{〔第2章〕の復習} @https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/5074043f1c478910b07f63fc6161085a
/21772+[%62T9]（緑: 確認中; 灰色: 確認済）
%0:〔第2章〕の復習
`{ピークの定理（11）`}の【原稿(予習)・補足(復習)】です．/*[%1B]にコピーして要約*/
・パラグラフID「%6□」は`{ピークの定理（□）`}では使わない．
・「%612:〔問1.2〕」【p.□】/*オプション:〔問1.2〕は目次から探しにくい*/
%62:〔第2章のルート〕
`▼
次に，第2章「群」へと進みます。
正三角形の二面体群，立方体の正多面体群という具体的な群の例を通して，
群についての重要な概念である剰余群，正規部分群を解説していきます。
本書の特色の一つは，数学の概念を可視化していることですが，
この章を読めば群を手にとるように実感することができるでしょう。
しかも，この2つの例は3次方程式，4次方程式が根号で解けることの証明の伏線になっているのです。
群の章の後半は，あみだくじの群を扱います。
数式（群の演算）を示すときは，図版での説明も入れましたから，
演算を図上で確かめることができ読みやすくなっています。
後半の目標定理は，「5本以上のあみだくじの群が可解群でない」という定理です。
ここは，交換子群という概念を用意すると，
数学的にはすっきりと証明することもできますが，なぜ4次以下と5次以上に決定的な違いがあるのかが，
具体的に分かるようにあみだくじを使って証明してみました。ここも巻き道をとったところです。
`▲[%102].[%104]から引用．/*〔第１章のルート〕も立ち読み可．*/
次に，第2章「群」へと進みます。
正三角形の二面体群，立方体の正多面体群という具体的な群の例を通して，
群についての重要な概念である剰余群，正規部分群を解説していきます。
本書の特色の一つは，数学の概念を可視化していることですが，
この章を読めば群を手にとるように実感することができるでしょう。
しかも，この2つの例は3次方程式，4次方程式が根号で解けることの証明の伏線になっているのです。
群の章の後半は，あみだくじの群を扱います。
数式（群の演算）を示すときは，図版での説明も入れましたから，
演算を図上で確かめることができ読みやすくなっています。
後半の目標定理は，「5本以上のあみだくじの群が可解群でない」という定理です。
ここは，交換子群という概念を用意すると，
数学的にはすっきりと証明することもできますが，なぜ4次以下と5次以上に決定的な違いがあるのかが，
具体的に分かるようにあみだくじを使って証明してみました。ここも巻き道をとったところです。
`▲[%102].[%104]から引用．/*〔第１章のルート〕も立ち読み可．*/
%621:〔§2.1〕/*二面体群*/での追加
・「%621」はページ番号のようなもの〔§2.1〕に着目．
`▼
%62P1:〔問2.1〕(98)
%62T1:〔定理2.1〕(101)/*「g」による入れ替え*/
%62T2:〔定理2.2〕(102)/*「g」が部分群に作用*/
%62D1:〔定義2.1〕(103)/*二面体群*/
`▲灰色
・「%621」はページ番号のようなもの〔§2.1〕に着目．
`▼
%62P1:〔問2.1〕(98)
%62T1:〔定理2.1〕(101)/*「g」による入れ替え*/
%62T2:〔定理2.2〕(102)/*「g」が部分群に作用*/
%62D1:〔定義2.1〕(103)/*二面体群*/
`▲灰色
%62P1S1:〔問2.1〕(98)
`▼
(0)「_xyz空間」内にある「_xy平面」上の三角形を「A」とする．
(1)「A」を「z軸」周りに「120°回転」した図形を「σA」，「y軸」周りに「180°回転」した
図形を「τA」で表す．/*「「y軸」に関して「対称移動」しても「τ^{2} = e」*/
(3)「恒等作用素★」を「e」とすると「σ^{3} = τ^{2} = e」だから「<σ,τ>」は有限群
/*「作用素列内の「σ」や「σ」をこれらの「逆元」で消去できる*/
(4)「σ」と「τ」の演算表は〔p.99〕のようになり，「結合法則」が成立する．
(5)「`T_{3}={e, σ, σ^{2}, τ, (τσ), (τσ^{2})}」を正三角形の二面体群という．
(6)〔問1.5〕の巡回群「`C_{6}」は演算表が対角線に対して対称なので可換. /*「`T_{3}」は非可換*/
(7)「`C_{6}」,「`T_{3}」ともに演算表のどの行，どの列にも群の元がちょうど1回ずつ出てくる．
`▼
(0)「_xyz空間」内にある「_xy平面」上の三角形を「A」とする．
(1)「A」を「z軸」周りに「120°回転」した図形を「σA」，「y軸」周りに「180°回転」した
図形を「τA」で表す．/*「「y軸」に関して「対称移動」しても「τ^{2} = e」*/
(3)「恒等作用素★」を「e」とすると「σ^{3} = τ^{2} = e」だから「<σ,τ>」は有限群
/*「作用素列内の「σ」や「σ」をこれらの「逆元」で消去できる*/
(4)「σ」と「τ」の演算表は〔p.99〕のようになり，「結合法則」が成立する．
