{〔第2章〕の復習（９）}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/9d89f5fe00396d9ca9fd74d734a2596f
作業中/16507+[%74D1]（茶: 確認中; 灰色: 確認済; 緑: 非慣用記法）
%0:〔第2章〕の復習（９）
%1:まえがき
・[78_]が「25000字」を超えたので [2_]を作成して【[%70_]以降を移動】
・{ピークの定理（17）}の原稿/*「ピークの定理（16）」＝「〔第6章〕の紹介」*/
%2:参考資料
`▼
(1)「Wikipedia」以外の参考資料
[1_]「ピークの定理（１）」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/4a9d8cdc176aeeffebfd3e59282e4a26
[2_]「このファイル」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/9d89f5fe00396d9ca9fd74d734a2596f
[3_]「物理のかぎしっぽ」@http://hooktail.sub.jp/sitemap.html
[4_]「ときわ台学」@http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/000daisu.html
[5_]「高校数学の美しい物語」@https://mathtrain.jp/elegant
[6_]「はてなブログ」@https://hatenablog.com/
[61_peng225]@https://profile.hatena.ne.jp/peng225/
[62_biteki-math]「美的数学のすすめ」@http://biteki-math.hatenablog.com/about
[7_]「その他のWebサイト」
[71_数学メモ]@https://www.sist.ac.jp/~kanakubo/research/math.html
[72_note]「noppoman」@https://note.com/noppoman /*直接参照 as(2)④*/
[73_mathwords] /*直接参照*/「剰余類の意味と２つの姿」@https://mathwords.net/joyorui
[74_tanren]「日々是鍛錬」@https://www.hibikore-tanren.com/category/math/
[75_]「〔第1章〕の復習（５）」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/44f62cc03d4d7c0d33d6a4fe59e26331
[76_]「〔第2章〕の復習（６）」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/1494b69f0bbb8c6d7793afb467dcafa0
[77_]「〔第2章〕の復習（７）」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/db7541e83f506a504199fa715a513b12
[78_]「〔第2章〕の復習（８）」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/2cb7c35acfcc634cf14d095283143f6b
[79_]「〔第2章〕の復習（９）」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/9d89f5fe00396d9ca9fd74d734a2596f
[7A_]「ピークの定理（10）」/*「非慣用記法について」*/@
〔下書き→削除〕@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/9a57ab5f6f42cf4d3c902d0229c0b4a0
[7B_]「ピークの定理（11）」/*「〔第１章〕の復習」*/@
〔下書き→削除〕@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/45a9e6897d614ae2de6acbb1e9dd5736
[7C_]「ピークの定理（12）」/*「〔第２章〕の復習」*/@
〔下書き→削除〕@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/5bcb5c37cd17e173646ee60df720492a
[7D_]「ピークの定理（13）」/*「〔第３章〕の紹介」*/@
〔下書き→削除〕@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/b8d56c91b7f720950e59f7b34e1bf788
