わいわい広場．ブログ村

初等中等教育に関する雑談です。
ご質問、ご意見には対応する記事のコメント欄をお使いください。

「ピークの定理（□）」関連資料

2019-11-29 15:53:38 | 原稿

{「ピークの定理（□）」関連資料}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/e8b60af195f9178367fb30154bde7914
/19306+[%1G1]（茶: 確認中; 灰色: 確認済; 緑: 非慣用記法）

%0:「ピークの定理（□）」関連資料
{「ピークの定理（□）」}の一覧です（「Nexus7」でチェックするために公開）．
意味不明の箇所（esp.[%□]）があれば，まず[%8]を見てください．
各記事が30000行（65KB？）を超えると続編を作成．
.
%1A:`{ピークの定理（10）`}//
.
old%1B:`{ピークの定理（11）`}//23759

%1B:`{ピークの定理（11）`}//
.
%1B1:`{〔第1章〕の紹介(1)`}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/a4fcc2c890682ca6b50538bb83cf64d6
.
%1B2:`{〔第1章〕の紹介(2)`}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/878d42774cb27d98b704a8b0856a9d92
.
old%1C:`{ピークの定理（12）`}//23784
.
%1C1:`{〔第2章〕の紹介(1)`}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/2204439190409627784a76a4d536ea3d
.
%1C2:`{〔第2章〕の紹介(2)`}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/4075a5e43ecfc46706c138605ce2debf
.
%1C3:`{〔第2章〕の紹介(3)`}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/ac2751b7b5f61c69c830db8ef2f68b58
.
%1C4:`{〔第2章〕の紹介(4)`}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/ddcb40e35311ba6eb913fc75e51388c6
.
%1C5:`{〔第2章〕の紹介(5)`}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/8754ed75b6b8771899941e7c32cb3fa6

old%1D:`{ピークの定理（13）`}//7148
.
%1D:`{ピークの定理（13）`}//
.
%1D1:`{〔第3章〕の紹介(1)`}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/d72f5262eb7ed0273ede42249bab19d3
.
%1E:`{ピークの定理（14）`}//
%1E1:`{〔第4章〕の紹介(1)`}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/c91d26a1e3f3a8334b8cf5c9e6918252
.
%1F:`{ピークの定理（15）`}//
.
%1F1:`{〔第5章〕の紹介(1)`}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/6dc9f9cbb040fe386aafe5307ec1d7c8
.
%1G:`{ピークの定理（16）`}//
.
%1G1:`{〔第６章〕の紹介(1)`}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/f41dce022ad0d7f376cc39ca6dba17f5
.
%1G2:`{〔第６章〕の紹介(2)`}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/59148b111430774387f30d75f7266e1f
.

%8:変更履歴

%8J3B:{〔第2章〕の紹介(□)}を作成．/*「ピークの定理（12）」*/

%81C:[%1C]での変更

`▼
(0)`{「ピークの定理」への補足`}を以下のように要約して再構成．
　①[%1B]:〔§2.1〕-〔§2.3〕
　②[%1C]:〔§2.4〕-〔§2.6〕
　③[%1D]:〔§2.7〕
(1)〔定理2.26〕,〔定理2.30〕の関連記事の要約（30000字以内）を断念
(2)[%62TQM1]には苦労したので単なる参照でなく[%1C]に含めたかった．
(3)[%1D]を追加して〔§2.7〕を要約．
`▲

%81B:[%1B]での変更`▼

(1)パラグラフIDを「%419PB:〔問1.11〕」のように変更．/*「19」:〔§1.9〕;「PB」: 問1.11〕*/
(2)[%17]から[%417]以降を移動
(3)[%17]から[%418]以降を移動
(4)原稿から[%517]を復元
(5)[%1B]作成中．/*[%819](4)参照*/

`▲

%81A:[%1A]での変更
`▼
(0)[%819]までの変更を踏襲
(1)各パラグラフ（「P」,「D」,「T」）には無責任メモに「%□M」を，単なる補遺には「%□S」を付加する
(2)`{「ピークの定理（11）」`}を作成．
`▲
 
%819:[%19]での変更のコピー
`▼
(1)[%316].[%16]のコピーを追加．
(2)[%4171].[%17]のコピーを追加．
　・[%17]には[%21].[%13]のコピーを追加済．
(3)[%18]のコピーから[%5]にパラグラフ[%5□M]を作成．/*「M」: 無責任メモ*/
(4)`{「ピークの定理（□）」`}の「抄録」のParagraphIDに[%41A□]から[%41Z□]までを想定．
　・`{「ピークの定理（□）」`}（□ ≧ 10）は「10 ≦ □ ≦ 35」まで？
(5)`{「ピークの定理（10）」`}を作成．
`▲
 
%9:未処理

%90:[%20:擬似コードによる表現]
%92:諸定義
%921:擬似コードによる表現
`▼
(1)「自然数(正の整数)」の集合を「`N」，実数の集合を「`R」と表示し，
　実数「X」を超えない最大の整数を「ΓX」で表わし，「ΔX = X-ΓX」と定める．
(2)HTMLの「xn」を「x^{n}」のように表記
(3)HTMLの「xn」を「x_{k}」のように表記
(4)集合「{X;(X/A)∈`N}」（A ∈`R）を「(A)`N」と表記．
(5)「`□」は集合，「□`( )」は関数，「□`[ ]」は配列要素，「`{□}」は文字列
(6)実部が「X'」，虚部が「Y'」である複素数を「X'+_i`(Y')」と表示．
(7)「S={2, 3, 5 ,2, 2, 5}」の元を小さい順に並べた順列を「Seq`(S)」と表示．
(8)上記(7)の「Seq`(S)」を「Seq`(2^{3}, 3, 5^{2})」と略記．
(9)順列「Seq`(S)」のすべての項の積を「Prod`(S)」と表示．
`▲埋め込み

%922:定義の変更
`▼
[%20](1)「自然数(正の整数)の集合」を「`N」，　実数の集合を「`R」と表示し，
　実数「X」の整数部を「ΓX」，小数部を「ΔX」と表示．
(2)[%115].[%11]の「Δ(-3/4)=Δ(1-0.75)=Δ(1/4)」を「Γ(-3 / 4)= -1」,「Δ(-1 / 4)」に変えたい
　/*「Γ(-3 / 4) + Δ(- 1 / 4)=-1」*/
(3)(1)を「実数「X」を超えない最大の整数を「ΓX」で表わし，「ΔX = X - ΓX」と定める．」に変更済
(4)[%11]の「広義の商」,「広義の剰余」は使わず，「M<N」（(N,M) ∈ `N^{2}）に対する[%116].[%11]の
 「R`()」の定義を「R`(N, M)=(N / M)-Γ(N / M)」に変更．/*検討中：「0∈(`R-`N)」の回避*/
(5)「M<N」である自然数「M」,「N」に対して「Δ(N / M)」を剰余片といい（/*仮称*/），
 「M * Δ(N / M)」を剰余，「Γ(N / M)-Δ(N / M)」を商という．
(6)「ユークリッドの互除法」による計算は[%212].[%12]参照
(7)「巡回群」の単位元の表現は[%282].[%13]参照
(8)「[%282].[%13]参照」を「【[%282].[%13]】」と略記．
`▲埋め込み
 
