593 アニメ：連続したジュリィア集合画像(その2)

前回の記事592では、ジュリィア集合画像の全体画像を示した。
今回は其の全体画像の中のジュリィア集合部分 (即ち、前回の画像の黄色の部分=発散しない部分) のみの部分の動画を示す。

移動させる Zc の位置の前回と同じ下図の赤線分の箇所である。




その動画結果が右の動画である →　50等分した場合の動画


前回同様に50等分された Zc は、マンデルブロ集合の上の「こぶ」の右端を画面から見て下から上へと変化している。その場合の動画であるが、ジュリィア集合部分の「ら線」が反時計方向に回転している様子が見てとれる。

選択された Zc は単純な線分だから、ジュリィア集合部分が見えたり見えなかったりしている。もし、Zcが真のマンデルブロ集合の縁(ふち)に忠実に沿って変化していったら、ジュリィア集合部分を、もっと鮮明な変化として見ることができるだろう。

下図は、前回に示した私のお気に入りのジュリニア集合画像で、Re.Zc=-0.62,Im.Zc=-0.68の画像である。



----------------------------
参考：下図は上図のジュリィア集合画像の全体画像である。

592 アニメ：連続したジュリィア集合画像(その1)

記事366において、点列：Z←Z+Zcにおいて、Zcを下図の線分を6等分したときの各点を、黒、青、赤、橙、緑、青で示したとき、それらのZcで生成されるジュリィア集合全体画像を次図に示した。





上図において黄色の部分がジュリィア集合部分である。

さて上図では線分を6等分した場合であったが、これを50等分し、それらのジュリィア集合画像を求めアニメ化したら、どのように見えるだろうか？
下図が其の50等分部分を赤線で示しており、それらの座標位置は6等分の場合と同じである。



その動画結果が右の動画である →　50等分した場合の動画

黄色に見える部分がジュリィア集合部分である。50等分されたZcは、マンデルブロ集合の上の「こぶ」の右端を画面から見て下から上へと変化している。その場合の動画であるが、ジュリィア集合部分の「ら線」が反時計方向に回転している様子が見てとれる。

選択されたCは単純な直線部分だから、黄色の部分(ジュリィア集合部分)が見えたり見えなかったりしている。もし、Zcが真のマンデルブロ集合の縁(ふち)に忠実に沿って変化していったら、黄色の部分(ジュリィア集合部分)を、もっと鮮明な変化として見ることができるだろう。

下図は私のお気に入りのジュリニア集合画像で、Re.Zc=-0.62,Im.Zc=-0.68の画像である。



なお上図の中の拡大部分の画像については、記事371を参照。

591 アニメ：マンデルブロ画像での分岐の成長の不思議さ

先ず分岐の静止画像を示す。
この画像の解説は記事583を参照。

・1-11-3-5-1 画像



・1-11-3-5-2 画像



・1-11-3-5-3 画像



・1-11-3-5-4 画像



・1-11-3-5-5 画像



・1-11-3-5-6 画像



-------------------------------------
次に上記画像における白黒模様の分岐の「成長」の変容のアニメを示す。
このアニメの解説は記事584を参照。

・1-11-3-5-1 画像での変容→　1-11-3-5-1

・1-11-3-5-2 画像での変容→　1-11-3-5-2

・1-11-3-5-3 画像での変容→　1-11-3-5-3

・1-11-3-5-4 画像での変容→　1-11-3-5-4

・1-11-3-5-5 画像での変容→　1-11-3-5-5

・1-11-3-5-6 画像での変容→　1-11-3-5-6

----------------------------------------------------------------------

これらの変容で、1-11-3-5-6画像を除いて、共通に言えることは下記のことである。

・赤黒縞模様の本体は画面上部から発生し・・・即ち其の部分がN-loopを早く脱出し・・・其の本体は、ほぼ同時に2本に分岐し相互に「ら線」状に「からまって」いく。この2本の分岐の「本流」は同一源で他の部位から派生したものではない。

・2本の分岐は互いに同一の早さで「ら線」状に「からまって」いく。即ち、N-loop脱出の早さは互いに同一である。その「ら線」は全ての画像で反時計方向に成長していく。その様態はエッシャー絵を連想させる。