/*「同一タイトルは混乱の元凶」*/
[7E_]「ピークの定理（14）」/*「〔第４章〕の紹介」*/@
[7F_]「ピークの定理（15）」/*「〔第５章〕の紹介」*/@
[7G_]「ピークの定理（16）」/*「〔第６章〕の紹介」*/@
[7H_]「ピークの定理（17）」/*`{「Δ」で学ぶ有限群`}（独立パラグラフID）*/@
[8_]「書籍」@https://isbn.jpo.or.jp/index.php/fix__about/fix__about_2/
[81_]「ガロア理論の頂を踏む★」@ISBN978-4-86064-363-8
★https://www.beret.co.jp/books/detail/487
[82_]「論理学★」@ISBN978-4-86064-363-8
★https://www.amazon.co.jp/論理学-野矢-茂樹/dp/4130120530
[9_]「Ｑ＆Ａ」/*直接参照*/
[91_OK]「OKWave」@https://okwave.jp/
[92_goo]「教えて!goo」@https://oshiete.goo.ne.jp/
[93_Yahoo]「Yahoo知恵袋」@https://chiebukuro.yahoo.co.jp/
(2)資料の参照(2)資料の参照/*「[76_]に準拠」*/
(3)使用記号:キー入力し難い式は適宜定義して使う
①{擬似コードによる表現}@https://blog.goo.ne.jp/bonsai19/e/bb51b0440ad573d19b28a4fd73041416
/*「TeXに準じた記法の背景色は Cyan」as「x^{3} - 1 = 0」,「A^{(i, j)}」*/
②[_数学記号の表]@https://ja.wikipedia.org/wiki/数学記号の表
③「+」「-」「*」「/」は「Ｃ言語」の算術演算子と同じ．/*「%」は使わない */
④比較演算子には「＜」,「≦」,「＝」,「≧」,「＞」,「≠」を使う．/*背景色は「Cyan」*/
⑤非慣用記法は本文中に「□ := 」で明示する．/*「□」の背景色は「Green」*/
/*「□ ::= □」は大域的定義，「□ := □」は局所的定義*/
⑥「スマホ」で上付きにならない半角の記号「~」は背景色を「Brown」にして明示する．
/*「~」(ゴシック)が「~」(Arial)に,「'*'」は「'*'」になるので「`Δ(K'/M)*」を使わない．*/
⑦下記の定数「□_」を使う．
「i_」(虚数単位★)
「e_」(自然対数の底★)
★https://ja.wikipedia.org/wiki/虚数単位
★https://ja.wikipedia.org/wiki/ネイピア数
⑧円周率「π」は単にゴシックにする/*「Terminalならπになる」*/
⑨このファイルのパラグラフは「%」を外したパラグラフIDで参照する．例えば「2_61D1」
(4)記事の修正
①正誤表は作らない/*「オンラインで修正し背景色を茶色にして明示」*/
`▲
%3:目次
`▼
§1.0:〔第１章〕整数で考える剰余類
§1.1:剰余の表現/*「γ5(k)」*/
§1.2:２次方程式/*「虚数単位」*/
§1.3:数平面/*「三角関数」*/
§1.4:行列式/*「置換」*/
§1.5:剰余類/*「§2.4」*/
§1.6:巡回群/*「§2.5」*/
§2.0:〔第２章〕実数で考える巡回群
§2.1:１次不定方程式/*「Δ(X') := X' - Γ(X')」*/
§2.2:有限体/*「`GF(M)」*/
§2.3:既約多項式/*「複素数」*/
§2.4:ユークリッド空間/*「直交座標系」*/
§2.5:剰余類/*「`Δ(K' / M)'」*/
§2.6:巡回群/*「σ(`Δ(K' / M)')」*/
§2.7:対称群/*「τ(`Δ(K' / M)')」*/
§2.8:部分群/*「`GR(6)」*/
§2.9:準同型写像/*「正規列」*/
§3.0:〔第３章〕複素数で考える商群
§3.1:正規部分群/*「g・`H ＝ `H・g」*/
§3.2:商群/*「GQ`(`Δ(`Z / M)')」*/
§3.3:多項式環/*「RP`(`C)」*/
§3.4:可解群/*「GS`(`Δ(`Z / M)')」*/
`▲
%4:「[75_]-[78_]のパラグラフの紹介」
`▼
(1)【[75_]】の問・定義・定理 /26384
%51P1:〔問1.1〕/*「ユークリッドの互除法」*/
%51P2:〔問1.2〕/*「１次不定方程式の一般的解法」*/
%51P3:〔問1.8〕/*「中国の剰余定理」*/
%51D1:記号の定義/*「剰余の表現」*/
%52D1:記号の定義/*「２次方程式」*/
%52D1:記号の定義/*「連立1次方程式」*/