文字数の表示が復活したので各記事に追記
 

%93:命題一覧`▼
〔§1.1〕/*ユークリッドの互除法*/P1(24),T1,P2(27),T2,T3
〔§1.2〕/*剰余類　　　　　　　*/P3(33),D1,D2,T1,4,P4(37)
〔§1.3〕/*巡回群　　　　　　　*/P5(38),D3
〔§1.4〕/*群の同型　　　　　　*/D4
〔§1.5〕/*部分群　　　　　　　*/P6(50),T5
〔§1.6〕/*群の直積　　　　　　*/D5,P7(55),T6,P8(59),T7,T8
〔§1.7〕/*既約剰余類群　　　　*/P9(66),D6
〔§1.8〕/*同上の構造分析　　　*/P10(69),T10
〔§1.9〕/*原始根で生成　　　　*/P11(74),T11,P12(77),T12,T13,T14
〔§1.A〕/*原始根の存在証明　　*/T15,T16,P13(84),T17
〔§1.B〕/*(Z/pZ)^{*}の構造　*/TI8,L18,T19,L19,T20
--------------------------------------------------------------------------------
`▲〔問〕以外は目次で対応するページが分かる．
 
%421:〔§2.1〕(98)/*二面体群*/
%421P1:〔問2.1〕(98)
%421T1:〔定理2.1〕(101)/*「g」による入れ替え*/
%421T2:〔定理2.2〕(102)/*「g」が部分群に作用*/
%421D1:〔定義2.1〕(103)/*二面体群*/
%422:〔§2.2〕(104)/*一般の剰余群*/
%422T3:〔定理2.3〕(110)/*剰余類*/
%422T4:〔定理2.4〕(112)/*ラグランジュの定理*/
%422P2:〔問2.2〕(113)
%422T5:〔定理2.5〕(114)/*位数乗は単位元*/
%422T6:〔定理2.6〕(115)/*フェルマーの小定理，オイラーの定理*/
%422T7:〔定理2.7〕(115)/*剰余類の単位元*/
%423:〔§2.3〕(116)/*「S(P_6)」*/
%423P3:〔問2.3〕(116)
%422T8:〔定理2.8〕(126)/*剰余群*/
%423P4:〔問2.4〕(129)
%423P5:〔問2.5〕(131)
%423T9:〔定理2.9〕(132)/*巡回群の剰余群は巡回群*/
%423P6:〔問2.6〕(133)
%423TA:〔定理2.10〕(134)/*半分の部分群は正規部分群*/
%424:〔§2.4〕(135)/*準同型写像*/
%424D2:〔定義2.2〕(135)/*群の準同型写像*/
%424TB:〔定理2.11〕(138)/*「Im`(f)」は群*/
%424TC:〔定理2.12〕(139)/*「Ker`(f)」は群*/
%424TD:〔定理2.13〕(140)/*準同型写像*/
%424P7:〔問2.7〕(142)
%425:〔§2.5〕(144)/*第2同型定理,第3同型定理*/
%425TE:〔定理2.14〕(145)/*部分群であるための条件*/
%425TF:〔定理2.15〕(146)/*部分群の演算*/
%425TG:〔定理2.16〕(147)/*第2同型定理*/
%425P8:〔問2.8〕(149)
%425TH:〔定理2.17〕(150)/*第3同型定理*/
%425P9:〔問2.9〕(152)
%426:〔§2.6〕(153)/*対称群「S(_N)」*/
%426PA:〔問2.10〕(153)
%426PB:〔問2.11〕(162)
%426TI:〔定理2.18〕(164)/*置換は互換の積*/
%426TJ:〔定理2.19〕(166)/*対称群の生成元*/
%426TK:〔定理2.20〕(167)/*置換の奇偶性*/
%426TL:〔定理2.21〕(171)/*交代群*/
%426TM:〔定理2.22〕(171)/*交代群と対称群*/
%426TN:〔定理2.23〕(172)/*交代群は三換の積*/
%426TO:〔定理2.24〕(173)/*交代群の生成元*/
%427:〔§2.7〕(175)/*可解群*/
%427PC:〔問2.12〕(175)
%427PD:〔問2.13〕(175)
%427D3:〔定義2.3〕(178)/*可解群*/
%427TP:〔定理2.25〕(179)/*巡回群の直積は可解群*/
%427TQ:〔定理2.26〕(180)/*交代群の非可解性*/
%427TR:〔定理2.27〕(181)/*可解群の部分群も可解群*/
%427TS:〔定理2.28〕(183)/*対称群の非可解性*/
%427TT:〔定理2.29〕(183)/*準同型写像の像でも可解群*/
%427TU:〔定理2.30〕(184)/*剰余群も可解群*/
`▲

%94:定理一覧`▼
p. 23:〔Fig-1.PNG〕

p.411:〔Fig-6.PNG〕

・[%102]に各章の冒頭の図
`▲第１の関門．【[%416P8].[%17]】/*「互除法」から「中国の剰余定理」への脱皮 */
`▲第２の関門．【[%41APD].[%18]】/* 「原始根」の計算 */
`▲第３の関門．【[%41BTJ].[%19]】/*「既約剰余類群」から「巡回群の直積」への写像 */

%95:URL一覧
{ピークの定理（１）}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/4a9d8cdc176aeeffebfd3e59282e4a26
　%951:旧記事「二重誤り訂正符号」の紹介
　%952:旧記事「GF(3)の拡大」の紹介
{ピークの定理（２）}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/c9493a7a5fd51601f336d83083903eb9/
{ピークの定理（３）}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/d0d36f88a2e73ea7d9d70fb763bcd81b
{ピークの定理（４）}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/aa25b29b85dc789e6f961fdd2f804a5e
{ピークの定理（５）}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/fbb6b0b9a1f90ebbb0e28d4feeef7c77
{ピークの定理（６）}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/0a412cddafd9113374af1d2ee3bf0e88
{ピークの定理（７）}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/86f20394a67c9107d8b387d2b2ae80bb
aa

 


〔第2章〕の復習（4）

2019-11-27 16:42:42 | 備忘録

{〔第2章〕の復習（4）}@https://blog.goo.ne.jp/blogmurhttp://e-words.jp/w/差分.htmla-yy/e/9edef7340e7f4ab18f726f5b0cab4dec
/11277+[%62TG](緑: 確認中; 灰色: 確認済）

%0:〔第2章〕の復習（4）

`{〔第2章〕の復習（3）`}の続き【原稿(予習)＋補足(復習)】です．/*[%1D]にコピーして要約*/
・「〔第2章〕の復習（3）」を「〔第2章〕の復習（3X）」（下書き）にして
　「〔第2章〕の復習（４）」を「〔第2章〕の復習（3Y）」に改題したが失敗．
　 /*「３Y」が「４」に戻る*/

・タイトルの変更は混乱の元
・「自分のブログを見て」編集結果を確認しても無視されることがあるので
　「差分ファイル」対策として修正箇所の後に冗長文字列を挿入
・「gooブログ」にログインしていない「Nexus7」（背景色も反映される）でチェックして
　 未処理であれば翌日に冗長文字列を長くする

%1:参考資料
%10:`{ガロア理論の頂を踏む`}
%11:`{「ピークの定理（□）」関連資料`}
%12:`{「ピークの定理」への補足`}
 
%2:諸定義
%3:記法の変更`▼【[%2].[%13]】`▲
%4:抄録/*編集ミスを防ぐため[%123]の直接編集を止めてここで原稿を作成*/
%62P8S2:〔問2.8〕の復習
`▼
(0)「G = `Z」「`H1 = (6)`Z」「`N2 = (10)`Z」のとき
　　「`H/(`H ∩ `N_)」と「`H(`N_)」は同型であることを確認せよ．【_「`N」:自然数の集合】
(1)「`G = `Δ(K' / 1)'」と考えれば剰余類で表現できる．
(2)『加法（＋）の演算は交換可能ですから』(149)に関するメモ
　①〔第1章〕では群の演算「・」は「*」であったが〔第2章〕から「＋」で考える．
　②「*」では「Δ」の非線形性を扱いにくい．/*〔問1.13〕(84)*/
　　【_高校生でも計算できる「Δ(200 / 41) * Δ(300 / 41) = Δ(60000 / 41)」に「原始根」で苦労？】
　③「`H/(`H ∩ `N_)」は「商群」
　　【「x'∈`H/(`H ∩ `N_)」∧「y'∈`H/(`H ∩ `N_)」と「x' = y'」を同一視して「類別★」!】
　④『「f2:`H → `G /`N_」では定義域が「`H」に制限されていますから「`H(`N_)」の
　　「`N_」による剰余類を考えて「Im(f2)」は「`H」から「`G /`N_」への全射』(148)
　　 /*原文と少し表現が異なる*/
(3)【_「f:(6)`Z/(30)`Z → (2)`Z/(10)`Z」を「f(6 * x') = 2 * x'」と定めると
　　「f(6 * x'+ 6 * y')=f(6 * x') + f(6 * y')」だから同型写像】
(4)一般に「(a)`Z/(LCM(a, b))`Z」と「(GCD`(a,b))`Z」は同型
`▲[%62P8S1].[%122]の改訂版.  /*[%62TGM1]と重複*/