(5)「`T_{3}={e, σ, σ^{2}, τ, (τσ), (τσ^{2})}」を正三角形の二面体群という．
(6)〔問1.5〕の巡回群「`C_{6}」は演算表が対角線に対して対称なので可換. /*「`T_{3}」は非可換*/
(7)「`C_{6}」,「`T_{3}」ともに演算表のどの行，どの列にも群の元がちょうど1回ずつ出てくる．
`▲
%62T1:〔定理2.1〕(101)/*「g」による入れ替え*/
`▼
(0)「`G = {g_{1}, g_{2}, … , g_{n}}」を群,「g ∈ `G」とする
(1)「g ・ `G = {g ・ g_{1}, g ・ g_{2}, … , g・ g_{n}}」と定めると「g * G = G」
(2)「`G ・ g = {g_{1} ・ g, g_{2} ・ g, … , g_{n} ・ g}」と定めると「`G ・ g = `G」
(3)「`G」の部分群「`H」の任意の元「h」についても「h ・ `H = `H = `H ・ h」
(4)「`Ord(`G) = n」で「g ・ `G」「`G ・ g」の中に等しいものがないので「g ・ `G = `G = `G ・ g」
(0)「`G = {g_{1}, g_{2}, … , g_{n}}」を群,「g ∈ `G」とする
(1)「g ・ `G = {g ・ g_{1}, g ・ g_{2}, … , g・ g_{n}}」と定めると「g * G = G」
(2)「`G ・ g = {g_{1} ・ g, g_{2} ・ g, … , g_{n} ・ g}」と定めると「`G ・ g = `G」
(3)「`G」の部分群「`H」の任意の元「h」についても「h ・ `H = `H = `H ・ h」
(4)「`Ord(`G) = n」で「g ・ `G」「`G ・ g」の中に等しいものがないので「g ・ `G = `G = `G ・ g」
`▲「*」を「・」に変更
`▲演算子がないと分かり難いので【慣用記法に反して】「・」を挿入
%62T2:〔定理2.2〕(102)/*剰余類*/`▼
(0)「`H」を「`G」の部分群とすると「Δ(|G| / |H|) = 0」
(1)「g * `G」を左剰余類，「`G * g」を右剰余類という．【[%62T1]】
`▲[%421T1]の独善的記法を踏襲．
(0)「`H」を「`G」の部分群とすると「Δ(|G| / |H|) = 0」
(1)「g * `G」を左剰余類，「`G * g」を右剰余類という．【[%62T1]】
`▲[%421T1]の独善的記法を踏襲．
%62D1:〔定義2.1〕(103)/*二面体群*/
`▼
(1)「`xy平面」上の単位円に内接する「正n角形」を「A」とする．
(2)「z軸」を中心に「A」を左回りに「(360°/ n)回転」した図形を「σA」で表す．
(3)「y軸」を中心に「A」を左回りに「180°回転」した図形を「τA」で表す．
/*「「y軸」に関して「対称移動」しても「τ^{2} = e」*/
(4)上記の「σ」と「τ」で生成される群を「`D_{n}」と書く．
(5)「σ^{n} = τ^{2} = e」だから「`D_{n}」は有限群．
(6)「`D_{n}」は非可換/*「σ^{k}」だけでは「表裏」不変:【[%62D1](1)】*/
(7)「(σ^{n} = e)∧(τ^{2} = e)∧((τσ)=σ^{n - 1}τ)」とすると
「`D_{n} = <σ,τ> = {e,σ, … ,σ^{n - 1},τ,(τσ),… , (τσ^{n - 1})}」
(8)「`Ord(`D_{n}) = 2 * n」
`▲
`▼
(1)「`xy平面」上の単位円に内接する「正n角形」を「A」とする．
(2)「z軸」を中心に「A」を左回りに「(360°/ n)回転」した図形を「σA」で表す．
(3)「y軸」を中心に「A」を左回りに「180°回転」した図形を「τA」で表す．
/*「「y軸」に関して「対称移動」しても「τ^{2} = e」*/
(4)上記の「σ」と「τ」で生成される群を「`D_{n}」と書く．
(5)「σ^{n} = τ^{2} = e」だから「`D_{n}」は有限群．
(6)「`D_{n}」は非可換/*「σ^{k}」だけでは「表裏」不変:【[%62D1](1)】*/
(7)「(σ^{n} = e)∧(τ^{2} = e)∧((τσ)=σ^{n - 1}τ)」とすると
「`D_{n} = <σ,τ> = {e,σ, … ,σ^{n - 1},τ,(τσ),… , (τσ^{n - 1})}」
(8)「`Ord(`D_{n}) = 2 * n」
`▲
%622:〔§2.2〕/*一般の剰余群*/での追加
`▼
%62T3:〔定理2.3〕(110)/*剰余類*/
%62T4:〔定理2.4〕(112)/*ラグランジュの定理*/
%62P2:〔問2.2〕(113)
%62T5:〔定理2.5〕(114)/*位数乗は単位元*/
%62T6:〔定理2.6〕(115)/*フェルマーの小定理，オイラーの定理*/
%62T7:〔定理2.7〕(115)/*剰余類の単位元*/
`▲
`▼
%62T3:〔定理2.3〕(110)/*剰余類*/
%62T4:〔定理2.4〕(112)/*ラグランジュの定理*/