・本体部及び分岐部の「成長」の早さは連続的・・・但しリニアではない・・・であり、断続していない。

・本体部が「成長」していく途中で、赤黒縞模様部の内側部の境界線は、マンデルブロ集合の境界線に、よく似た形状が見られる。しかし本体部の「成長」が進むにつれて、その形状はマンデルブロ集合の境界線とは似ても似つかぬ形状へと変化していく。

・赤黒縞模様の本体は2本に分岐し「ら線」状に「からまり」、一点へと収斂していく。その2本の分岐の赤黒の各節目から更に分岐が派生していくが、それらの分岐は2箇所(緑の箇所)へと収斂していく。

・いずれにしても、以上の赤黒縞模様部の「成長」・・・換言すれば、Noの変容はスムーズで、秩序だっており非線形性は見られない。(動画が時々飛ぶのはコマ送りの不適合さのためで本来の画像はスムーズに変化している。)

いずれにせよ、マンデルブロ画像の不思議さを痛感させられる画像であり動画である。
------------------------------------------------------------
これらの画像での座標範囲:Dを、以下に順に示していく。先ず元々のマンデルブロから始まり、その中の部分を順次拡大していく。但し、画像の色は適宜変えているが、画像の形態には無関係だと思ってよい。






＜





上図の1-11-3-5-1～1-11-3-5-6 が上に示した動画の表示範囲である。

590 アニメ：Z^2マンデルブロ点列における、Z0,Z10～Z15の軌跡の変容(その4)

前記事589では、点列の初期値:Z0を点(-1,0)・・・・これは、マンデルブロ集合画像を左側に倒れた「雪ダルマ」に見たてたときの頭部の、ほぼ中心点・・・の周りを一定値 (半径:R=0.26の円) に変化させていったきの点Z10～Z15 の挙動を調べた。今回は、Z0の其の半径:Rを、R=0.085→0.69 に連続的に変えていった場合のZ10～Z15の挙動をアニメ化したものである。

そのアニメ画像は→　Z10～Z15の軌跡の変容

前回同様に、画像の中のマンデルブロ集合の縁部分(灰色)の座標と点列の座標は一致させている。

上のアニメ画像を見れば分かるように、R(=Z0)が小さい場合は、点が 2 つのグループに分かれている。

左側のグループは、Z0(黒),Z10(青),Z12(橙),Z14(水)
右側のグループは、　　　 Z11(赤),Z13(緑),Z15(茶)

ところが、R(=Z0)が、マンデルブロの縁(ふち)に接近するにつれて、Z10～Z15の挙動は複雑に変化している。

R(=Z0)が其の縁を離れるに従い、その複雑さ消え・・・というより、Z10～Z15の値が大きくなり表示画面の外へ出てしまい、それらの挙動が見えなくなってしまう・・・Z10～Z15の、いわば乱舞が始まる。

実は、其の乱舞は、R(=Z0)が、マンデルブロ集合の縁部分(灰色)より内側、即ち、マンデルブロ集合部に入り込むと始まるのだ。

もっと正確に言うと、その乱舞が表示画面で見えるのは、R(=Z0)がマンデルブロ集合に在るときなのだ。

***

画像に示した、マンデルブロ集合の縁(ふち)部分(灰色)は近似的なもので真の縁より外側にある。

もし、Z0を真の縁にそって移動させていったら、Z10～Z15 挙動はどのような形態を示すだろうか。

カオス状態となることが予想されるが、その画像自体は、どのようになるだろうか？

いずれにしても、マンデルブロ画像は神秘性は底が知れない!!