%625:〔§2.5〕(144)/*第2同型定理,第3同型定理*/での追加
`▼
%62TE:〔定理2.14〕(145)/*部分群であるための条件*/
%62TF:〔定理2.15〕(146)/*部分群の演算*/
%62TG:〔定理2.16〕(147)/*第2同型定理*/
%62P8:〔問2.8〕(149)
%62TH:〔定理2.17〕(150)/*第3同型定理*/
%62P9:〔問2.9〕(152)
`▲

%62TF:〔定理2.15〕(146)/*部分群の演算*/
`▼
(0)「`H」が「`G」の部分群，「`N_」が「`G」の正規部分群であるとき「`H ∩ (`H ∩ `N_)」と「`H・`N_/`N_」は
　同型であり，「`N_」が「`H」の正規部分群であるときも成立．/*このブログでは「`N」:自然数の集合*/
(1)有限群「`G」の部分群「`H」について「a'・`H = `H・a'」（a' ∈ `H）であるとき，
　「`H」を「`G」の「正規部分群」という．/*〔定理2.8〕(126)*/
(2)演算子がないと分かり難いので慣用記法に反して「・」を挿入．/*【[%62T1].[%12]】*/
(3)原著の「HN」〔p.145〕は分かり難いので，「(`H1)(`N2)」を
　「`H1(`N2) = {(h, n); (h ∈ `H1) ∧ (n ∈ `N2)}」と表示．/*【[%62TF](1).[%122]】*/
(4)上のように定めた「f:G → G / N」を「自然準同型」と呼びます．/*〔p.147〕*/
(5)「Wikipedia」の解説:「自然変換」「群準同型」「商群」【準同型定理】　
(6)「自然準同型」は索引にないのでWikipediaの記事を【[%62TFS1]】で紹介
(7)参考資料
　[1]自然変換 - Wikipedia
　　https://ja.wikipedia.org/wiki/自然変換
　[2]準同型写像 [物理のかぎしっぽ]
　　http://hooktail.sub.jp/algebra/Homomorphic/
　[3]群の自然な準同型と部分群の対応 - ペンギンは空を飛ぶ
　　http://peng225.hatenablog.com/entry/2016/12/18/112359
`▲

%62TFS1:「商群」(Wikipedia)の紹介`▼
(1)商群（しょうぐん、英: quotient group, factor group）あるいは剰余群、因子群とは、
群構造を保つ同値関係を用いて、大きい群から似た元を集めて得られる群である。
例えば、n を法とした加法の巡回群は、整数から、差が n の倍数の元を同一視し、
そのような各類（合同類と呼ばれる）に1つの実体として作用する群構造を定義することによって得られる。
群論と呼ばれる数学の分野の一部である。
(2)群の商において、単位元の同値類はつねにもとの群の正規部分群であり、
他の同値類たちはちょうどその正規部分群の剰余類たちである。
得られる商は G/N と書かれる、ただし G はもとの群で N は正規部分群である。
（これは「G mod N（ジーモッドエヌ）」と読まれる。"mod" は modulo の略である。）
(3)商群の重要性の多くはその準同型との関係に由来する。
第一同型定理は任意の群 G の準同型による像はつねに G のある商と同型であると述べている。
具体的には、準同型 φ: G → H による G の像は G/ker(φ) と同型である、
ただし ker(φ) は φ の核 を表す。
(4)商群の双対概念は部分群であり、これらが大きい群から小さい群を作る2つの主要な方法である。
任意の正規部分群 N は、大きい群から部分群 N の元の間の差異を除去して得られる、対応する商群を持つ。
圏論では、商群は商対象の例であり、これは部分対象の双対である。
商対象の他の例は、商環、商線型空間、商位相空間、商集合を参照。
(5)名前「商」の動機づけ
G/N が商群と呼ばれる理由は整数の除法から来る。
12 を 3 で割ると答えは 4 である、なぜならば 12 個のモノを 3 コのモノからなる
4 つのグループに分けることができるからである。
商群は同じ思想であるが、最終的な答えは数ではなく群である、
なぜならば群はモノの任意の集まりよりも多くの構造を持っているからである。
詳しく述べるため、N を G の正規部分群として、G/N を見ると、
群構造は自然な「グループ分け」をするために用いられる。
これらは N の G における剰余類である。
最終的な商は（通常の割り算が与える）単なる剰余類の個数よりも多くの情報を含んでおり、
それ自身群構造を持つ。
`▲[%1C]では灰色にした部分を削除（過剰引用を自粛）

