算額（その1058）

算額（その1058）

九十四 大船渡市立根町 五葉神社 文政5年(1822)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

正方形の中に正三角形と大円，小円を容れる。小円の直径が 1 寸のとき，大円の直径はいかほどか。

正方形の一辺の長さを a
正方形の辺上にある正三角形の頂点の座標を (0, b), (b, 0)
大円の半径と中心座標を r1, (r1, r1)
小円の半径と中心座標を r2, (a - r2, r2), (r2, a - r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, b::positive, r1::positive, r2::positive
eq1 = a + (a - b) - sqrt(a^2 + (a - b)^2) - 2r2
eq2 = 2b - sqrt(Sym(2))b - 2r1
eq3 = a^2 + (a - b)^2 - 2b^2;
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r1, a, b))[1]

   (2*r2/((-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)), r2*(sqrt(2) + 2 + sqrt(12*sqrt(2) + 18))/((-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)), 2*r2*(sqrt(2) + 2)/((-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)))

@syms d
ans_r2 = res[1]/r2
ans_r2 = apart(ans_r2, d) |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> (x -> x*r2)
ans_r2 |> println

   r2*(-sqrt(6) - 2 + 2*sqrt(2) + 2*sqrt(3))

大円の半径 r1 は，小円の半径 r2 の (2(√2 + √3 - 1) - √6) = 1.8430389971007672 倍である。
小円の直径が 1 寸のとき，大円の直径は 1.8430389971007672 寸である。

2(√2 + √3 - 1) - √6

   1.8430389971007672

その他のパラメータは以下のとおりである。
   正三角形の一辺の長さは 4.44949
   r2 = 0.5;  r1 = 0.921519;  a = 4.29788;  b = 3.14626

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r2 = 1/2
   (r1, a, b) = (2*r2/((-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)), r2*(sqrt(2) + 2 + sqrt(12*sqrt(2) + 18))/((-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)), 2*r2*(sqrt(2) + 2)/((-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)))
   @printf("小円の直径が %g のとき，大円の直径は %g である。\n", 2r2, 2r1)
   @printf("正三角形の一辺の長さは %g\n", √2b)
   @printf("r2 = %g;  r1 = %g;  a = %g;  b = %g\n", r2, r1, a, b)
   plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, a, a, 0], color=:blue, lw=0.5)
   plot!([b, a, 0, b], [0, a, b, 0], color=:orange, lw=0.5)
   circle(r1, r1, r1)
   circle(a - r2, r2, r2, :green)
   circle(r2, a - r2, r2, :green)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a, 0, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, a, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(r1, r1, "大円:r1,(r1,r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(a - r2, r2, "小円:r2\n(a-r2,r2)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(r2, a - r2, "小円:r2\n(r2,a-r2)", :green, :center, delta=-delta/2)
   end
end;