%62P2:〔問2.2〕(113)
%62T5:〔定理2.5〕(114)/*位数乗は単位元*/
%62T6:〔定理2.6〕(115)/*フェルマーの小定理，オイラーの定理*/
%62T7:〔定理2.7〕(115)/*剰余類の単位元*/
`▲
%62D1S1:〔pp.104-109〕の説明の要約
`▼
(1)「Δ(K1' / 5) + Δ(K2' / 5) = Δ((K1' + K2') / 5)」．/*加法に関して閉じている*/
(2)「Δ(K1' / 5) + Δ((- K1') / 5) = 0」．/*加法の逆元*/
(3)「Δ(3 / 5) + Δ((- K1') / 5)' = {Δ((3 + K') / 5); K' ∈`Z}」
(4)「`Δ(K' / 5)'」の任意の元「Δ(K1' / 5)」に対して
「Δ(K1' / 5) * Δ((K2') / 5)' = Δ(5 / 5)」となる「K2'」（K2' ∈ `Z）が存在する
/*「Δ((K1' * K2') / 5) = Δ(5 / 5)」,「φ(Δ(5 / 5)) = W`(5 / 5) = cos(360°)」*/
(5)「K1' ≠ K2'」ならば「`Δ(K2' / 5)' ∩`Δ(K2' / 5)'」は空集合．
(6)「2 + `Δ(K' / 5)' = {2} ∪ `Δ(K' / 5)'」
(7)「`Δ(K' / 5)'」（K' ∈`Z）は「Δ(K' / 5) = 0」である整数【「5」の倍数】の集合
`▲「スペースの挿入」が未更新．/*些細な修正は止めて校正した原稿を直接[%11]に貼り付けます*/
`▼
(1)「Δ(K1' / 5) + Δ(K2' / 5) = Δ((K1' + K2') / 5)」．/*加法に関して閉じている*/
(2)「Δ(K1' / 5) + Δ((- K1') / 5) = 0」．/*加法の逆元*/
(3)「Δ(3 / 5) + Δ((- K1') / 5)' = {Δ((3 + K') / 5); K' ∈`Z}」
(4)「`Δ(K' / 5)'」の任意の元「Δ(K1' / 5)」に対して
「Δ(K1' / 5) * Δ((K2') / 5)' = Δ(5 / 5)」となる「K2'」（K2' ∈ `Z）が存在する
/*「Δ((K1' * K2') / 5) = Δ(5 / 5)」,「φ(Δ(5 / 5)) = W`(5 / 5) = cos(360°)」*/
(5)「K1' ≠ K2'」ならば「`Δ(K2' / 5)' ∩`Δ(K2' / 5)'」は空集合．
(6)「2 + `Δ(K' / 5)' = {2} ∪ `Δ(K' / 5)'」
(7)「`Δ(K' / 5)'」（K' ∈`Z）は「Δ(K' / 5) = 0」である整数【「5」の倍数】の集合
`▲「スペースの挿入」が未更新．/*些細な修正は止めて校正した原稿を直接[%11]に貼り付けます*/
%62D1M1:「W`(K' / M)」による補足▼
(0)「_xy平面」上の正三角形の頂点を「{`W(1 / 3),`W(2 / 3),`W(3 / 3)}」とする．
(1)[%62D1](2)の操作「σ」で頂点「`W(K' / 3)」は「`W((K' + 1) / 3)」に移動する．
/*「`W(K1' / 3) * `W(K2' / 3) = `W((K1' + K2') / 3)」「`W(3 / 3) = 1」*/
(2)「A」の頂点を「{`W(4 / 12), `W(8 / 12), `W(12 / 12),}」にすると「σ」で細かく
回転できる．/*「(σ^{K})A」で「y軸」が対称軸になるように「A」を回転できる*/
(3)「A」の頂点を「{`W(4 / 12), `W(8 / 12), `W(12 / 12),}」にすると「σ」で細かく
回転できる．/*(σ^{3})A」で「y軸」が対称軸になる:「360°/ 12 = 30°」*/
--------------------------------------------------
W`( 3 / 12)=W`( 90°/ 360°)
W`( 7 / 12)=W`(210°/ 360°)
W`(11 / 12)=W`(330°/ 360°)
--------------------------------------------------
(4)正三角形では考えにくいので正五角形で例示する/*「360°/ 5 = 72°」*/．
--------------------------------------------------
W`(1 / 5)=W`( 72°/ 360°)
W`(2 / 5)=W`(144°/ 360°)
W`(3 / 5)=W`(216°/ 360°)
W`(4 / 5)=W`(288°/ 360°)
W`(5 / 5)=W`(360°/ 360°)
--------------------------------------------------
(5)「W`(2 / 5) + W`(4 / 5) = W`(2 / 5)+W`((5-2) / 5) = W`(5 / 5) = cos(360°)」
「W`(3 / 5)」は「W`(2 / 5」の【虐待されていた】加法の逆元.