%62TGM1:〔定理2.16〕(147)
`▼
(0)「`H」,「`N_」が「`G」の部分群で，「`N_」が「`G」の正規部分群であるとき
　 「`H/(`H ∩`N_)」は「`H(`N_) / `N_」と同型であり，「`N_」が「`H」の正規部分群であるときも成立．
(1)「Imorph(f; `G, (`G / `N_)」となる「f」を「f(n) = (x) `N_」と定めると
　 「f(xy) = (x・y) `N_ = ((x)`N_))・((y)`N_) = f(x)・ f(y)」
(2)有限群「`G」の部分群「`H」に対して「a・`H=`H・a」（a ∈ `H）であるとき
「`H」を「`G」の「正規部分群」という．/*〔定理2.8〕(126)*/
(3)「{g`[1]・`H, g`[2], …… , g`[d]・`H}」/*〔定理2.4〕(112)*/は
　　演算「(g`[i']・`H)・(g`[j']・`H)=(g`[i']・g`[j'])・`H」によって群になる．この群を
　　「`G」の「`H」による「剰余類」といい，「`G / `H」で表す．/*【[%62T8](2).[%123]】*/
(4)〔p.147〕の準同型写像「f:`G → (`G / `N_)」の説明．/*cf.「`N」は自然数の集合:従来通り*/
　①「f(x')=(・x') + `H」とする．/*「・」付きの元を「`H」に追加．*/
　②「f(x' + y')=(・(x' + y'))+`H = (・x') + `H)+(・y') + `H) = f(x') + f(y')」だから
　　「f」は準同型写像．/*「f:`G → (`G / `N_)」だから「x' + y'」は「`G」の任意の元*/
　③〔第1章〕では「・」＝「*」であったが〔第2章〕から「・」＝「+」になったので
　　演算子を明示するために表現を変更．
　④「f」の定義域を「`H」に制限した「f2:`H → (`G / `N)」を考える
　⑤「Im(f2)=(`H(`N_)) / `N_」と「Ker(f2)=`H ∩`N」は同型．
　⑥〔p.147〕の「`H・`N_ = {(h・n); (h∈`H) ∧ (h∈`H)}」は分かり難いので
　　「`H(`N_)={(・h)+`N; h ∈`H}」と定義．/*【[%62TF].[%122★]】*/　
　⑦「(5)」に「`G = `Δ(K'/5)'」「`H = `Δ(K'/3)'」としたときの単純な計算例を示す．
　⑧「自然準同型写像」では「`H(`N_)」の「`H」を「`N」の元を操作する
　　「作用素」の集合として使いたいと推測して【[%62P8S2]④】を作成
(5)「f3:`R → `Δ(K'/3)"」「f5:`R → `Δ(K'/5)"」を次のように定める:
　①「f3(x') = 3 * x'」（x' ∈ `R），「g3(x') = x' / 3」（x' ∈ `R）と定めると
　　「f3(Δ(K'/ 3)) = K'」（K' ∈ `N），「f3(Δ(3 / 3)) = 0」，
　　「f3(`Δ(K'/ 3)") = {0, 1, 2}」「g3(f3(`Δ(K'/ 3)"))={0, 1, 2}」
　②同様に「f5(x') = 5 * x'」（x' ∈ `R），「g5(x') = x' / 5」（x' ∈ `R）と定めると
　　「f5(`Δ(K'/ 5)") = {0, 1, 2, 3, 4}」「g5(f5(`Δ(K'/ 3)"))={0, 1, 2, 3, 4}」
　③既約でない剰余類「`Δ(K' / 15)'」に対して「f35:`R → `Δ(K'/15)'」「g53:`R → `Δ(K'/15)'」を
　　「f35(x') = f3(f5(x')」（x' ∈ `R），「g53(x') = g5(g3(x')」（x' ∈ `R）と定めると
　　「f35(Δ(x'/ 15)) = f3(f5(Δ(x'/ 15)) = f3(Δ(x'/ 3)) = x'」，「g53(Δ(x' / 1) = Δ(x'/ 15)」
(6)群の性質を説明する具体例は〔問1.4〕(37)のような計算例と〔問1.5〕(38)のような操作例
　　に大別される．「あみだくじ」による置換群の説明は原著の特徴であるが，〔定理2.26〕(180)の証明の
　　『 n が4以下の場合にはこのような m,l をとることができませんから』が難解．/*【[%62TQM2].[%125]】*/
/あああああああああああああああああああああああああああああ
，[%62P8S2]②の
　 「Δ(200 / 41) * Δ(300 / 41) = Δ(60000 / 41)」のような計算（操作？）も「300本」の縦棒を持つ
　 「あみだくじ」で計算できる
　①左端から「K'」番目の縦棒の出入口に「Δ(K' / 41)」を10進数で表現した文字列を書ばよい．
　②「Δ(200 / 41)=36」,「Δ(300 / 41)=13」だから「"36"×"13"」を計算して答の10進数表示は「"468"」
(7)「`H = `Δ(K' / 5)"」「`N_ = `Δ(K' / 3)"」として「`H」を「{W`(K' / 5); K' ∈ `Z}」に対応させ，
　 「`N_」を「_xy平面」上の三角形「A」に対応させる
　①「_xy平面」上の点「P(x, y)」は「W`(1 / 5) * P(x, y)」によって原点を中心に「360° / 5 = 72°」左回りに回転する
　　ので「W`(1 / 5) * `N_」で三角形「A」の各頂点を「72°」回転させることができる．【[%415P6M1](3).[%1A]】
　　 /*「W`(1 / 3) * P(x, y)」ならば「120°」回転*/
　②
`▲/灰色の行は`[%1C]では削除 
 
%5:らくがき

%8:変更履歴

%8124:[%8124]での変更`▼
【[%8123](5)⑤.[%123]】に準拠して全面的に内容を変更．
　①[%12]  〔§2.1〕-〔§2.2〕
　②[%122]〔§2.3〕-〔§2.4〕
　③[%123]〔§2.5〕
　④[%125]〔§2.6〕-〔§2.7〕
　⑤[%124]〔第2章〕の復習のための作業用ファイル
`▲（HTMLエディタでは）[EOF]の直前にカーソルを置けない

〔第2章〕の復習（３）

2019-11-16 12:02:48 | 備忘録

{〔第2章〕の復習（３）}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/2b2c149ab18e4cf27d9cad4c71958419
/23405+[%8123]（緑: 確認中; 灰色: 確認済）

%0:〔第2章〕の復習（３）
・編集ミスでほぼ全部が消えたので`[%1C]から復元
`{〔第2章〕の復習（３）`}の【原稿(予習)＋補足(復習)】です．/*[%1C]にコピーして要約*/
 
%1:参考資料
%10:`{ガロア理論の頂を踏む`}
%11:`{「ピークの定理（□）」関連資料`}
%12:`{「ピークの定理」への補足`}
 
%2:諸定義
%3:記法の変更`▼【[%2].[%13]】`▲
%4:抄録

%424:〔§2.4〕(135)/*準同型写像*/での追加
`▼

%424D2:〔定義2.2〕(135)/*群の準同型写像*/
%424TB:〔定理2.11〕(138)/*「Im`(f)」は群*/
%424TC:〔定理2.12〕(139)/*「Ker`(f)」は群*/
%424TD:〔定理2.13〕(140)/*準同型写像*/
%424P7:〔問2.7〕(142)

`▲

%62D2:〔定義2.2〕(135)/*群の同型写像*/
`▼

(0)「f1:`G1→`G2」/*「`G1」,「`G2」は群*/とする．
(1)「f1(X'・Y') = f1(X')・f1(Y')」（(X',Y') ∈ `G1^{2}）であることを「Hmorph`(f1; `G1, `G2)」
　で表し．「f1」を「`G1」から「`G2」への「準同型写像」という
　 /*記法は【[%3141](3).`[%13]】の「Imorph`(f; `G1, `G2)」に準拠*/
(2)「Im`(f)={f1(g); g ∈ `G1}」は群．/*〔定理2.11〕*/
(3)「Ker`(f)={f1(g); (f1(g) = e2)∧(g ∈ `G1)}」は群．/*〔定理2.12〕*/
(4)「`N = Ker`(f)」とすると「Imorph`(f1; (`G1  /  `N),  Im`(f1))」．/*〔定理2.13〕*/
(5)「表系」「裏系」の区別〔p.135〕を止めて単に「σ」「τ」で考える？
　  /*「σ^{3} = τ^{2} = e」だから「<σ, τ>」は有限群．*/
(6)「τ」で冷遇されていた加法の反乱（「Δ」の非線形性:）を鎮圧？
　 「Δ(2 / 5) + Δ(4 / 5) ≠ (6 / 5)」/*演算の主役は「＊」．「＋」は脇役*/
　・「σΔ(K' / M)=Δ(K' / M)」,「τΔ(K' / M)=Δ((- K') / M)」にしたい？
(7)「Δ(K' / M)」を「W`(K' / M)」に対応させ難い．【[%51BTKM2](9).`[%1A]】
`▲「Δ(X) = X - Γ(X)」(fractional piece of X)/*【[%21](8).`[%17]】*/

%62T8:〔定理2.8〕(p.126)/*剰余群*/
`▼
(0)「`H」を有限群「`G」の部分群とする．
(1)「g' * `H = `H * g'」（g' ∈ `H）であるとき「`H」を「`G」の「正規部分群★」という．
　★https://ja.wikipedia.org/wiki/正規部分群
(2)「`G」の「`H」による剰余類「{g_{1}*`H, …, g_{D}*`H}」（D = [`G:`H]）は
　 「(g_{K1'})*(g_{K2'}) = (g_{K1'} * g_{K2'})*`H」という演算について群になる．
(3)「(2)」の群を「`G」の「`H」による剰余群といい「`G / `H」で表す．
`▲

