算額（その525）

算額（その525）

和算図形問題あれこれ - 令和4年7月の問題-No.1
https://gunmawasan.web.fc2.com/kongetu-no-mondai.html

正方形内に甲円，乙円，丙円が入っている。甲円の直径が 1 寸のとき，乙円の直径はいくらか。

正方形の一辺の長さを 2a とする。
甲円の半径と中心座標を r1, (a - r1, a - r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (a - r2, r2)
丙円の半径と中心座標を r3, (0, 0)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms r1::positive, r2::positive, r3::positive, a::positive;

eq1 = 2(a - r1)^2 - (r3 + r1)^2
eq2 = (a - r2)^2 + r2^2 - (r3 + r2)^2
eq3 = (r1 - r2)^2 + (a - r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r2, r3, a))

   3-element Vector{Tuple{Sym, Sym, Sym}}:
    (r1*(-4*sqrt(2) + 5*sqrt(385 - 272*sqrt(2)) + 4*sqrt(770 - 544*sqrt(2)) + 13)/2, r1*(-392*sqrt(2) - 17*sqrt(385 - 272*sqrt(2)) + 16*sqrt(770 - 544*sqrt(2)) + 545)/(-17 + sqrt(385 - 272*sqrt(2)) + 8*sqrt(2)), r1*(-4*sqrt(2) - sqrt(385 - 272*sqrt(2))/2 + 17/2))
    (r1*(-4*sqrt(2) - 4*sqrt(770 - 544*sqrt(2)) - 5*sqrt(385 - 272*sqrt(2)) + 13)/2, r1*(-545 - 17*sqrt(385 - 272*sqrt(2)) + 16*sqrt(770 - 544*sqrt(2)) + 392*sqrt(2))/(-8*sqrt(2) + sqrt(385 - 272*sqrt(2)) + 17), r1*(-4*sqrt(2) + sqrt(385 - 272*sqrt(2))/2 + 17/2))
    (r1*(-4*sqrt(544*sqrt(2) + 770) + 4*sqrt(2) + 13 + 5*sqrt(272*sqrt(2) + 385))/2, r1*(-392*sqrt(2) - 545 + 17*sqrt(272*sqrt(2) + 385) + 16*sqrt(544*sqrt(2) + 770))/(-sqrt(272*sqrt(2) + 385) + 8*sqrt(2) + 17), r1*(-sqrt(272*sqrt(2) + 385)/2 + 4*sqrt(2) + 17/2))

3 組の解が得られるが，2 番目の解が適解である。

半径が 0.5 のとき，乙円の直径は 0.5*(-4√2 - 4sqrt(770 - 544√2) - 5sqrt(385 - 272√2) + 13)　≒ 0.5925393615845476 である。

r1 = 1/2
r1*(-4*sqrt(2) - 4*sqrt(770 - 544*sqrt(2)) - 5*sqrt(385 - 272*sqrt(2)) + 13)

   0.5925393615845476

   r1 = 0.5;  r2 = 0.29627;  r3 = 1.0076;  a = 1.56604
   乙円の直径 = 0.592539

function draw(more=false)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r1 = 1//2
   (r2, r3, a) = (r1*(-4*sqrt(2) - 4*sqrt(770 - 544*sqrt(2)) - 5*sqrt(385 - 272*sqrt(2)) + 13)/2, r1*(-545 - 17*sqrt(385 - 272*sqrt(2)) + 16*sqrt(770 - 544*sqrt(2)) + 392*sqrt(2))/(-8*sqrt(2) + sqrt(385 - 272*sqrt(2)) + 17), r1*(-4*sqrt(2) + sqrt(385 - 272*sqrt(2))/2 + 17/2))
   @printf("r1 = %g;  r2 = %g;  r3 = %g;  a = %g\n", r1, r2, r3, a)
   @printf("乙円の直径 = %g\n", 2r2)
   plot([a, a, -a, -a, a], [-a, a, a, -a, -a], color=:black, lw=0.5)
   circle(0, 0, r3)
   circle4(a - r1, a - r1, r1, :magenta)
   circle4(a - r2, r2, r2, :blue)
   circle4(r2, a - r2, r2, :blue)
    if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       point(a - r1, a - r1, "甲円:r1,(a-r1,a-r1)", :magenta, :center, :top, delta=-delta/2)
       point(a - r2, r2, "乙円:r2,(a-r2,r2) ", :blue, :right, :vcenter)
       point(r3, 0, "r3 ", :red, :right, :bottom, delta=delta/4)
       point(a, 0, "a ", :black, :right, :bottom, delta=delta/4)
    end
end;