/*「W`(2 / 5) + W`(3 / 5)」は「Δ(2 / 5) + Δ((- 2) / 5)」に対応*/
(6)「(5)」の「W`(3 / 5)」は原著の「x軸」の下側にある「Δ(K'/5)'」の元
`▲「W`(K' / M)」の定義は【[%515P6M1](6).[%1A★]】
(0)「_xy平面」上の正三角形の頂点を「{`W(1 / 3),`W(2 / 3),`W(3 / 3)}」とする．
(1)[%62D1](2)の操作「σ」で頂点「`W(K' / 3)」は「`W((K' + 1) / 3)」に移動する．
/*「`W(K1' / 3) * `W(K2' / 3) = `W((K1' + K2') / 3)」「`W(3 / 3) = 1」*/
(2)「A」の頂点を「{`W(4 / 12), `W(8 / 12), `W(12 / 12),}」にすると「σ」で細かく
回転できる．/*「(σ^{K})A」で「y軸」が対称軸になるように「A」を回転できる*/
(3)「A」の頂点を「{`W(4 / 12), `W(8 / 12), `W(12 / 12),}」にすると「σ」で細かく
回転できる．/*(σ^{3})A」で「y軸」が対称軸になる:「360°/ 12 = 30°」*/
--------------------------------------------------
W`( 3 / 12)=W`( 90°/ 360°)
W`( 7 / 12)=W`(210°/ 360°)
W`(11 / 12)=W`(330°/ 360°)
--------------------------------------------------
(4)正三角形では考えにくいので正五角形で例示する/*「360°/ 5 = 72°」*/．
--------------------------------------------------
W`(1 / 5)=W`( 72°/ 360°)
W`(2 / 5)=W`(144°/ 360°)
W`(3 / 5)=W`(216°/ 360°)
W`(4 / 5)=W`(288°/ 360°)
W`(5 / 5)=W`(360°/ 360°)
--------------------------------------------------
(5)「W`(2 / 5) + W`(4 / 5) = W`(2 / 5)+W`((5-2) / 5) = W`(5 / 5) = cos(360°)」
「W`(3 / 5)」は「W`(2 / 5」の【虐待されていた】加法の逆元.
/*「W`(2 / 5) + W`(3 / 5)」は「Δ(2 / 5) + Δ((- 2) / 5)」に対応*/
(6)「(5)」の「W`(3 / 5)」は原著の「x軸」の下側にある「Δ(K'/5)'」の元
`▲「W`(K' / M)」の定義は【[%515P6M1](6).[%1A★]】
%62D1S2:二面体群「`D_{3}」の剰余類
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「`D_{3} = {e, σ, σ^{2}, τ, (τσ), (τσ^{2})}」の任意の元を「α」とし，
「α」を含む「<σ, τ>」の集合を「λ(α)」と表記．/*原著の上線付き集合*/．
(1)原著の「σ」は回転の作用素，「τ」は折り返しの作用素．
(2)〔pp.107〕の表から「αλ(α) = τ」となる対「(α, λ(α))」は
「{(α, α), (σ, τσ), (σ^{2}, τσ^{2}), (τ, e), (τσ, σ^{2}), (τσ^{2}, σ)}」
/* 任意の「α」に対して逆元「α^{- 1} = λ(α)」が存在 */
(3)
--------------------------------------------------------------------------------
`▲背景色はオプション
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「`D_{3} = {e, σ, σ^{2}, τ, (τσ), (τσ^{2})}」の任意の元を「α」とし，
「α」を含む「<σ, τ>」の集合を「λ(α)」と表記．/*原著の上線付き集合*/．
(1)原著の「σ」は回転の作用素，「τ」は折り返しの作用素．
(2)〔pp.107〕の表から「αλ(α) = τ」となる対「(α, λ(α))」は
「{(α, α), (σ, τσ), (σ^{2}, τσ^{2}), (τ, e), (τσ, σ^{2}), (τσ^{2}, σ)}」
/* 任意の「α」に対して逆元「α^{- 1} = λ(α)」が存在 */
(3)
--------------------------------------------------------------------------------
`▲背景色はオプション
%622:〔§2.2〕/*一般の剰余群*/での追加
`▼
%62T3:〔定理2.3〕(110)/*剰余類*/
%62T4:〔定理2.4〕(112)/*ラグランジュの定理*/
%62P2:〔問2.2〕(113)
%62T5:〔定理2.5〕(114)/*位数乗は単位元*/
%62T6:〔定理2.6〕(115)/*フェルマーの小定理，オイラーの定理*/
%62T7:〔定理2.7〕(115)/*剰余類の単位元*/
%62T3:〔定理2.3〕(110)/*剰余類*/
%62T4:〔定理2.4〕(112)/*ラグランジュの定理*/
%62P2:〔問2.2〕(113)
%62T5:〔定理2.5〕(114)/*位数乗は単位元*/
%62T6:〔定理2.6〕(115)/*フェルマーの小定理，オイラーの定理*/
%62T7:〔定理2.7〕(115)/*剰余類の単位元*/
`▲
%62D1M1:「W`(K' / M)」による補足
`▼
(0)「_xy平面」上の正三角形の頂点を「{`W(1 / 3),`W(2 / 3),`W(3 / 3)}」とする．
(1)[%62D1](2)の操作「σ」で頂点「`W(K' / 3)」は「`W((K' + 1) / 3)」に移動する．
/*「`W(K1' / 3) * `W(K2' / 3) = `W((K1' + K2') / 3)」「`W(3 / 3) = 1」*/
(2)「A」の頂点を「{`W(4 / 12), `W(8 / 12), `W(12 / 12),}」にすると「σ」で細かく
回転できる．/*「(σ^{K})A」で「y軸」が対称軸になるように「A」を回転できる*/
(3)「A」の頂点を「{`W(4 / 12), `W(8 / 12), `W(12 / 12),}」にすると「σ」で細かく
回転できる．/*(σ^{3})A」で「y軸」が対称軸になる:「360°/ 12 = 30°」*/
--------------------------------------------------
W`( 3 / 12)=W`( 90°/ 360°)
W`( 7 / 12)=W`(210°/ 360°)
W`(11 / 12)=W`(330°/ 360°)
--------------------------------------------------
(4)正三角形では考えにくいので正五角形で例示する/*「360°/ 5 = 72°」*/．
--------------------------------------------------
W`(1 / 5)=W`( 72°/ 360°)
W`(2 / 5)=W`(144°/ 360°)
W`(3 / 5)=W`(216°/ 360°)
W`(4 / 5)=W`(288°/ 360°)
W`(5 / 5)=W`(360°/ 360°)
--------------------------------------------------
(5)「W`(2 / 5) + W`(4 / 5) = W`(2 / 5)+W`((5-2) / 5) = W`(5 / 5) = cos(360°)」
「W`(3 / 5)」は「W`(2 / 5」の【虐待されていた】加法の逆元.