%P627M1:〔問2.7〕(142)
`▼
(0)「`G1 = (2) `Z」「`G2 = `Z / (6) `Z」とする．「f:`G1→`G2」に準同型定理を適用して
　　同型な群を作れ．
(1)とりあえず「`G2 = `Δ(K' / 6)'」,「f(2 * X) = Δ((2 * X) / 6)」で考える
　 /*「`G1」は「2」の倍数の集合，「`G2」は「6」の剰余類〔p.142〕*/
(2)「f(2 * (X' + Y')=Δ(2*(X' + Y') / 6) = f(2 * X') + f(2 * Y')」
(3)「X' ∈ `G1(`G2)」なら「(X' ∈ `G1)∧(X' ∈ `G2)」/*「Δ(X' / 12) = 0」*/
(4)「2 * X」（X' ∈ `G2）は「12」の倍数だから「Ker(f) = (12) `Z」．
　 /*「`H(`N) = `G1(`G2) = (12) `Z」*/
`▲

%425:〔§2.5〕(144)/*第2同型定理,第3同型定理*/での追加
`▼
%425TE:〔定理2.14〕(145)/*部分群であるための条件*/
%425TF:〔定理2.15〕(146)/*部分群の演算*/
%425TG:〔定理2.16〕(147)/*第2同型定理*/
%425P8:〔問2.8〕(149)
%425TH:〔定理2.17〕(150)/*第3同型定理*/
%425P9:〔問2.9〕(152)
`▲

%425TE:〔定理2.14〕(145)/*部分群であるための条件*/
`▼
(0)「HがGの部分群である」＝「任意の元(X',Y')について(X'・Y' ∈ H)∧(X'^{- 1} ∈ H)」
(1)「H∩N」が「G」の部分群であることの確認〔pp.145-146〕
`▲

%425TF:〔定理2.15〕(146)/*部分群の演算*/
`▼
(0)「H」,「N」が「G」の部分群であるとき
　(ア)「H∩N」は「G」の部分群
　(イ)特に「N」が「G」の正規部分群であれば「HN」は「G」の部分群
(1)原著の「HN」〔p.145〕は分かり難いので，「(`H1)(`N2)」を
　「`H1(`N2) = {(h, n); (h ∈ `H1) ∧ (n ∈ `N2)}」と表示．
(2)上のように定めた「f:G → G / N」を「自然準同型」と呼びます．/*〔p.147〕*/
(3)「Wikipedia」の解説:「自然変換」「群準同型」「商群」【準同型定理】　/*とりあえず気にせず回避*/ 
`▲

%425TG:〔定理2.16〕(145)/*第2同型定理*/
`▼
(0)「`H0」,「`N0」が「`G」の部分群で，「`N0」が「`G」の正規部分群であるとき
　 「`H0/(`H0∩`N0)」は「`H0(`N0) / `N0」と同型．
(1)「Imorph(f; `G, (`G / `N0)」となる「f」を「f(n) = (x) `N0」と定めると
　 「f(xy) = (x・y) `N0 = ((x)`N0))・((y)`N0) = f(x)・ f(y)」
`▲「(x) `N0 = {x; (x ∈ `R ∩`N0)}」/*【[%2].`[%11]】:「`N」は自然数の集合.  */
 
%425P8S1:〔問2.8〕(149)
`▼
(0)「G = `Z」「`H1 = (6)`Z」「`N2 = (10)`Z」として，
　 「`H1 ∩`N2」と「`H1(`N2) / `N2」は同型であることを示せ．
(1)「(6)`Z」も「(10)`Z」も加法（＋）について群になっています．〔p.149〕
　　/*〔第1章〕と異なり演算が【・】=【+】である「可換群」で例示*/
(2)簡単のため有限集合「`H1 =`Δ(K'/ 6)'」,「`N2 = `Δ(K'/ 10)'」で考える．
　　/*「`Δ(K'/ M)'」（0 ≦ K'＜M）は原著の上線付き数字が「K'」の集合*/
(3)「`H1 ∩`N2 = `Δ(K'/ 6)' ∩ `Δ(K'/ 10)' = `Δ(K'/ 30)'」/*30 = LCM`(6, 10)*/
(4)「`H1(`N2) / `N2 = {(K1, K2); (K1∈ `H1)(K1∈ `H1)}=(2)`Z」/*2 = GCD`(6, 10)*/
　　/*「`H1(`N2)」の定義は【[%62TF](1)】参照:「`N2」は「`H1」と別世界の集合*/
(5)「`H1(`N2) / `N2 = (2)`Z / (10)`Z = `Δ(K'/ 5)'」
`▲

%426:〔§2.6〕/*{〔第2章〕の復習（５）}に移動しました．*/

%426PAS1:〔問2.10〕(153)
`▼
(0)「N」本の「あみだくじ」の左から「K'」番目の縦棒を「ν`(K')」とし，これより左にある
　　縦棒の集合を「`ν(K')」で表す．
(1)「`ν(K1')」と「`ν(K2')」を【上から順に】横棒で結び，数値を交換する操作を
　　「ν`(K1', K2')」で表す．
(2)横棒で結ぶとき，既存の横棒と交わることを禁止．/*〔p.163〕の図*/
(3)「線形代数では行列式の定義に【置換】を用います．もしもあみだくじと置換の数字の並びが
　　同じであると思っていると置換の具体的な計算が理解できないことになります」〔p.157〕
(4)〔p.153〕のあみだくじを以下のように略記する．/*「σ:{1,2,3}→{1,2,3}」:「全単射」*/
　　「 e(1, 2, 3) = (1, 2, 3)」
　　「σ(1, 2, 3) = (3, 1, 2)」/*「ν`(1, 2)・ν`(2, 3)」で作成．*/
　　「τ(1, 2, 3) = (1, 3, 2)」/*「ν`(2, 3)」で作成．*/
　　「(σ^{2})(1, 2, 3) = σ(3, 1, 2) = (2, 3, 1)」
　　「(τσ)(1, 2, 3) =τ (3, 1, 2) = (3, 2, 1)」
　　「(τσ^{2})(1, 2, 3) = τ(2, 3, 1) = (2, 1, 3)」
(5)〔p.161〕の説明：「文字数を固定したとき，そのすべての「置換」を考えた群を「対称群」といい，
　　「`S_{N}」で表します．「N」個の文字の置換は全部で「N!」個ありますから「`S_{N}」の位数は
　　「N!」です．「N」本のあみだくじの群と「`S_(N)」は同型です．
(6)「τ(1, 2, 3)」のような置換を「互換」という．/*〔p.163〕*/
(7)置換の式を1行で表すために〔p.160〕の「σ」を次のように略記することがある．
　　「σ = ν`(1, 2, 3, 4; 3, 1, 4, 2)」/*「σ^{- 1} = ν`(1, 2, 3, 4; 2, 4, 1, 3)」*/
(8)置換の計算は「慣れれば数の四則演算より簡単でしょう」/*〔p.155〕*/．例えば　〔p.157〕の
　「`ν(3)」の計算は
　　「ν`(1, 2, 3; 2, 1, 3)・ν`(1, 2, 3; 3, 2, 1) = ν`(1, 2, 3; 3, 1, 2)」
　　/*「ν`(1, 2, 3; 2, 1, 3) =ν`(3, 2, 1; 3, 1, 2)」*/
(9)「ν`(1, 2, 3; 2, 1, 3)」は「(1, 2, 3)」(入力)を「(2, 1, 3)」(出力)に変換する装置と
　　思えば考えやすい．/*「(3, 2, 1)」(入力)は「(3, 1, 2)」(出力)に変換される*/
`▲背景色・フォントはオプション（コピーすると「plain text」に戻る）
 
%426TI:〔定理2.18〕(164)/*置換は互換の積*/
`▼
(0)「N次」の対称群「`S_{N}」の元は互換の積で表される．
(1)「ν`(1, 2, 3, 4, 5, 6; 4, 6, 5, 3, 1, 2)」は〔pp.164-165〕の図の
　 「ア」-「エ」を順につないでいけばよい
(2)「(1)」の置換は「ν`(1, 4)・ν`(1, 3)・ν`(1, 5)・ν`(1, 6)」と簡単化できる．〔p.166〕
`▲原著の図と式が整合していないようです