***
以下、参考のために此のアニメ作成のBASIC/95のプログラムを下記しておく。
行270でJ=20→163にして144枚の画像を作り21秒で再生させた。

10 REM 点列の座標の中心をマンデルブロ集合の頭部の中心へ移動させたとき。R可変の場合。
11 REM 行391 N2=0→100 101枚
20 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\COLOR右上表示.BAS",60,ALL
60 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\KOSHIKI.BAS",90,ALL
90 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\ER1.BAS",100,ALL
100 ON ERROR GOTO 50000
110 CONSOLE ,,0,1
120 COLOR 0,7,,,2
130 CLS 3
140 GOSUB 10000
150 GOSUB 3000
160 JMAX=240:KMAX=5000:RMAX=1.36:X0=-1:Y0=0
170 DR=RMAX/JMAX:DTH=2*P/KMAX:AA=JMAX/RMAX:NMAX=15
180 CXS=-1.5:D=1.36/320:CYS=-240*D:DTHDO=180*DTH/P
190 K00=(-1-CXS)/D:J00=(0-CYS)/D:PSET(K00,J00),1
200 K0=(-0.14-CXS)/D:J0=(0-CYS)/D:PSET(K0,J0),2
210 OPEN "C:\BASIC1\RUN\DATAマンデルC.DAT" FOR INPUT AS #1
220 IF EOF(1) THEN 260
230 INPUT #1,X,Y
240 PSET (X,Y),15
250 GOTO 220
260 CLOSE #1
270 J=20
280 R=J*DR
290 LOCATE 0,0:PRINT "点Z0の移動円の中心点をマンデルブロ集合の頭部の中心へ"
300 LOCATE 0,1:PRINT "移動させた時の点列:Z0,Z10～Z15の軌跡"
310 LOCATE 50,22:PRINT "マンデルブロ集合の重心点=(-0.14,0)"
320 LOCATE 50,21:PRINT "点列画像の中心点=(-1,0)"
330 LOCATE 70,3:PRINT "Z0→黒"
340 LOCATE 70,5:PRINT "Z10→青"
350 LOCATE 70,6:PRINT "Z11→赤"
360 LOCATE 70,7:PRINT "Z12→橙"
370 LOCATE 70,8:PRINT "Z13→緑"
380 LOCATE 70,9:PRINT "Z14→水"
390 LOCATE 70,10:PRINT "Z15→茶"
400 FOR K=0 TO KMAX
410 TH=K*DTH:THH=TH
420 CX=R*COS(TH)+X0
430 CY=R*SIN(TH)+Y0
440 X=0:Y=0
450 FOR N=0 TO NMAX
460 X1=X
470 X=FNR2(X,Y)+CX
480 Y=FNI2(X1,Y)+CY
490 IF N>0 AND N<10 THEN 550
510 K1=(X-CXS)/D:J1=(Y-CYS)/D
520 IF K1<0 OR J1<0 THEN 600
530 IF K1>640 OR J1>480 THEN 600
540 GOSUB 620
560 PSET (K1,J1),C
580 NEXT N
600 NEXT K
610 END
620 REM Z0,Z10～Z15の色の決定
630 IF N=0 THEN C=0
640 IF N=10 THEN C=1
650 IF N=11 THEN C=2
660 IF N=12 THEN C=3
670 IF N=13 THEN C=4
680 IF N=14 THEN C=5
690 IF N=15 THEN C=10
700 RETURN

589 アニメ：Z^2マンデルブロ点列における、Z0,Z10～Z15の軌跡の変容(その3)

前記事587では、点列の初期値:Z0をマンデルブロ画像の重心(-0.4,0)を中心とした円でのZ10～Z15の軌跡の変容を調べた。

今回は、点列の初期値:Z0を、マンデルブロ集合画像の頭部 (即ち、マンデルブロ集合画像を左側に倒れた「雪ダルマ」に
見たてたときの頭の部分) の中心(-1,0)とした円でのZ10～Z15の軌跡の変容を調べる。(下図の1,2番目の画像参照)

円の半径:R=0.26の場合 (即ち、Z0 が此の半径で回転する場合) の、点Z10～Z15 の軌跡は、
この動画→ 点Z10～Z15の軌跡　
のように変化する。

ここで、Z0→黒、Z10→青、Z11→C=赤、Z12→橙、Z13→緑、Z14→水、Z15→茶 としている。

また、前回同様に、画像の中のマンデルブロ集合の縁部分の座標と点列の座標は一致させている。
前回と異なるのは、Z0 の回転の中心を移動させたことだけである。

この動画から分かるように、前回と全く異なることは、点Znが 2 つのグループに分かれてしまうことである。

左側のグループは、Z0(黒),Z10(青),Z12(橙),Z14(水)
右側のグループは、　　　 Z11(赤),Z13(緑),Z15(茶)