/*「W`(2 / 5) + W`(3 / 5)」は「Δ(2 / 5) + Δ((- 2) / 5)」に対応*/
(6)「(5)」の「W`(3 / 5)」は原著の「x軸」の下側にある「Δ(K'/5)'」の元
--------------------------------------------------------------------------------
`▲「W`(K' / M)」の定義は【[%515P6M1](6).[%1A★]】
(0)「_xy平面」上の正三角形の頂点を「{`W(1 / 3),`W(2 / 3),`W(3 / 3)}」とする．
(1)[%62D1](2)の操作「σ」で頂点「`W(K' / 3)」は「`W((K' + 1) / 3)」に移動する．
/*「`W(K1' / 3) * `W(K2' / 3) = `W((K1' + K2') / 3)」「`W(3 / 3) = 1」*/
(2)「A」の頂点を「{`W(4 / 12), `W(8 / 12), `W(12 / 12),}」にすると「σ」で細かく
回転できる．/*「(σ^{K})A」で「y軸」が対称軸になるように「A」を回転できる*/
(3)「A」の頂点を「{`W(4 / 12), `W(8 / 12), `W(12 / 12),}」にすると「σ」で細かく
回転できる．/*(σ^{3})A」で「y軸」が対称軸になる:「360°/ 12 = 30°」*/
--------------------------------------------------
W`( 3 / 12)=W`( 90°/ 360°)
W`( 7 / 12)=W`(210°/ 360°)
W`(11 / 12)=W`(330°/ 360°)
--------------------------------------------------
(4)正三角形では考えにくいので正五角形で例示する/*「360°/ 5 = 72°」*/．
--------------------------------------------------
W`(1 / 5)=W`( 72°/ 360°)
W`(2 / 5)=W`(144°/ 360°)
W`(3 / 5)=W`(216°/ 360°)
W`(4 / 5)=W`(288°/ 360°)
W`(5 / 5)=W`(360°/ 360°)
--------------------------------------------------
(5)「W`(2 / 5) + W`(4 / 5) = W`(2 / 5)+W`((5-2) / 5) = W`(5 / 5) = cos(360°)」
「W`(3 / 5)」は「W`(2 / 5」の【虐待されていた】加法の逆元.
/*「W`(2 / 5) + W`(3 / 5)」は「Δ(2 / 5) + Δ((- 2) / 5)」に対応*/
(6)「(5)」の「W`(3 / 5)」は原著の「x軸」の下側にある「Δ(K'/5)'」の元
--------------------------------------------------------------------------------
`▲「W`(K' / M)」の定義は【[%515P6M1](6).[%1A★]】
%62D1S2:二面体群「`D_{3}」の剰余類
%62D1S2:二面体群「`D_{3}」の剰余類
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「`D_{3} = {e, σ, σ^{2}, τ, (τσ), (τσ^{2})}」の任意の元を「α」とし，
「α」を含む「<σ, τ>」の集合を「λ(α)」と表記．/*原著の上線付き集合*/．
(1)原著の「σ」は回転の作用素，「τ」は折り返しの作用素．
(2)〔pp.107〕の表から「αλ(α) = τ」となる対「(α, λ(α))」は
「{(α, α), (σ, τσ), (σ^{2}, τσ^{2}), (τ, e), (τσ, σ^{2}), (τσ^{2}, σ)}」
/* 任意の「α」に対して逆元「α^{- 1} = λ(α)」が存在 */
(3)
`▲背景色はオプション
%62D1S2:二面体群「`D_{3}」の剰余類
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「`D_{3} = {e, σ, σ^{2}, τ, (τσ), (τσ^{2})}」の任意の元を「α」とし，
「α」を含む「<σ, τ>」の集合を「λ(α)」と表記．/*原著の上線付き集合*/．
(1)原著の「σ」は回転の作用素，「τ」は折り返しの作用素．
(2)〔pp.107〕の表から「αλ(α) = τ」となる対「(α, λ(α))」は
「{(α, α), (σ, τσ), (σ^{2}, τσ^{2}), (τ, e), (τσ, σ^{2}), (τσ^{2}, σ)}」
/* 任意の「α」に対して逆元「α^{- 1} = λ(α)」が存在 */
(3)
`▲背景色はオプション
%62T4:〔定理2.4〕(112)/*ラグランジュの定理*/
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「H」が「G」の部分群であるとき「|G| = [G : H]*|H|」/*[G : H]を「GのHによる指数」という*/
・「|G|」は「G」の元の数:【[%416D5](4).[%17]】
--------------------------------------------------------------------------------
`▲
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「H」が「G」の部分群であるとき「|G| = [G : H]*|H|」/*[G : H]を「GのHによる指数」という*/
・「|G|」は「G」の元の数:【[%416D5](4).[%17]】
--------------------------------------------------------------------------------
`▲
%623:〔§2.3〕/*S_p(6)*/での追加
`▼
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--------------------------------------------------------------------------------