%426TJ:〔定理2.19〕(166)/*対称群の生成元*/
`▼
(0)
`▲ 
 
%426TM:〔定理2.22〕(171)/*交代群と対称群*/
`▼
(0)「σ」を「`S_{N}」の互換とすると「`S_{N}=`A_{N}∪(σ`A_{N})」，
　 「[`S_{N} : `A_{N}] = 2」/*【[%62T4].[%12]】*/
(1)剰余群「`S_{N} / `A_{N}」は巡回群．
`▲

%62TQ:〔定理2.26〕(180)
`▼
(0)「5次」以上の交代群「`A_{N}」は可解ではない．
(1)参考資料 /*「5次方程式，可解性」で検索*/
　[1]アーベル-ルフィニの定理
　　https://ja.wikipedia.org/wiki/アーベル-ルフィニの定理
　[2]五次方程式 [物理のかぎしっぽ]
　　http://hooktail.sub.jp/algebra/QuinticEq/
　[3]5次方程式の解を巡る旅 ?5次方程式の可解性判定編 ...
　　http://peng225.hatenablog.com/entry/2018/03/07/180342
　[4]方程式からガロア理論 - 再帰の反復blog
　[5]5次方程式が解けないことの直感的説明 - 新村芳人のホームページ
　　http://yosniimura.net/memo/quintic_equation.html
　[6]可解な5次方程式について
　　http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf
　[7]5 次方程式の可解性の高速判定法
　　http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0848-01.pdf
　[8]置換群に翻弄された方程式の可解性─ガロア理論再考
　http://hooktail.sub.jp/contributions/galois16529.pdf
(2)「(1)」の資料の多くは多項式の等価変換で説明していますが，以下ではあみだくじを抽象化したモデルで考え，
　　多項式との連付けは〔第3章〕まで待ちます．/*【[%62TM1]】で補足*/ 
`▲

%62TQM1:〔定理2.26〕の証明への補足
`▼
(0)〔pp.180-181〕の証明が分かり難いので【[%62TM2](5)】の置換の表現を「μ5("12345"; "pqrst")」と変更し，
　 「8本」の縦棒を持つ同様のあみだくじ「「μ7("1234567"; "pqrstxyz")」」を考える．
(1)〔p.180〕の『「`N_」に含まれていない元「x, y」に関しても交換子「x^{- 1}・y^{- 1}・x・y」を作ると
　 「`N_」に含まれてしまう』の意味が分かり難いので「μ5()」に交換子「{x, y, z}」を追加した
　「μ7()」を作って「(2)」で説明します．/*「交換子」と混同しないように「文字列を変更」*/
・原著の「N」は[%1A]等の「`N」（自然数の集合）と紛らわしいので「`N_」を使用．
(2)「μ7()」の作成手順：
　①あみだくじ「μ5("12345"; "rspqt")」の右側に横棒のない「2本」の縦棒を追加したあみだくじ
　「μ7("1234567"; "qspqtxy")」を作る．/*「`σ("rspqt") = `σ("pqrst")」*/
　②初期値「"pqrst"」を偶置換で並べ替えた「"rspqt"」を作り「μ7()」の「"1234567"」を「"rspqtxy"」に変更．
　　/*「μ7()」の上端に「μ5()」のあみだくじを埋め込むのと等価*/
　③「"rspqtxy"」と「"pqrstxy"」を比較して出口の文字が入口の文字と異なる棒の
　　出口の文字を「'/'」に変える．【目視処理: これを実行するプログラムは容易に作れる!】．
　　「"rspqtxy"」→「"rspq/ry"」　　
　④出口の文字が「'/'」でない最も左にある棒の出口の文字を「'x'」にする．
　　「"rspq/xy"」→「"xspq/ry"」/*「'r'」を「'x'」にする:「x^{- 1}='r'」*/
　⑤出口の文字が「'/'」または「'x'」でない最も左にある棒の出口の文字を「'y'」にする．
　　「"xspq/ry"」→「"ryxq/ps"」/*「's'」を「'y'」にする:「y^{- 1}='s'」*/
　⑥「"ryxq/ps"」→「"rypq/xs"」/*「'x'」を戻す*/
　⑦「"rypq/xs"」→「"rspq/xy"」/*「'y'」を戻す*/
　⑧「"rspq/xy"」は「"pqrs/xy"」と異なるので「③」に戻る
　⑨出口の文字列が「"/////xy"」になれば置換終了．
(3)「(x, x^{- 1}」,「(y, y^{- 1})」を【対にして使うので「μ5()」の奇偶性は不変!】
(4)「μ("pqrst"; "rspqt")」が奇置換なら「{'x', 'y'}」を戻せない．
(5)「μ5()」の下端の文字列を変えた時も同様
(6)「`N_」を巡回群としているが，あみだくじでは剰余計算での「Δ」の非線形性の考慮は困難．
　　/*恒等式「Δ((200 + 300) / 41) = Δ(8 / 41)」の「{200, 300}」と「8」の関係は複雑*/
　　/*論理和や論理積の簡単な恒等式なら容易にあみだくじを作れる*/
・「巡回群」は蛇足なので全体を削除
(7)置換に過ぎないあみだくじで〔定理2.26〕を証明するのは難しいと思われるが「https://www.amazon.co.jp/」の
　 「29件」の書評（一部しか閲覧できない）でこの点に言及したものはなさそうです．
　　/* 気になるトピック「あみたくじ」の「＞続きを読む」も一応読みました．*/
・〔pp.180-181〕の証明を読み直して全面的に改訂します
(8)正体不明の「`N_」に拘るのは止めて〔§2.7〕に進みます．/*あみだくじを使わない〔第3章〕に期待*/
・「正体不明」は勘違いなので全体を削除
`▲作業中．/* 背景色は[%1C]で復元 */

%8:変更履歴
 
%8123:[%123]での変更
`▼
(0)[%81B].[%1B]までの変更を踏襲
(1)「□」の引用は『「□」』/*複数行可*/
(2)【_□】は削除（高校生用）/*背景色：灰色*/
(3)【□!】は注記/*背景色：黄色*/
(4)「29000字」を越えたので〔§2.6〕以降の抄録を[%124]に移動
(5)パラグラフのIDを[%81C]に準拠することにより編集ミスに対処．
　①[%12]  〔§2.1〕-〔§2.2〕
　②[%122]〔§2.3〕-〔§2.4〕
　③[%123]〔§2.5〕
　④[%125]〔§2.6〕-〔§2.7〕
　⑤[%124]〔第2章〕の復習への追加/*[%5:らくがき□]*/
`▲
 
aa

〔第2章〕の復習（２）

2019-11-03 17:02:47 | 備忘録

{〔第2章〕の復習（２）}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/31ef351ac05777af892e87c785b92565
/25134+[%%62TF]（緑: 確認中; 灰色: 確認済）

%0:〔第2章〕の復習（２）
`{ピークの定理（12）`}の【原稿(予習)＋補足(復習)】です．/*[%1C]にコピーして要約:【済】*/
 
%1:参考資料
%10:`{ガロア理論の頂を踏む`}
%11:`{「ピークの定理（□）」関連資料`}
%12:`{「ピークの定理」への補足`}
%2:諸定義
%3:記法の変更`▼【[%2].[%13]】`▲

%4:抄録

%624:〔§2.4〕/*準同型写像*/での追加
`▼
%62D2:〔定義2.2〕(135)/*群の準同型写像*/
%62TB:〔定理2.11〕(138)/*「Im`(f)」は群*/
%62TC:〔定理2.12〕(139)/*「Ker`(f)」は群*/
%62TD:〔定理2.13〕(140)/*準同型写像*/
%62P7:〔問2.7〕(142)
`▲