%53D1:記号の定義/*「三角関数」*/
%54P1:〔問1.4〕/*「有限体での演算」*/
%54D1:記号の定義/*「剰余類」*/
%55P1:〔問1.5〕/*「正六角形の回転」*/
%55D1:記号の定義/*「巡回群」*/
(2)【[76_]】の問・定義・定理 /24040
%61D1:記号の定義/*「Δ(X') := X' - Γ(X')」*/
%62D1:有限体/*「`GF(M)」*/
%63D1:既約多項式/*「i_」,「e_」*/
%64D1:直交座標系/*「sin(θ)」,「cos(θ)」*/
%65D1:剰余類/*「`Δ(X/M)'」*/
%65D2:巡回群/*「σ(`Δ(X/M)')」*/
%65D3:対称群/*「τ(`Δ(X/M)'」*/
(3)【[77_]】の問・定義・定理 /26069
%66D1:部分群/*「'GR(6)」*/
%66P1:〔問4.1〕/*「同型写像」*/
%66P2:〔問4.2〕/*「平方根の計算」*/
%66P3:〔問4.3〕/*「正規列」*/
%66P4:〔問4.4〕/*「べき乗根の計算」*/
%67D1:準同型写像/*「f:`Δ(K'/ M)' → W`(K'/ M)」*/
(4)【[78_]】の問・定義・定理 /7436
%71D1:多項式環/*「拡大体」*/
%72D1:正規部分群/*「g・`H = H・g^{- 1}」*/
%73D1:商群/*「`Δ(`Z / M)'」*/
%74D1:可解群
`▲更新確認中
%74:可解群
%74P1:〔問4.1〕/*「可解群」*/
`▼
%74D1:記号の定義/*「可解群」*/
`▼
(0)「`Δ(K / M)"」は可解群であることを示せ．
(1)参考資料
①[_群_(数学)]@https://ja.wikipedia.org/wiki/群_(数学)#可解群・交換子群・冪零群
・[_可解群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/可解群
②[3_ガロア群と可解群]@http://hooktail.sub.jp/algebra/Radicals/
③[3_]「可解群について補足」@http://hooktail.sub.jp/algebra/SolvableGroupsApp/
④[4_]「10-2 交換子群と可解群」@http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/101gun.html
⑤[6_peng225]「群が可解でないための条件」@http://peng225.hatenablog.com/entry/2017/09/22/143833
⑥[7_]「可解群」@https://www.sist.ac.jp/~kanakubo/research/hosoku/kakaigun.html
(2)「(1)⑥」の紹介/*「過剰引用を自粛」*/
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対称群が、開法で正規部分群に縮小し、さらにその中の正規部分群に縮小し、
最終的に正規部分群でもある恒等置換一つになる必要があるという事だ。
この事を記号で書くと、以下のようになる。
このような列を正規列という。
ガロアは、式の値を不変にする解の置換の群が以下の条件を満たすとき、
方程式が代数的に解ける必要十分条件である事を見出した。
①正規列を持つ（最後は恒等置換となる）。
②正規列の全ての剰余群（上記の例ではSn/H0、H0/H1等）が、巡回群となる。
この条件を満たす群を、方程式が解けるという意味で可解群という。
------------------------------------------------------------
(3)
`▲
%79:あとがき/*「謝辞・免責事項」*/
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(1)無断コピーは自由ですが，誤りがあっても内容を変更しないでください．/*「著作権は放棄しません」*/
(2)記事の内容に起因する損害には一切補償しません．
(3)無断で使わせて頂いた資料を作成された方々，介護してくれた妻に感謝．
(4)ご意見・ご助言には対応記事のコメント欄をお使いください．/*「無断で削除しません」*/
`▲「介護してくれた」は「unfnished blog」となることを想定．
%5:らくがき
%51A:〔§1.10〕での追加
%51AM1:「原始根」に関する無責任メモ
`▼
(0)「P = 41」の原始根を一つ求めよ．/*【[%41APD].[%18]】*/
(1)生かじりした「符号理論」（誤り検出訂正）では方程式「X^{N} = 1」の
根「α」/*複素数*/を用いて符号語「α^{K}」/*単位円上の点*/に対応させている
