三角形の「垂心Ｈ」の「ベクトルによる重心座標表現」の公式の「証明」2008.11.07(金）
以下「ベクトル AB」などを (→AB)で表すことにする。すでに、
三角形ＡＢＣの「垂心Ｈ」の「ベクトルによる重心座標表現」の公式を与え、その
なかで、『内積』による表示が基本である」と述べた。公式は以下に述べる[命題1.2]のようである。
三角形ＡＢＣに対して、BC=a，CA＝b ，AB＝c，
x=((→AB)，(→AC)),y=((→BA)，(→BC)),z=((→CA)，(→CB)) ・・・(1.1.1)
とおく。
そのとき、
x＋y＝AB^2＝c^2 ，x＋z＝AC^2＝b^2 ，y＋z＝a^2 ・・・(1.1.2)
が成り立ち、したがって x＋y＋z＝(a^2＋b^2＋c^2)/2 ・・・(1.1.3) でもあった。
また、三角形ABCの面積を S ,2次の正方行列 J(2)を
J(2)＝
( ((→AB)，(→AB)) ((→AB)，(→AC)) )
( ((→AC)，(→AB)) ((→AC)，(→AC)) ）
＝
( c^2 x )
( x b^2 ) とおくと、
detJ(2)＞0 で detJ(2)＝(b^2)(c^2)ーx^2＝(2S)^2＝4(S^2)であった。
そして(1.1.2)から
yz＋xz＋xy=z(x+y)＋xy=(b^2－x)(c^2)＋x(c^2－x)＝(b^2)(c^2)ーx^2＝detJ(2)
すなわち
yz＋xz＋xy＝detJ(2)＝4(S^2) ・・・(1.1.4)であった。
三角形ＡＢＣの「垂心Ｈ」の「ベクトルによる重心座標表現」は次のようである。
「命題1.2」
mは、m≧２を満たす自然数とし、△ABC⊂Ｅ^m (Ｅ^mはm次元ユークリッド空間)とする。
△ABCの「垂心」をHで表わすことにする。そのとき、Ｅ^mの任意の点Ｐにたいして、
(→PH)={1/(4・S^2)}×[yz(→PA)＋xz(→PB)＋xy(→PC)] ・・・(1.2.1)
となる。
ここで
yz＋xz＋xy=4(S^2) ・・・(1.2.2) が
成立するので、(1.2.1)は「ベクトルによる重心座標表現」である。
☆ この[命題1.2]を証明するため、次の[補題1.3]を用意する。
[補題1.3]
(→h)＝(→AH),(→AB)＝(→b) ，(→AC)＝(→c)とおくとき、
点Hが△ABCの「垂心」になる
⇔ ((→h)，(→b))＝((→b)，(→c)) かつ ((→h)，(→c))＝((→b)，(→c)) ・・・(1.3.1)
「証明」
点Hが△ABCの「垂心」になる ⇔((→BH)，(→AC))＝0 かつ((→CH)，(→AB))＝0
⇔((→AH)－(→AB)，(→AC))＝0 かつ((→AH)－(→AC)，(→AB))＝0
⇔((→AH)，(→AC))＝((→AB)，(→AC)) かつ ((→AH)，(→AB))＝((→AB)，(→AC))
⇔((→h)，(→b))＝((→b)，(→c)) かつ ((→h)，(→c))＝((→b)，(→c))
（証明終わり）
それでは、
「命題1.2」の証明に移ろう
「「命題1.2」の証明」
(→AB)＝(→b)，(→AC)＝(→c)は一次独立であるから、
(→h)＝β(→b)＋γ(→c) ・・・(1.2.3)と一意的に書ける。また
(→PH)=λ(→PA)＋μ(→PB)＋ν(→PC) ・・・(1.2.4) ただし、λ＋μ＋ν＝1 ・・・(1.2.5)
とする。「ベクトルによる重心座標表現」の意味から β＝μ ，γ＝ν となる。
(1.2.3)を[補題1.3]の(1.3.1)式に代入して、
(β(→b)＋γ(→c)，(→b))＝((→b)，(→c)) かつ
(β(→b)＋γ(→c)，(→c))＝((→b)，(→c)) よって
((→b)，(→b))β＋((→b)，(→c))γ＝((→b)，(→c)) かつ
((→b)，(→c))β＋((→c)，(→c))γ＝((→b)，(→c))
すなわち
( ((→b)，(→b))，((→b)，(→c)) ）(β)
( ((→c)，(→b))，((→c)，(→c)) ）(γ)
＝( ((→b)，(→c)) ）
( ((→b)，(→c)) ） ・・・(1.2.6)
J(2)＝
( ((→b)，(→b))，((→b)，(→c)) ）