となっている。面白いことに Zn の n が偶数と奇数とで順番に別れている。

この性質は実は Z0 の円が或る範囲までは変わらない。これは、巡回計算の過程で或る規則があることを示している。

***

以下の図は、Z0 の大小で、Z10～Z15の軌跡が全く変わってしまうことを示している。

下図のように、Z0が小さい場合は上記した規則が保たれている。



下図はアニメの終了時の画像だが、Z0がマンデルブロ集合画像の頭部の縁(ふち)付近の場合でも上記した規則は保たれているものの軌跡が乱れ始めている。



下図はZ0が大きい場合 (Z0がマンデルブロ集合画像の頭部の縁より大きい場合)。この場合にも上記した規則は基本的に保たれているが軌跡の乱れが大きく混沌としている。



***
このアニメでは点Z0が、マンデルブロ集合の縁部分を通過するときの点列の挙動は明確には分からない。次回は点Z0の半径を徐々に拡大していったときの点列の挙動をアニメで見る予定。

------------------------------------------------------
(参考)アニメ作成のBASIC/95のプログラム
行491のN2を0～100に変えて101枚のコマ画像を作成した。

10 REM 点列の座標の中心をマンデルブロ集合の頭部の中心へ移動させたとき。R固定の場合。
11 REM 行391 N2=0→100 101枚
20 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\COLOR右上表示.BAS",30,ALL
30 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\ARCTAN3.BAS",40,ALL
40 '
50 '
60 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\KOSHIKI.BAS",70,ALL
70 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\ZFZ.BAS",80,ALL
80 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\FGZ.BAS",90,ALL
90 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\ER1.BAS",100,ALL
100 ON ERROR GOTO 50000
110 CONSOLE ,,0,1
120 COLOR 0,7,,,2
130 CLS 3
140 GOSUB 10000
150 GOSUB 3000
160 JMAX=240:KMAX=5000:RMAX=1.36:X0=-1:Y0=0
170 DR=RMAX/JMAX:DTH=2*P/KMAX:AA=JMAX/RMAX:NMAX=15
180 CXS=-1.5:D=1.36/320:CYS=-240*D:DTHDO=180*DTH/P
190 K00=(-1-CXS)/D:J00=(0-CYS)/D:PSET(K00,J00),1
200 K0=(-0.14-CXS)/D:J0=(0-CYS)/D:PSET(K0,J0),2
210 OPEN "C:\BASIC1\RUN\DATAマンデルC.DAT" FOR  INPUT AS #1
220 IF EOF(1) THEN 260
230 INPUT #1,X,Y
240 PSET (X,Y),15
250 GOTO 220
260 CLOSE #1
270 J=46
280 R=J*DR
281 '
290 LOCATE 0,0:PRINT "点列の座標の中心点をマンデルブロ集合の頭部の中心へ"
300 LOCATE 0,1:PRINT "移動させた時の点列:Z0,Z10～Z15の軌跡"
310 LOCATE 0,22:PRINT "マンデルブロ集合の重心点=(-0.14,0)"
320 LOCATE 0,21:PRINT "点列画像の中心点=(-1,0)"
330 LOCATE 70,3:PRINT "Z0→黒"
340 LOCATE 70,5:PRINT "Z10→青"
350 LOCATE 70,6:PRINT "Z11→赤"
360 LOCATE 70,7:PRINT "Z12→橙"
370 LOCATE 70,8:PRINT "Z13→緑"
380 LOCATE 70,9:PRINT "Z14→水"
390 LOCATE 70,10:PRINT "Z15→茶"
391 N2=0
400 FOR K=0 TO 50*N2
410 TH=K*DTH:THH=TH
420 CX=R*COS(TH)+X0
430 CY=R*SIN(TH)+Y0
440 X=0:Y=0
450 FOR N=0 TO NMAX
460 X1=X
470 X=FNR2(X,Y)+CX
480 Y=FNI2(X1,Y)+CY
490 IF N>0 AND N500 '
510 K1=(X-CXS)/D:J1=(Y-CYS)/D
520 IF K1530 IF K1>640 OR J1>480 THEN 600
540 GOSUB 620
550 '
560 PSET (K1,J1),C
570 '
580 NEXT N
590 '
600 NEXT K
610 END
620 REM Z0,Z10～Z15の色の決定
630 IF N=0 THEN C=0
640 IF N=10 THEN C=1
650 IF N=11 THEN C=2
660 IF N=12 THEN C=3
670 IF N=13 THEN C=4
680 IF N=14 THEN C=5
690 IF N=15 THEN C=10
700 RETURN