(2)「X^{3} - 1 = (X - 1) * (X^{2} + X + 1)」だから「X^{2} + X + 1 = 0」の根「α」は
「α^{3} = 1」を満足する．/*「|α| = 1」*/
(3)「Δ(1 / P)」を「α = cos(360°/ P)+_i * sin(360°/ P)」に対応させる．/*「|α^{P}| = 1」*/
(4)「Δ(1 / 5)」は「α = cos( 72°/ 5)+_i * sin(72°/ 5)」に対応．/*「72° * 5 = 360°」*/
(5)「α = cos( 360° / 41)+_i * sin(360° / 41)」である「α」は実在．
(6)「正統派」は分数を使わないので分かり難い．【[%412P4].[%17]】
(7)解説:「原始根」「原始多項式」「最小多項式」
(8)[%414D3].[%17]の「・」の実体は乗算「*」/*「Δ(2 / 5)・Δ(4 / 5) = Δ(8 / 5)」*/
`▲[%5171].[%18]のコピーに加筆
%51B:〔§1.11〕での追加
%51BM1:「複素数表示」に関する無責任メモ
`▼
(1)[%415P6]の「∠`(K' / M) ::= Δ(2 * π * (K' / M)」（M ∈ `N）を使う．
/*Terminalをゴシックにすると「2 * π * (K' / M)」*/
(2)「K' / M」は有理変数だから「W`(K' / M) ::= exp(i_ * ∠`(K' / M))」は使い易い．
(3)「`F_{P}」の元を係数とする多項式は[%419PC]のように扱う。
[%51AM1](8)の「Δ(2 / 5)・Δ(4 / 5) = Δ(8 / 5)」は定数項の計算．
/*【[%412P4]】*/
(4)「`F_{5}」の単項式の積の例:「2 * W’^{2} * 4 * W' = 3 * W'^{3}」
(5)符号理論の慣用記法では変数は「X」．
/*「Z'」は「`R^{3}」の「Z座標」と紛らわしいので「W'」を使う*/
(6)符号理論の慣用記法では「σ^{K}」を「α^{K}」で表記/*「α」は原始多項式の根 */
(7)[%62BP0](5)の疑問は【[%41BTI](9)】の写像「φ」が参考になる．
(8)「`Δ(K' / M)'」（K' ∈ `Z; M ∈ `N）の元は「W`(K' / M)」と１対１に対応．
例:「Δ(1 / 5)」は「α = cos( 72°/ 5)+_i * sin(72°/ 5)」に対応．/*【[%51AM1](4)】*/
(9)複素数体では任意の「K'」,「M」（K' ∈ `Z; M ∈ `N）について次式が成立．
「W`(K' / M) + W`((- K') / M) ＝ 0」
/*「+」の逆元の計算公式;「0 ＝ Δ(M / M)」 */
「W`(K' / M) * W`((2 * M) / M) ＝ 1」/*「*」の逆元の計算公式 */
`▲「□::=」の背景色を「緑」にするのは定義行だけ
%51BM2:「操作」に関する無責任メモ
`▼
(0)[%413P5]`[%17]の図形「A」を回転する操作「σ」を「作用素」という．
(1)「σA」は操作結果．/* 結果が等しければ「＝」:履歴不問 */
(2)「σ」は「_xy平面上の図形をz軸を中心にして左回りに「π / 3」回転する作用素」．
(3)他にも「_xy平面上の図形をx軸方向に「5」移動する作用素」等．
(4)作用素を用いると式表現が簡明になる．
/*例:「フーリエ変換」の公式「FEv ＝ ReF」*/
(5)参考資料:[sys.PDF].`{ぼんさいノート＋関連資料`}
★https://sites.google.com/site/bonsaijuku/bonsainoto-guan-lian-zi-liao
(6)作用素「Γ」,「Δ」の応用例：http://hdl.handle.net/11094/1299
(7)関連資料
[1]Digital filters using round-off noise control in frequency domain ...
★https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/ecja.4400630303
[2]A Plain Approach to Teach Modular Arithmetic ★http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=26503BE3CE54AFA381DEB8D41073246D?doi=10.1.1.600.1275&rep=rep1&type=pdf
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