70 * A + 21 * B + 15 * C」
(4)〔問1.8〕の「(A, B, C) = (1, 2, 3)」の場合「X=Δ((70 + 42 + 45) / 105)=Δ(52 / 105)」
(5)「Δ((35 * K) / 3) = Δ(1 / 3)」となる「K」の値はユークリッドの互除法で計算できる．
(6)「Δ(35 / 3) = Δ(11 / 3) = Δ(2 / 3)」,「Δ(3 / 2)=Δ(1 / 2)」,「Δ(2 / 1) = 0」
(7)「F`(X,Y,Z) = 1」の解「(70, 0, 0)」,「(0, 21, 0)」,「(0, 0, 15)」に対応するベクトル
「(Δ(1 / 3), 0, 0)」「(0, Δ(1 / 5), 0)」「(Δ(1 / 7), 0, 0)」を「`R^{3}」に
埋め込んだベクトルを，スカラー倍を整数倍に限定した実ベクトル空間の直交基底に使える．
`▲「ピークの定理（５）」からの移動
%5163:2元1次不定方程式に関するメモ
`▼
(1)〔定理1.2〕「A * X + B * Y = D」は「Δ(D / GCD`(A, B)= 0」のときのみ整数解が存在．
(2)〔定理1.4〕「Δ(A / M) = Δ(B / M)」,「Δ(C / M) = Δ(D / M)」であれば
「Δ((A + C)/ M) = Δ((B + D) / M)」「Δ((A * C) / M) = Δ((B * D) / M)」
(3)連分数展開「`Seq(8,3; 2,1,2)」/*【[%41131](3)】*/の末尾の「2」は
「8 * X + 3 * Y = 2」の解「(X,Y)=(1,-2)」が容易に見つかることを示唆．
・「8 / 3 = 2 + Δ(2 / 3)」/*「正統派」は分数で計算しない:「8 = 3 * 2 + 2」*/
(4)連分数展開「`Seq(103,101; 1, 50, 2)」は「103 * X + 102 * Y = 2」の解
「(X,Y)=(1,-1)」を示唆．/*「1 ≪ 50」*/
(5)連分数展開「`Seq(12,3; 4,1)」「`Seq(12,4; 3,1)」の末尾の「1」は「Δ(4 / 1) =Δ(3 / 1) = 0」
/*割り切れること*/を明示．
(6)ユークリッドの互除法は計算が終了する直前の「Δ(K0 / 1) = 0」の「K0」は
不定方程式の解を示唆しているに過ぎない【[%4113](4).[%12]】．「中国の剰余定理」は実数体上の
剰余片のベクトルで表現すると考え易い/*要:「互除法」からの脱皮*/．【[%5161].[%15]】
・具体的には〔問1.8〕による「Δ(N / M)」から「Δ(1 / M)」への脱皮．
`▲[%517].[%15]からの移動.
%8:変更履歴
`▼
(1)[%4161]に〔問1.7〕のコピーを追加
(2)〔問1.8〕を一般化した[%4163]を追加．
(3)[%56]-[%58]を[%4164]-[%4166]に変更
(4)[%15]から[%5161]-[%5163]を移動
(5)〔§1.7〕/*既約剰余類群*/以降は`{ピークの定理（７）`}で考える．
`▲
〔§1.1〕/*ユークリッドの互除法*/P1.1,T1.1,P1.2,T1.2,T1.3
〔§1.2〕/*剰余類 */P1.3,D1.1,D1.2,T1,4,P1.4
〔§1.3〕/*巡回群 */P1.5,D1.3
〔§1.4〕/*群の同型 */D1.4
〔§1.5〕/*部分群 */P1.6,T1.5
〔§1.6〕/*群の直積 */D1.5,P1.7,T1.6,P1.8,T1.7,T1.8
〔§1.7〕/*既約剰余類群 */P1.9,D1.6
〔§1.8〕/*同上の構造分析 */P1.10,T1.10
〔§1.9〕/*原始根で生成 */P1.11,T1.11,P1.12,T1.13,T1.14
〔§1.A〕/*原始根の存在証明 */
aa
