算額（その571）

算額（その571）

群馬の算額 19-7 榛名神社 文化8年
http://takasakiwasan.web.fc2.com/gunnsann/g019-7.html

正三角形の中に円弧を描き，大円 1 個と黒円 2 個を入れる。正三角形の長さが 10 寸のとき，最小になる黒円の直径を求めよ。

黒円の直径が最小になるのは，弧が正三角形の頂点で接するときである。
正三角形の一辺の長さを 2a とする。
弧の半径と中心座標を R, (0, 0)
大円の半径と中心座標を r1, (0, R + r1)
黒円の半径と中心座標を r2, (x2, y2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

まず R を求める。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms r1::positive, r2::positive, x2::positive, y2::positive,
     R::positive, y::positive, a::positive
eq0 = R^2 + 4a^2 - (sqrt(R^2 - a^2) + sqrt(Sym(3))a)^2
R = solve(eq0, R)  # 10/sqrt(Sym(3))
R |> println

   Sym[2*sqrt(3)*a/3]

次いで，R を既知として残りのパラメータを求める。

@syms r1::positive, r2::positive, x2::positive, y2::positive,
     R::positive, y::positive, a::positive
R = 2a/sqrt(Sym(3))
eq1 = x2^2 + (R + r1 - y2)^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = x2^2 + y2^2 - (R + r2)^2
eq3 = r1/(y + sqrt(Sym(3))a - (R + r1)) - 1//2
eq4 = a^2 + y^2 - R^2
eq5 = 2a*r1 + (R + r1 - y)a - sqrt(Sym(3))a^2
eq6 = (sqrt(Sym(3))a*x2 + a*(y2 - y) + 2a*r2) - sqrt(Sym(3))a^2;
eq7 = distance(0, y + sqrt(Sym(3))a, a, y, x2, y2) - r2^2
eq8 = distance(0, y + sqrt(Sym(3))a, a, y, 0, R + r1) - r1^2

res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq6], (r1, r2, x2, y2, y))

   1-element Vector{NTuple{5, Sym}}:
    (2*sqrt(3)*a/9, a*(-3 + 2*sqrt(3))/3, a*(-6 + 5*sqrt(3))/6, a*(-1/2 + sqrt(3)), sqrt(3)*a/3)

黒円の半径は a * (2√3 - 3)/3 である。黒円の直径は正三角形の一辺の長さの (2√3 - 3)/3 倍である。
正三角形の一辺の長さが 10 寸のとき，1.5470053837925146 寸である。

10 * (2√3 - 3)/3

   1.5470053837925146

その他のパラメータは以下の通り。

   黒円の直径 = 1.54701;  R = 5.7735;  r1 = 1.9245;  r2 = 0.773503;  x2 = 2.21688;  y2 = 6.16025;  R = 5.7735;  y = 2.88675

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   a = 10//2
   R = 2a/sqrt(Sym(3))
   (r1, r2, x2, y2, y) = a .* (2√3/9, (2√3 - 3)/3, (5√3 - 6)/6, √3 - 1/2, √3/3)
   @printf("黒円の直径 = %g;  R = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  x2 = %g;  y2 = %g;  R = %g;  y = %g\n", 2r2, R, r1, r2, x2, y2, R, y)
   plot([a, 0, -a, a], y .+ [0, √3a, 0, 0], color=:blue, lw=0.5)
   circle(0, 0, R, beginangle=0, endangle=180)
   circle(0, R + r1, r1, :magenta)
   circle(x2, y2, r2, :green)
   circle(-x2, y2, r2, :green)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       point(0, R, " R", :red, :left, :top, delta=-delta)
       point(0, y, " y", :blue, :left, :top, delta=-delta)
       point(0, R + r1, " 大円:r1\n (0,R+r1)")
       point(0, y + √3a, " y+√3a", :blue, :left, :vcenter)
       point(x2, y2, " 黒円:r2,(x2,y2)", :black, :left, :vcenter)
       point(a, y, "(a,y)", :blue, :right, :top, delta=-delta/2)
       point(0, 0, " 弧:R,(0,0)", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;