 

 

 

588 アニメ：Z^2マンデルブロ点列における、Z0,Z10～Z15の軌跡の変容(その2)

前回の動画は、初期値Z0を一定にしたときの点列の挙動を示すものであった。

今回の動画は、初期値Z0を変化させていったときの点列の挙動を示すものである。

点Z0(黒い円)の移動がマンデルブロ境界線に近づくにつれて、点Z10～Z15も特有な変化は、ますます増加し、境界線では其の変化は秩序性を失いカオス状態となってくる。

Z0→黒、Z10→青、Z11→C=赤、Z12→橙、Z13→緑、Z14→水、Z15→黄 としている。

点列の動画→Z0,Z10～Z15の軌跡

画像の中のマンデルブロ集合の縁部分の座標と点列の座標は一致させている。

この動画で興味深いのは以下のことだ。

点Z0(黒い円)がマンデルブロ集合内にあるときは、Z10～Z15の軌跡は、Z0に対応して、スムーズな特有な「ら線」を描いていく。その「ら線」はマンデルブロ境界線に接近するにつれて其の大きさが増大していく。

そしてマンデルブロ境界線に一致するとZ10～Z15の軌跡はカオス状態となる。

そしてマンデルブロ境界線を過ぎると軌跡は特有な「乱舞」を開始する。

その「乱舞」が生ずる箇所は、Z0の円がマンデルブロ境界線の「頭部」と交わる箇所だ。

ここで「乱舞」という表現をしたが動画で見ると,Z10～Z15の軌跡の挙動は其の表現どおりに見える。

マンデルブロ画像及び其の点列の不思議さと美しさを感じさせる。

---------------------------------------------------------------------------
以下此の画像の作成について少し詳しく説明する。

(注：この当たりの問題の解析は静止画像について記事307より詳しく行っている。)

記事583で詳説したように、巡回式:Z←Z^2+λは、点列(1)で表される。ここで、λは複素定数。

Z0,Z1,Z2,・・・,Zn,・・・Zmax ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

ここで、Z0=λ とする。

複素平面での表示領域:Dを極座標とする。

極座標での点は、座標の中心点からの距離:Rと角度θで決定される。

ここで、Rとθの変化率を dr,dθとし、パラメータ K,Jを使用して、点Z(θ,R)を下式で与える。

θ=dθ*K ,R=dr*J

ここで表示領域:D内の点λ(=Z0)が与えられたとき、点列(1)はどのような挙動をするのだろうか?　

それを調べるには極座標を用いるのがよい。画像を鮮明にするには、dθ,dRを小さくするのがよいが、画像作成時間との兼ね合いがある。

C.K.クリックオーバー著『コンピューター・カオス・フラクタル』によれば、マンデルブロ集合の重心は(-0.14,0)だそうである。

ここで重心の定義は不明だが、(1)の点列の挙動を調べるとき、その点列座標の中心を此の重心と一致させて調べることにする。

そうすると、点列(1)の挙動は、マンデルブロ集合画像座標と一致させることができ、点列(1)の挙動がマンデルブロ集合及び其の縁(ふち)部分との関連が視覚的に分かることになる。


そこで、点列(1)の座標とマンデルブロ集合画像( 前記事586の画像 )の座標と一致させる。

そして、R=Z0=λとして、θ=0→2π変化させれば、半径R(=Z0)の円における点列(1)が表示できる。

------------------------------------------
ここで上の動画の具体的数値を示しておく。

K=0→5000 従って、dθ=2π/5000=0.00126rad
J=0→240, Rmax=1.36 従って、dR=1.36/240=0.00567
表示画像の中心点=マンデルブロ画像の重心座標値=(-0.14,0)
点列の極座標値はマンデルブロの重心座標値に一致させるように、(-0.14,0)だけ平行移動させている。
従って点列座標値はマンデルブロ集合画像座標値と一致する。