%625:〔§2.5〕(144)/*第2同型定理,第3同型定理*/での追加
`▼
%62TE:〔定理2.14〕(145)/*部分群であるための条件*/
%62TF:〔定理2.15〕(146)/*部分群の演算*/
%62TG:〔定理2.16〕(147)/*第2同型定理*/
%62P8:〔問2.8〕(149)
%62TH:〔定理2.17〕(150)/*第3同型定理*/
%62P9:〔問2.9〕(152)
`▲灰色

%625:〔§2.5〕(144)/*第2同型定理,第3同型定理*/での追加
`▼
%62TE:〔定理2.14〕(145)/*部分群であるための条件*/
%62TF:〔定理2.15〕(146)/*部分群の演算*/
%62TG:〔定理2.16〕(147)/*第2同型定理*/
%62P8:〔問2.8〕(149)
%62TH:〔定理2.17〕(150)/*第3同型定理*/
%62P9:〔問2.9〕(152)
`▲灰色

%62TE:〔定理2.14〕(145)/*部分群であるための条件*/
`▼
(0)「HがGの部分群である」＝「任意の元(X',Y')について(X'・Y' ∈ H)∧(X'^{- 1} ∈ H)」
(1)「H∩N」が「G」の部分群であることの確認〔pp.145-146〕
`▲
%62TF:〔定理2.15〕(146)/*部分群の演算*/
`▼
(0)「H」,「N」が「G」の部分群であるとき
　(ア)「H∩N」は「G」の部分群
　(イ)特に「N」が「G」の正規部分群であれば「HN」は「G」の部分群
(1)原著の「HN」〔p.145〕は分かり難いので，「(`H1)(`N2)」を
　「`H1(`N2) = {(h, n); (h ∈ `H1) ∧ (n ∈ `N2)}」と表示．
(2)上のように定めた「f:G→G/N」を「自然準同型」と呼びます．/*〔p.147〕*/
(3)「Wikipedia」の解説:「自然変換」「群準同型」「商群」【準同型定理】　/*とりあえず気にせず回避*/
(4)【高校生用】/*未整理*/
[1]群の準同型写像
http://compassare.org/hom-gp.html
[2]準同型定理の例 [物理のかぎしっぽ]
http://hooktail.sub.jp/algebra/Homomorphic3/
[3]群論11 準同型定理 | ☆☆ぎゅるたん数学講座☆☆
https://ameblo.jp/algebric-variety/entry-11166802725.html
[4]写像.13 集合の準同型定理、引き起こされる写像 - レストの数学 ...
https://restmath.com/archives/446
[5]Motoo Tange's Blog: ベクトル空間の準同型定理
https://motochans.blogspot.com/2015/12/blog-post.html
[6]準同型定理に関するブログ記事まとめ
https://hatenablog.com/k/keywordblog/準同型定理
[-]全数学の中で最も感動的で美しい定理 : 休処
http://rest-area.blog.jp/archives/12699932.html
`▲「G/N = { aN : a ∈ G }」【「商群」】

%62TFS1:【「商群」】(Wikipedia)からの無断引用
`▼
(1)数学において、商群（しょうぐん、英: quotient group, factor group）
あるいは剰余群、因子群とは、群構造を保つ同値関係を用いて、大きい群から似た元を集めて得られる群である。
(2)群の商において、単位元の同値類はつねにもとの群の正規部分群であり、
他の同値類たちはちょうどその正規部分群の剰余類たちである。
得られる商は G/N と書かれる、ただし G はもとの群で N は正規部分群である。
（これは「G mod N（ジーモッドエヌ）」と読まれる。"mod" は modulo の略である。）
(3)商群の重要性の多くはその準同型との関係に由来する。
(4)商群の双対概念は部分群であり、これらが大きい群から小さい群を作る2つの主要な方法である。
　「圏論」では、商群は商対象の例であり、これは部分対象の双対である。
`▲過剰な引用を自粛．/*各自読んでください*/
 
%62TG:〔定理2.16〕(145)/*第2同型定理*/
`▼
(0)「`H0」,「`N0」が「`G」の部分群で，「`N0」が「`G」の正規部分群であるとき
　 「`H0/(`H0∩`N0)」は「`H0(`N0) / `N0」と同型．
(1)「Imorph(f; `G, (`G / `N0)」となる「f」を「f(n) = (x) `N0」と定めると
　 「f(xy) = (x・y) `N0 = ((x)`N0))・((y)`N0) = f(x)・ f(y)」
`▲「(x) `N0 = {x; (x ∈ `R ∩`N0)}」/*【[%2].`[%11]】:「`N」は自然数の集合*/

%62P8S1:〔問2.8〕(149)
`▼
(0)「G = `Z」「`H1 = (6)`Z」「`N2 = (10)`Z」として，
　 「`H1 ∩`N2」と「`H1(`N2) / `N2」は同型であることを示せ．
(1)「(6)`Z」も「(10)`Z」も加法（＋）について群になっています．〔p.149〕
　　/*〔第1章〕と異なり演算が【・】=【+】である「可換群」で例示*/
(2)簡単のため有限集合「`H1 =`Δ(K'/ 6)'」,「`N2 = `Δ(K'/ 10)'」で考える．
　　/*「`Δ(K'/ M)'」（0 ≦ K'＜M）は原著の上線付き数字が「K'」の集合*/
(3)「`H1 ∩`N2 = `Δ(K'/ 6)' ∩ `Δ(K'/ 10)' = `Δ(K'/ 30)'」/*30 = LCM`(6, 10)*/
(4)「`H1(`N2) / `N2 = {(K1, K2); (K1∈ `H1)(K1∈ `H1)}=(2)`Z」/*2 = GCD`(6, 10)*/
　　/*「`H1(`N2)」の定義は【[%62TF](1)】参照:「`N2」は「`H1」と別世界の集合*/
(5)「`H1(`N2) / `N2 = (2)`Z / (10)`Z = `Δ(K'/ 5)'」
`▲
 
%626:〔§2.6〕(153)/*対称群「S_n」*/での追加
・
%62PAS1:〔問2.10〕(153)
`▼
(0)「N」本の「あみだくじ」の左から「K'」番目の縦棒を「ν`(K')」とし，これより左にある
　　縦棒の集合を「`ν(K')」で表す．
(1)「`ν(K1')」と「`ν(K2')」を【上から順に】横棒で結び，数値を交換する操作を
　　「ν`(K1', K2')」で表す．
(2)横棒で結ぶとき，既存の横棒と交わることを禁止．/*〔p.163〕の図*/
(3)「線形代数では行列式の定義に【置換】を用います．もしもあみだくじと置換の数字の並びが
　　同じであると思っていると置換の具体的な計算が理解できないことになります」〔p.157〕
(4)〔p.153〕のあみだくじを以下のように略記する．/*「σ:{1,2,3}→{1,2,3}」:「全単射」*/
　　「 e(1, 2, 3) = (1, 2, 3)」
　　「σ(1, 2, 3) = (3, 1, 2)」/*「ν`(1, 2)・ν`(2, 3)」で作成．*/
　　「τ(1, 2, 3) = (1, 3, 2)」/*「ν`(2, 3)」で作成．*/
　　「(σ^{2})(1, 2, 3) = σ(3, 1, 2) = (2, 3, 1)」
　　「(τσ)(1, 2, 3) =τ (3, 1, 2) = (3, 2, 1)」
　　「(τσ^{2})(1, 2, 3) = τ(2, 3, 1) = (2, 1, 3)」
(5)〔p.161〕の説明：「文字数を固定したとき，そのすべての「置換」を考えた群を「対称群」といい，
　　「`S_{N}」で表します．「N」個の文字の置換は全部で「N!」個ありますから「`S_{N}」の位数は
　　「N!」です．「N」本のあみだくじの群と「`S_(N)」は同型です．
(6)「τ(1, 2, 3)」のような置換を「互換」という．/*〔p.163〕*/
(7)置換の式を1行で表すために〔p.160〕の「σ」を次のように略記することがある．
　　「σ = ν`(1, 2, 3, 4; 3, 1, 4, 2)」/*「σ^{- 1} = ν`(1, 2, 3, 4; 2, 4, 1, 3)」*/
(8)置換の計算は「慣れれば数の四則演算より簡単でしょう」/*〔p.155〕*/．例えば　〔p.157〕の
　「`ν(3)」の計算は
　　「ν`(1, 2, 3; 2, 1, 3)・ν`(1, 2, 3; 3, 2, 1) = ν`(1, 2, 3; 3, 1, 2)」
　　/*「ν`(1, 2, 3; 2, 1, 3) =ν`(3, 2, 1; 3, 1, 2)」*/
(9)【高校生用】「ν`(1, 2, 3; 2, 1, 3)」は「(1, 2, 3)」(入力)を「(2, 1, 3)」(出力)に変換する装置と
　　思えば考えやすい．/*「(3, 2, 1)」(入力)は「(3, 1, 2)」(出力)に変換される*/
`▲背景色・フォントはオプション（コピーすると「plain text」に戻る）