`▲
%62P3:〔問2.3〕【p.116】
`▼
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(0)「立方体の置き換え」からなる群を求めよ
・「前後をつらぬく軸」に関する180°回転を「α」とする
・「上下をつらぬく軸」に関する180°回転を「β」とする
・「左右をつらぬく軸」に関する180°回転を「γ」とする
(1)〔図1〕の立方体の頂点を「{P1, P2, P3, P4, Q1, Q2, Q3, Q4}」とする．
/*「Pk」は上面の数字「k」の頂点．「Qk」は下面の数字「k」の頂点．*/
(2)図から「α{P1, P2,Q1, Q2}」の頂点は「{P2, P1,Q2, Q1}」に移動する．
(3)原著の図〔図2〕【p.117】が分かり難いので立方体「D」の
「_xyz空間での」頂点「P[K']」（0 ≦ K'≦ 7）の座標を
P[0] = (0,0,0)/* = P1 */
P[1] = (1,0,0)/* = P2 */
P[2] = (0,1,0)/* = P4 */
P[3] = (1,1,0)/* = P3 */
P[4] = (0,0,1)/* = Q3 */
P[5] = (1,0,1)/* = Q4 */
P[6] = (0,1,1)/* = Q2 */
P[7] = (1,1,1)/* = Q1 */
とする．/*頂点(x,y,z)に対応する対角線上の頂点の座標は「(1 - x, 1 - y, 1 - z)」*/
(4)「G = P(1 / 2, 1 / 2, 1 / 2)」として「(0)」の「α」「β」「γ」を次のように考える．
「α」=「Gを通るx軸と平行な直線の周りの180°回転」
「β」=「Gを通るz軸と平行な直線の周りの180°回転」
「γ」=「Gを通るy軸と平行な直線の周りの180°回転」
(5)〔図2〕は上面がすべて「{1, 2, 3, 4}」で考え難いので易しい説明を探しました
/*対角線上に同じ数字があるのがポイント*/
------------------------------------------------------------
[1]クラインの四元群 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/クラインの四元群
[2]クラインの四元群
http://hooktail.sub.jp/algebra/KleinQuaternion/
[3]数学屋のメガネ:クラインの四元群と親族の構造
http://blog.livedoor.jp/khideaki/archives/51809249.html
[4]クラインの4元群 ～一般的な性質 - 身勝手な主張
https://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh/e/58b7fb91243d3f644b1b3318a432dce6
------------------------------------------------------------
(6)「_xyz空間」内の任意の点「P(X', Y', Z')」（(X', Y', Z') ∈ `R^{3}）について
直接座標軸周りの180°回転を計算すると「Vの演算表」【p.118】を作成できる．
(7)例えば「(αβ) = γ」は次式で確認できる．
「βP(X, Y, Z) = P(- X, - Y, Z)」
「α(βP(X, Y, Z)) = P(- X, Y, - Z)」
(8)〔図3〕の「1 を結ぶ対角線方向で見ると 1 と辺で結ばれる 2, 3, 4 が 120°の間隔で
並んでいます．ですから，対角線に関する 120°回転は立方体の置き換えになっているのです．」
は理解しにくいので敬遠して回避．
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`▲灰色の行は[%1B]では削除
`▼
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(0)「立方体の置き換え」からなる群を求めよ
・「前後をつらぬく軸」に関する180°回転を「α」とする
・「上下をつらぬく軸」に関する180°回転を「β」とする
・「左右をつらぬく軸」に関する180°回転を「γ」とする
(1)〔図1〕の立方体の頂点を「{P1, P2, P3, P4, Q1, Q2, Q3, Q4}」とする．
/*「Pk」は上面の数字「k」の頂点．「Qk」は下面の数字「k」の頂点．*/
(2)図から「α{P1, P2,Q1, Q2}」の頂点は「{P2, P1,Q2, Q1}」に移動する．
(3)原著の図〔図2〕【p.117】が分かり難いので立方体「D」の
「_xyz空間での」頂点「P[K']」（0 ≦ K'≦ 7）の座標を
P[0] = (0,0,0)/* = P1 */
P[1] = (1,0,0)/* = P2 */
P[2] = (0,1,0)/* = P4 */
P[3] = (1,1,0)/* = P3 */
P[4] = (0,0,1)/* = Q3 */
P[5] = (1,0,1)/* = Q4 */
P[6] = (0,1,1)/* = Q2 */
P[7] = (1,1,1)/* = Q1 */
とする．/*頂点(x,y,z)に対応する対角線上の頂点の座標は「(1 - x, 1 - y, 1 - z)」*/
(4)「G = P(1 / 2, 1 / 2, 1 / 2)」として「(0)」の「α」「β」「γ」を次のように考える．
「α」=「Gを通るx軸と平行な直線の周りの180°回転」
「β」=「Gを通るz軸と平行な直線の周りの180°回転」
「γ」=「Gを通るy軸と平行な直線の周りの180°回転」
(5)〔図2〕は上面がすべて「{1, 2, 3, 4}」で考え難いので易しい説明を探しました
/*対角線上に同じ数字があるのがポイント*/
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[1]クラインの四元群 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/クラインの四元群
[2]クラインの四元群
http://hooktail.sub.jp/algebra/KleinQuaternion/
[3]数学屋のメガネ:クラインの四元群と親族の構造
http://blog.livedoor.jp/khideaki/archives/51809249.html