動画でのの始点は、J=60 従って、R=dR*60=0.340
動画でのの終点は、dR*240-0.14=-1.5

N-loopでのNmax=15

点列:Z0,Z11～Z15の挙動が分かり易いようにBASIC/98でのカラーコード:Cを下記にようにする。

Z0→黒(C=0)
Z10→青(C=1)
Z11→赤(C=2)
Z12→橙(C=3)
Z13→緑(C=4)
Z14→青(C=5)
Z15→黄(Z=6)

---------------------------------------------
以下の動画作成のBASIC/98のプログラムを下記しておく。

動画のコマ数を181枚として、行142にて、N1を0から180変化させて181枚の動画のコマ画像を作成し、その181枚のコマを0.2秒で再生させた。

10 REM マンデルブロ画像1
12 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\COLOR右上表示.BAS",50,ALL
50 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\KOSHIKI.BAS",80,ALL
80 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\ER1.BAS",90,ALL
90 ON ERROR GOTO 50000
91 CONSOLE ,,0,1
92 COLOR 0,7,,,2
93 CLS 3
94 GOSUB 10000
100 GOSUB 3000
101 PSET(320,240),2
102 OPEN "C:\BASIC1\RUN\DATAマンデルC.DAT" FOR INPUT AS #2
103 IF EOF(2) THEN 107
104 INPUT #2,X,Y
105 PSET (X,Y),0
106 GOTO 103
107 CLOSE #2
110 OPEN"C:\BASIC1\RUN\DATA.DAT" FOR OUTPUT AS #1
120 JMAX=240:KMAX=5000:RMAX=1.36:X0=-0.14:Y0=0
130 DR=RMAX/JMAX:DTH=2*P/KMAX:AA=JMAX/RMAX:NMAX=15
132 CXS=-1.5:D=1.36/320:CYS=-240*D:DTHDO=180*DTH/P
142 N1=0
150 J=60+N1
160 R=J*DR
170 LOCATE 0,0:PRINT "Z0,Z10,Z11,Z12,Z13,Z14,15の軌跡"
176 LOCATE 0,2:PRINT "Znの色のcolor code No."
183 LOCATE 0,3:PRINT "Z0=0,Z10=1,Z11=2,Z12=3"
184 LOCATE 0,4:PRINT "Z13=4,Z14=5,Z15=6"
190 FOR K=0 TO KMAX
200 TH=K*DTH:THH=TH
206 CX=R*COS(TH)+X0
220 CY=R*SIN(TH)+Y0
221 X=0:Y=0
230 FOR N=0 TO NMAX
240 X1=X
250 X=FNR2(X,Y)+CX
260 Y=FNI2(X1,Y)+CY
270 Q=X^2+Y^2
272 K1=(X-CXS)/D:J1=(Y-CYS)/D
274 IF K1>640 OR J1>480 THEN 390
280 IF N=0 THEN C=0 :GOTO 300
281 IF N=10 THEN C=1:GOTO 300
284 IF N=11 THEN C=2:GOTO 300
286 IF N=12 THEN C=3:GOTO 300
288 IF N=13 THEN C=4:GOTO 300
290 IF N=14 THEN C=5:GOTO 300
292 IF N=15 THEN C=6
300 PSET (K1,J1),C
310 NEXT N
390 NEXT K
400 CLOSE #1
520 END

587 アニメ：Z^2マンデルブロ点列における、Z0,Z10～Z15の軌跡の変容(その1)

下の動画は点列の初期値:Z0を極座標において一定にした場合・・・その軌跡は円となる・・・
点Z10～Z15の挙動である。点Z0(黒い円)の移動につれて、点Z10～Z15も特有な変化をしていく様子が分かる。ここで、

