算額（その1278）

算額（その1278）

百四十八 群馬県安中市磯部 赤城神社 昭和52年(1977) 復元
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円3個，正方形

正方形の中に，甲円 1 個，乙円 2 個を容れる。正方形の一辺の長さが 10 寸，甲円の直径が 7.5 寸のとき，乙円の直径はいかほどか。

正方形の一辺の長さを a
甲円の半径と中心座標を r1, (r1, r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (a - r2, y), (y, a - r2)
とおき，以下の方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, r1::positive, r2::positive, y::positive;
eq1 = (a - r2 - r1)^2 + (y - r1)^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = (y - (a - r2)) + √Sym(2)*r2
res = solve([eq1, eq2], (r2, y))[2]

   (-a + sqrt(2)*a + (1 - sqrt(2))*(sqrt(2)*sqrt(a)*sqrt(r1)*sqrt(sqrt(2) + 2)/(1 + sqrt(2)) - sqrt(2)*a + a + r1), sqrt(2)*sqrt(a)*sqrt(r1)*sqrt(sqrt(2) + 2)/(1 + sqrt(2)) - sqrt(2)*a + a + r1)

手動で簡約化すると以下のようになる。
正方形の一辺の長さが 10 寸，甲円の直径が 7.5 寸のとき，乙円の直径は 2*1.5590435749682972 = 3.1180871499365943 寸である。

a = 10
r1 = 7.5/2
t = sqrt(a*r1*(√2+2))
r2 = (2 - √2)a - (3√2 - 4)t - (√2 - 1)r1
y  = (2 - √2)t - (√2 - 1)a + r1
(r2, y)

   (1.5590435749682972, 6.236135856980884)

すべてのパラメータは以下のとおりである。

   a = 10;  r1 = 3.75;  r2 = 1.55904;  y = 6.23614

function draw(a, r1, more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   t = sqrt(a*r1*(√2+2))
   r2 = (2 - √2)a - (3√2 - 4)t - (√2 - 1)r1
   y  = (2 - √2)t - (√2 - 1)a + r1
   @printf("正方形の一辺の長さが %g，甲円の直径が %g のとき，乙円の直径は %g である。\n", a, 2r1, 2r2)
   @printf("a = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  y = %g\n", a, r1, r2, y)
   plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, a, a, 0], color=:green, lw=0.5)
   circle(r1, r1, r1) 
   circle(a - r2, y, r2, :blue)
   circle(y, a - r2, r2, :blue)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(r1, r1, "甲円:r1,(r1,r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(a - r2, y, "乙円:r2,(a-r2,y)", :blue, :center, delta=-delta/2)
       point(y, a - r2, "乙円:r2,(y,a-r2)", :blue, :center, delta=-delta/2)
       point(a, a, "(a,a)", :green, :right, :bottom, delta=delta/2)
   end

end;

draw(10, 7.5/2, true)