[4]クラインの4元群 ～一般的な性質 - 身勝手な主張
https://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh/e/58b7fb91243d3f644b1b3318a432dce6
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(6)「_xyz空間」内の任意の点「P(X', Y', Z')」（(X', Y', Z') ∈ `R^{3}）について
直接座標軸周りの180°回転を計算すると「Vの演算表」【p.118】を作成できる．
(7)例えば「(αβ) = γ」は次式で確認できる．
「βP(X, Y, Z) = P(- X, - Y, Z)」
「α(βP(X, Y, Z)) = P(- X, Y, - Z)」
(8)〔図3〕の「1 を結ぶ対角線方向で見ると 1 と辺で結ばれる 2, 3, 4 が 120°の間隔で
並んでいます．ですから，対角線に関する 120°回転は立方体の置き換えになっているのです．」
は理解しにくいので敬遠して回避．
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`▲灰色の行は[%1B]では削除
%624:〔§2.4〕/*準同型写像*/での追加
%62T3:〔定理2.3〕(110)/*剰余類*/
%62T4:〔定理2.4〕(112)/*ラグランジュの定理*/
%62P2:〔問2.2〕(113)
%62T5:〔定理2.5〕(114)/*位数乗は単位元*/
%62T6:〔定理2.6〕(115)/*フェルマーの小定理，オイラーの定理*/
%62T7:〔定理2.7〕(115)/*剰余類の単位元*/
%62T4:〔定理2.4〕(112)/*ラグランジュの定理*/
%62P2:〔問2.2〕(113)
%62T5:〔定理2.5〕(114)/*位数乗は単位元*/
%62T6:〔定理2.6〕(115)/*フェルマーの小定理，オイラーの定理*/
%62T7:〔定理2.7〕(115)/*剰余類の単位元*/
%62D1S1:〔pp.104-109〕の説明の要約
%62D2:〔定義2.2〕/*群の同型写像*/
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「f:G1→G2」/*「G1」,「G2」は群*/とする．
(1)「f(X'・Y')=f(X')・f(Y')」（(X',Y') ∈ G1^{2}）であることを
「G1」と「G1」は「準同型★」であるといい，「Hmorph`(f; G1, G2)」と表記．
★https://ja.wikipedia.org/wiki/準同型
/*記法は【[%3141](3).`[%13]】の「Imorph`(f; G1, G2)」に準拠*/
--------------------------------------------------------------------------------
`▲
%62D2:〔定義2.2〕(135)/*群の同型写像*/
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)「f1:G1→G2」/*「G1」,「G2」は群*/とする．
(1)「f1(X'・Y') = f1(X')・f1(Y')」（(X',Y') ∈ G1^{2}）であることを「Hmorph`(f1; G1, G2)」
で表し．「f1」を「G1」から「G2」への「準同型写像」という
/*記法は【[%3141](3).`[%13]】の「Imorph`(f; G1, G2)」に準拠*/
(2)「Im`(f)={f1(g); g ∈ G1}」は群．/*〔定理2.11〕*/
(3)「Ker`(f)={f1(g); (f1(g) = e2)∧(g ∈ G1)}」は群．/*〔定理2.12〕*/
(4)「N = Ker`(f)」とすると「Imorph`(f1; G1/N, Im`(f1))」．/*〔定理2.13〕*/
(5)「表系」「裏系」の区別〔p.135〕を止めて単に「σ」「τ」で考える？
/*「σ^{3} = τ^{2} = e」だから「<σ, τ>」は有限群．*/
(6)「τ」で冷遇されていた加法の反乱（「Δ」の非線形性:）を鎮圧？
「Δ(2 / 5) + Δ(4 / 5) ≠ (6 / 5)」/*演算の主役は「＊」．「＋」は脇役*/
・「σΔ(K' / M)=Δ(K' / M)」,「τΔ(K' / M)=Δ((- K') / M)」にしたい？
(7)「Δ(K' / M)」を「W`(K' / M)」に対応させ難い．【[%51BTKM2](9).`[%1A]】
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`▲「Δ(X) = X - Γ(X)」(fractional piece of X)/*【[%21](8).`[%17]】*/
`▼
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(0)「f:G1→G2」/*「G1」,「G2」は群*/とする．
(1)「f(X'・Y')=f(X')・f(Y')」（(X',Y') ∈ G1^{2}）であることを
「G1」と「G1」は「準同型★」であるといい，「Hmorph`(f; G1, G2)」と表記．
★https://ja.wikipedia.org/wiki/準同型
/*記法は【[%3141](3).`[%13]】の「Imorph`(f; G1, G2)」に準拠*/
--------------------------------------------------------------------------------
`▲
%62D2:〔定義2.2〕(135)/*群の同型写像*/
`▼
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(0)「f1:G1→G2」/*「G1」,「G2」は群*/とする．
(1)「f1(X'・Y') = f1(X')・f1(Y')」（(X',Y') ∈ G1^{2}）であることを「Hmorph`(f1; G1, G2)」
で表し．「f1」を「G1」から「G2」への「準同型写像」という
/*記法は【[%3141](3).`[%13]】の「Imorph`(f; G1, G2)」に準拠*/
(2)「Im`(f)={f1(g); g ∈ G1}」は群．/*〔定理2.11〕*/
(3)「Ker`(f)={f1(g); (f1(g) = e2)∧(g ∈ G1)}」は群．/*〔定理2.12〕*/