%62PBS1:〔問2.11〕(162)
`▼
(0)「`S(P_{6})」と「`S_{4}」が同型であることを示せ．
(1)立方体の置き換えの群「`S(P_{6})」は“入れ替え”の群，対称群「`S_{4}」は“変換”の群
　 であることに注意しましょう．〔p.162〕
(2)立方体の頂点「1, 2, 3, 4」が置き換え後に「3, 1, 4, 2」になります．〔pp.162-163〕
`▲
 
%626:〔§2.6〕(153)/*対称群「S(_N)」*/での追加

`▼
%62TI:〔定理2.18〕(164)/*置換は互換の積*/
%62TJ:〔定理2.19〕(166)/*対称群の生成元*/
%6TK:〔定理2.20〕(167)/*置換の奇偶性*/
%62TL:〔定理2.21〕(171)/*交代群*/
%62TM:〔定理2.22〕(171)/*交代群と対称群*/
%62TN:〔定理2.23〕(172)/*交代群と対称群*/
%62TO:〔定理2.24〕(173)/*交代群と対称群*/
`▲

%62TI:〔定理2.18〕(164)/*置換は互換の積*/
`▼
(0)「N次」の対称群「`S_{N}」の元は互換の積で表される．
(1)「ν`(1, 2, 3, 4, 5, 6; 4, 6, 5, 3, 1, 2)」は〔pp.164-165〕の図の
　「ア」＝「ν`(1, 2)・ν`(2, 3)・ν`(3, 4)」/*「上」が「先」*/
　「イ」＝「ν`(2, 3)・ν`(3, 4)・ν`(4, 5)・ν`(5, 6)」
　「ウ」＝「ν`(3, 4)・ν`(4, 5)・ν`(5, 6)」
　「エ」＝「ν`(4, 5)・ν`(5, 6)」
　を順につないでいけばよい
(2)「(1)」の置換は「ν`(1,4)・ν`(1,3)・ν`(1,5)・ν`(1,6)」と簡単化できる．〔p.166〕
`▲原著の図と式が整合していないようです

%62TJ:〔定理2.19〕(166)/*対称群の生成元*/
`▼
(0)「`S_{N}」=「<ν`(1,2), ν`(1,3), …, ν`(1,N)>」
(1)「ν`(i, j) = ν`(1,i)・ν`(1,j)・ν`(1,i)」はプログラマにはおなじみの関数「swap()」の処理
　　/*https://webkaru.net/clang/swap-two-numbers/*/
`▲

%62TK:〔定理2.20〕(167)/*置換の奇偶性*/
`▼
(0)ある置換を互換の積で表すとき，用いる互換の奇偶は決定される．
(1)参考資料
　[1]置換の符号 - Wikipedia
　https://ja.wikipedia.org/wiki/置換の符号
　[2]置換と偶置換・奇置換に関する基礎的なこと 　
　https://mathtrain.jp/permutation
(2)「`S_{3}」を「`Δ(K'/8)」に対応させると「K'」の２進数表示は「_xyz空間」の立方体の
　　頂点に対応する．
(3)２進数表示した頂点間の「ハミング距離」が奇数なら奇置換．
`▲

%62TL:〔定理2.21〕(171)/*交代群*/
`▼
(0)「`S_{N}」の偶置換の集合は群になる．これを「N次」の「交代群」といい，
　 「`A_{N}」で表す．
`▲

%62TM:〔定理2.22〕(171)/*交代群と対称群*/
`▼
(0)「σ」を「`S_{N}」の互換とすると「`S_{N}=`A_{N}∪(σ`A_{N})」，
　 「[`S_{N} : `A_{N}] = 2」/*【[%62T4].[%12]】*/
(1)剰余群「`S_{N} / `A_{N}」は巡回群．
`▲

%62TM1:「3」の平方根の計算の幾何学的説明
`▼
(0)【[%62TPS1](6)】への補足です．/*数十年前の高校生は「数学Ⅰ」で「開平法★」【開平法★】を学習*/
　　/*「`H_{1}」を「`H_{2}」に制限する例としては見当違いでしたが参考までに*/
(1)自然数「M」の平方根を「ρ(M)」，短辺の長さが「a」で長辺の長さが「b」である長方形を「η(a, b)」，
　 長方形「η(1, x)」の対角線の長さを「h`(x)」と略記する．　　
(2)例えば「ρ(3)=h`(ρ(2))」，「ρ(5)=h`(ρ(2))」，「ρ(7)=h`(ρ(25))」．
　　/*求めたい平方根によって考える長方形が変わる*/
(3)「_xy平面」上の4点「{(0, 0), (ρ(2), 0), (0, 1), (ρ(2), 1)}」を頂点とする長方形は「η(1, ρ(2))」と合同．
(4)「(3)」の長方形では「 (ρ(2), 1)」を中心とする半径「1」の円と対角線の交点の座標は
　 「(c * ρ(2), 0)」（c = (ρ(3) - 1) / ρ(3)）と表現できる．/*「c = 1 - 1 /  ρ(3)」*/
(5)「(4)」の長方形「η(c, c * ρ(2))」は「(3)」の長方形と相似だから，対角線の長さも「c倍」．
(6)「(3)」の長方形内にある「η(1, ρ(2))」と相似な長方形の対角線の長さの総和は
「 ρ(3) * (c + c^{2} +  c^{3} +  c^{4} + ・・・) = ρ(3) / (1 - c) = ρ(3) 」
(7)「`H[K'] = η(c^{K'}, c^{K'}*ρ(2))」とおくと，一応「`H_[K'] ⊃ `H_[K' + 1]」
`▲[%1D]では削除
 
%62TM2:文字列の群
`▼
(0)【[%62TQ](2)】の補足として「制御文字★」{'\b', '\n'}を含む文字列の群を考える．
　★https://ja.wikipedia.org/wiki/制御文字
(1)文字列「"xy"」,「"z"」は「"xy"・"z"="xyz"」のような演算「・」によって「半群★」になる．
　★https://ja.wikipedia.org/wiki/半群
(2)「(1)」の群の単位元は空列「””」．/*「"xy"・""=""・"xy"="xy"」*/
(3)「(1)」の文字列「"ab"」の逆元は「”\b\b”」．/*「"ab"\b\b"=""」*/
(4)文字の集合「{’ｖ’, ’w’, ’x’, 'y', 'z'}」を「σ("vwxyz")」と略記する．
`▲廃棄/*[%123]に改訂版*/

 
aa