Z0→黒、Z10→青、Z11→C=赤、Z12→橙、Z13→緑、Z14→水、Z15→黄 としている。

点列の動画→Z0,Z10～Z15の軌跡

画像の中のマンデルブロ集合の縁部分の座標と点列の座標は一致させている。

この動画で興味深いのは以下のことだ。

点Z0(黒い円)がマンデルブロ集合内にあるときは、Z10～Z15の軌跡は、Z0に対応して、スムーズな特有な「ら線」を描いていく。

しかし、点Z0がマンデルブロ集合外に出ると、Z10～Z15突然、軌跡が乱れを起こす。

点列の初期値:Z0がマンデルブロ集合内にあるときは、Z10～Z15 は或る規則性がある。
しかし、マンデルブロ集合外にあるときは其の規則性が「破綻」する。

この現象は、点Z0の円の半径を変えていったら、どうなるのだろうか？
また、他の点列ではどうなるだろうか？


注：動画の中のマンデルブロ集合の縁(ふち)は厳密な縁ではなく、其の外側の近似的なものである。

586 極座標表示のマンデルブロ画像についての復習

下図は極座標表示のマンデルブロ画像である。これから此の画像に関連する話題に転ずるので極座標におけるマンデルブロ画像について復習しておく。



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記事583で詳説したように、巡回式:Z←Z^2+Cは、点列(1)で表される。ここで、Cは複素定数。

Z0,Z1,Z2,・・・,Zn,・・・Zmax ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)

ここで、Z0=C とする。

複素平面での表示領域:Dを極座標とする。

極座標での点は、座標の中心点からの距離:Rと角度θで決定される。

ここで、Rとθの変化率を dr,dθとし、パラメータ K,Jを使用して、点Z(θ,R)を下式で与える。

θ=dθ*K ,R=dr*J

ここで表示領域:D内の点C(=Z0)が与えられたとき、点列(1)はどのような挙動をするのだろうか?　

これが、次回以降のテーマであるが、それには極座標を用いるのがよい。

画像を鮮明にするには、dθ,dRを小さくするのがよいが、画像作成時間との兼ね合いがある。

C.K.クリックオーバー著『コンピューター・カオス・フラクタル』によれば、マンデルブロ集合の重心は(-0.14,0)だそうである。

ここで重心の定義は不明だが、(1)の点列の挙動をしらべるとき、その点列座標の中心を此の重心と一致させて調べることにする。

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参考にBASIC/98のプログラムを書いておく。

10 REM マンデルブロ画像　極座標表示
12 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\COLOR右上表示.BAS",50,ALL
50 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\KOSHIKI.BAS",80,ALL
80 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\ER1.BAS",90,ALL
90 ON ERROR GOTO 50000
91 CONSOLE ,,0,1
92 COLOR 0,7,,,2
93 CLS 3
94 GOSUB 10000
104 GOSUB 3000
110 OPEN"C:\BASIC1\TEST\マンデルブロ画像DATA.DAT" FOR OUTPUT AS #1
120 JMAX=240:KMAX=4000:RMAX=1.36:X0=-0.14:Y0=0
130 DR=RMAX/JMAX:DTH=2*P/KMAX:AA=JMAX/RMAX:NMAX=100
132 CXS=-1.5:D=RMAX/320:CYS=-240*D:DTHDO=180*DTH/P
150 FOR J=1 TO 240
160 R=J*DR
190 FOR K=0 TO KMAX
200 TH=K*DTH:THH=TH
210 CX=R*COS(TH)+X0
220 CY=R*SIN(TH)+Y0
221 X=0:Y=0
230 FOR N=0 TO NMAX
240 X1=X
250 X=FNR2(X,Y)+CX
260 Y=FNI2(X1,Y)+CY
270 Q=X^2+Y^2
280 IF Q>4 THEN 320
310 NEXT N
315 GOTO 390
320 REM
322 X=R*COS(TH)+X0:Y=R*SIN(TH)+Y0
324 K1=(X-CXS)/D:J1=(Y-CYS)/D
326 IF K1<0 OR J1<0 THEN 390
328 IF K1>640 OR J1>480 THEN 390
330 C=N MOD 16
332 IF C=7 THEN C=8
334 PSET (K1,J1),C
336 WRITE #1,K1,J1,C
390 NEXT K
394 NEXT J
400 CLOSE
500 PSET(320,240),2
520 END