(4)「N = Ker`(f)」とすると「Imorph`(f1; G1/N, Im`(f1))」．/*〔定理2.13〕*/
(5)「表系」「裏系」の区別〔p.135〕を止めて単に「σ」「τ」で考える？
/*「σ^{3} = τ^{2} = e」だから「<σ, τ>」は有限群．*/
(6)「τ」で冷遇されていた加法の反乱（「Δ」の非線形性:）を鎮圧？
「Δ(2 / 5) + Δ(4 / 5) ≠ (6 / 5)」/*演算の主役は「＊」．「＋」は脇役*/
・「σΔ(K' / M)=Δ(K' / M)」,「τΔ(K' / M)=Δ((- K') / M)」にしたい？
(7)「Δ(K' / M)」を「W`(K' / M)」に対応させ難い．【[%51BTKM2](9).`[%1A]】
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`▲「Δ(X) = X - Γ(X)」(fractional piece of X)/*【[%21](8).`[%17]】*/
%62T8:〔定理2.8〕【p.126】/*剰余群*/
`▼
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`▼
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`▲
`▲
%62P4:〔問2.4〕【p.129】
`▼
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(0)「V」が「S(P_6)★」の正規部分群であることを示せ．
★https://ja.wikipedia.org/wiki/正六面体
(1)
(2)
(3)
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`▲
`▼
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(0)「V」が「S(P_6)★」の正規部分群であることを示せ．
★https://ja.wikipedia.org/wiki/正六面体
(1)
(2)
(3)
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`▲
%62D2:〔定義2.2〕/*群の同型写像*/
`▼
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(0)「f1:G1→G2」/*「G1」,「G2」は群*/とする．
(1)「f1(X'・Y') = f1(X')・f1(Y')」（(X',Y') ∈ G1^{2}）であることを「Hmorph`(f1; G1, G2)」
で表し．「f1」を「G1」から「G2」への「準同型写像★」という
★https://ja.wikipedia.org/wiki/準同型
/*記法は【[%3141](3).`[%13]】の「Imorph`(f; G1, G2)」に準拠*/
(2)「Im`(f)={f1(g); g ∈ G1}」は群．/*〔定理2.11〕*/
(3)「Ker`(f)={f1(g); (f1(g) = e2)∧(g ∈ G1)}」は群．/*〔定理2.12〕*/
(4)「N = Ker`(f)」とすると「Imorph`(f1; G1/N, Im`(f1))」．/*〔定理2.13〕*/
「f(X・Y)=f(X)・f(Y)」の確認．〔p.136〕の表の代わりに
「f2(<σ>) = e2」,「f2(τ<σ>) = ρ」である「f2」を使うと
「Hmorph`(f2; <σ>, τ<σ>)」
(5)「表系」「裏系」の区別〔p.135〕を止めて単に「σ」「τ」で考える？
/*「σ^{3} = τ^{2} = e」だから「<σ, τ>」は有限群．*/
(6)「τ」で冷遇されていた加法の反乱（「Δ」の非線形性:）を鎮圧？
「Δ(2 / 5) + Δ(4 / 5) ≠ (6 / 5)」/*演算の主役は「＊」．「＋」は脇役*/
・「σΔ(K' / M)=Δ(K' / M)」,「τΔ(K' / M)=Δ((- K') / M)」にしたい？
(7)「Δ(K' / M)」を「W`(K' / M)」に対応させ難い．【[%51BTKM2](9).`[%1A]】
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`▲「f2」は原著の上線付き「f」の代用
`▼
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(0)「f1:G1→G2」/*「G1」,「G2」は群*/とする．
(1)「f1(X'・Y') = f1(X')・f1(Y')」（(X',Y') ∈ G1^{2}）であることを「Hmorph`(f1; G1, G2)」
で表し．「f1」を「G1」から「G2」への「準同型写像★」という
★https://ja.wikipedia.org/wiki/準同型
/*記法は【[%3141](3).`[%13]】の「Imorph`(f; G1, G2)」に準拠*/
(2)「Im`(f)={f1(g); g ∈ G1}」は群．/*〔定理2.11〕*/
(3)「Ker`(f)={f1(g); (f1(g) = e2)∧(g ∈ G1)}」は群．/*〔定理2.12〕*/
(4)「N = Ker`(f)」とすると「Imorph`(f1; G1/N, Im`(f1))」．/*〔定理2.13〕*/
「f(X・Y)=f(X)・f(Y)」の確認．〔p.136〕の表の代わりに
「f2(<σ>) = e2」,「f2(τ<σ>) = ρ」である「f2」を使うと
「Hmorph`(f2; <σ>, τ<σ>)」
(5)「表系」「裏系」の区別〔p.135〕を止めて単に「σ」「τ」で考える？
/*「σ^{3} = τ^{2} = e」だから「<σ, τ>」は有限群．*/
(6)「τ」で冷遇されていた加法の反乱（「Δ」の非線形性:）を鎮圧？
「Δ(2 / 5) + Δ(4 / 5) ≠ (6 / 5)」/*演算の主役は「＊」．「＋」は脇役*/
・「σΔ(K' / M)=Δ(K' / M)」,「τΔ(K' / M)=Δ((- K') / M)」にしたい？
(7)「Δ(K' / M)」を「W`(K' / M)」に対応させ難い．【[%51BTKM2](9).`[%1A]】
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`▲「f2」は原著の上線付き「f」の代用