( ((→c)，(→b))，((→c)，(→c)) ）・・・(1.2.7) だから、(1.2.6)は
J(2)( β γ )^t ＝( ((→b)，(→c)) ((→b)，(→c)) )^t ・・・(1.2.8)
となる。 ここに ( β γ )^t は ( β γ )の「転置行列」を表すものとする。
(→b)，(→c)は一次独立であるから、detJ(2)>0 よって Cramer(クラメール)の公式から
β ，γは一意的に求まり。
detJ(2)β＝
|((→b)，(→c)) ((→b)，(→c))|
|((→b)，(→c)) ((→c)，(→c))|
＝
|((→b)，(→c)) 0 |
|((→b)，(→c)) ((→c)－(→b)，(→c))|
＝((→b)，(→c))・((→c)－(→b)，(→c))
＝((→AB)，(→AC))・((→BC)，(→AC))
＝((→AB)，(→AC))・((→CA)，(→CB))
＝xz ( 何故なら(1.1.1) ）
同様に
detJ(2)γ＝
|((→b)，(→b)) ((→b)，(→c))|
|((→b)，(→c)) ((→b)，(→c))|
＝
|((→b)，(→b)－(→c)) ((→b)，(→c))|
| 0 ((→b)，(→c))|
＝((→b)，(→c))・((→b)，(→b)－(→c))
＝((→AB)，(→AC))・((→AB)，(→CB))
＝((→AB)，(→AC))・((→BA)，(→BC))
＝xy ( 何故なら(1.1.1) ）
よって β＝(xz)/{detJ(2)} ，γ＝(xy)/{detJ(2)} ・・・(1.2.9)
これを(1.2.3)に代入して
(→h)＝β(→b)＋γ(→c)＝[xz(→b)＋xy(→c)]/{detJ(2)}
すなわち、
(→AH)＝[xz(→AB)＋xy(→AC)]/{detJ(2)} ・・・(1.2.10)
ゆえに
(→PH)＝[1－(xz＋xy)/{detJ(2)}](→PA)＋1/{detJ(2)}[xz(→PB)＋xy(→PC)]
＝1/{detJ(2)}[detJ(2)－(xz＋xy)](→PA)＋1/{detJ(2)}[xz(→PB)＋xy(→PC)]
＝1/{detJ(2)}(yz)(→PA)＋1/{detJ(2)}[xz(→PB)＋xy(→PC)]
＝1/{detJ(2)}[yz(→PA)＋xz(→PB)＋xy(→PC)]
すなわち 、
(→PH)＝1/{detJ(2)}[yz(→PA)＋xz(→PB)＋xy(→PC)]
＝1/{4(S^2)}[yz(→PA)＋xz(→PB)＋xy(→PC)]
よって 証明された。
（証明終わり）
なお、この前回に記した
「九点円」の中心を「N」とすると、Nは「外心Ｏ」と「垂心H」の「中点」で、
「外心Ｏ」、「垂心H」の「ベクトルによる重心座標表現」はそれぞれ、
(→PＯ)＝1/{2detJ(2)}[(y＋z)x(→PA)＋(x＋z)y(→PB)＋(x＋y)z(→PC)] ・・・(2.1.1)
(→PH)＝1/{detJ(2)}[yz(→PA)＋xz(→PB)＋xy(→PC)] ・・・(2.1.2)
だから
(→PN)＝1/{4detJ(2)}[{(y＋z)x＋2yz}(→PA)＋{(x＋z)y＋2xz}(→PB)＋{(x＋y)z＋2xy}(→PC)]
(→PN)＝1/{4detJ(2)}[(2yz＋xz＋xy)(→PA)＋(yz＋2xz＋xy)(→PA)＋(yz＋xz＋2xy)(→PC)]
・・・(2.1.3)
(→PN)＝1/{4detJ(2)}[(detJ(2)+yz)(→PA)＋((detJ(2)＋xz)(→PA)＋((detJ(2)＋xy)(→PC)]
＝1/4[(→PA)＋(→PB)＋(→PC)]＋1/4[yz(→PA)＋xz(→PA)＋xy(→PC)] ・・・(2.1.4)
＝(3/4)(→PG)＋(1/4)(→PH)
＝1/4[3(→PG)＋(→PH)] ・・・(2.1.5) ここに 点Gは△ABCの「重心」としている。
☆ すなわち「九点円の中心N」は、「重心G」，「垂心H」としたとき、
「線分GHを１：3に内分する点」になる。
このことは、「オイラー線の関係・・・OG：GH＝1:2」と「九点円の中心N」が
「外心Ｏ」と「垂心H」の中点であることから当然のことである。
「九点円」についてはまたいつか話をしたい。