前記事587では、点列の初期値:Z0をマンデルブロ画像の重心(-0.4,0)を中心とした円でのZ10～Z15の軌跡の変容を調べた。
今回は、点列の初期値:Z0を、マンデルブロ集合画像の頭部 (即ち、マンデルブロ集合画像を左側に倒れた「雪ダルマ」に
見たてたときの頭の部分) の中心(-1,0)とした円でのZ10～Z15の軌跡の変容を調べる。(下図の1,2番目の画像参照)
円の半径:R=0.26の場合 (即ち、Z0 が此の半径で回転する場合) の、点Z10～Z15 の軌跡は、
この動画→ 点Z10～Z15の軌跡
のように変化する。
ここで、Z0→黒、Z10→青、Z11→C=赤、Z12→橙、Z13→緑、Z14→水、Z15→茶 としている。
また、前回同様に、画像の中のマンデルブロ集合の縁部分の座標と点列の座標は一致させている。
前回と異なるのは、Z0 の回転の中心を移動させたことだけである。
この動画から分かるように、前回と全く異なることは、点Znが 2 つのグループに分かれてしまうことである。
左側のグループは、Z0(黒),Z10(青),Z12(橙),Z14(水)
右側のグループは、 Z11(赤),Z13(緑),Z15(茶)
となっている。面白いことに Zn の n が偶数と奇数とで順番に別れている。
この性質は実は Z0 の円が或る範囲までは変わらない。これは、巡回計算の過程で或る規則があることを示している。
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以下の図は、Z0 の大小で、Z10～Z15の軌跡が全く変わってしまうことを示している。
下図のように、Z0が小さい場合は上記した規則が保たれている。
下図はアニメの終了時の画像だが、Z0がマンデルブロ集合画像の頭部の縁(ふち)付近の場合でも上記した規則は保たれているものの軌跡が乱れ始めている。
下図はZ0が大きい場合 (Z0がマンデルブロ集合画像の頭部の縁より大きい場合)。この場合にも上記した規則は基本的に保たれているが軌跡の乱れが大きく混沌としている。
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このアニメでは点Z0が、マンデルブロ集合の縁部分を通過するときの点列の挙動は明確には分からない。次回は点Z0の半径を徐々に拡大していったときの点列の挙動をアニメで見る予定。
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(参考)アニメ作成のBASIC/95のプログラム
行491のN2を0～100に変えて101枚のコマ画像を作成した。
10 REM 点列の座標の中心をマンデルブロ集合の頭部の中心へ移動させたとき。R固定の場合。
11 REM 行391 N2=0→100 101枚
20 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\COLOR右上表示.BAS",30,ALL
30 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\ARCTAN3.BAS",40,ALL
40 '
50 '
60 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\KOSHIKI.BAS",70,ALL
70 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\ZFZ.BAS",80,ALL
80 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\FGZ.BAS",90,ALL
90 CHAIN MERGE "C:\BASIC\PRO\SUBR\ER1.BAS",100,ALL
100 ON ERROR GOTO 50000
110 CONSOLE ,,0,1
120 COLOR 0,7,,,2
130 CLS 3
140 GOSUB 10000
150 GOSUB 3000
160 JMAX=240:KMAX=5000:RMAX=1.36:X0=-1:Y0=0
170 DR=RMAX/JMAX:DTH=2*P/KMAX:AA=JMAX/RMAX:NMAX=15
180 CXS=-1.5:D=1.36/320:CYS=-240*D:DTHDO=180*DTH/P
190 K00=(-1-CXS)/D:J00=(0-CYS)/D:PSET(K00,J00),1
200 K0=(-0.14-CXS)/D:J0=(0-CYS)/D:PSET(K0,J0),2
210 OPEN "C:\BASIC1\RUN\DATAマンデルC.DAT" FOR INPUT AS #1
220 IF EOF(1) THEN 260
230 INPUT #1,X,Y
240 PSET (X,Y),15
250 GOTO 220
260 CLOSE #1
270 J=46
280 R=J*DR
281 '
290 LOCATE 0,0:PRINT "点列の座標の中心点をマンデルブロ集合の頭部の中心へ"
300 LOCATE 0,1:PRINT "移動させた時の点列:Z0,Z10～Z15の軌跡"
310 LOCATE 0,22:PRINT "マンデルブロ集合の重心点=(-0.14,0)"
320 LOCATE 0,21:PRINT "点列画像の中心点=(-1,0)"
330 LOCATE 70,3:PRINT "Z0→黒"
340 LOCATE 70,5:PRINT "Z10→青"
350 LOCATE 70,6:PRINT "Z11→赤"
360 LOCATE 70,7:PRINT "Z12→橙"
370 LOCATE 70,8:PRINT "Z13→緑"
380 LOCATE 70,9:PRINT "Z14→水"
390 LOCATE 70,10:PRINT "Z15→茶"
391 N2=0
400 FOR K=0 TO 50*N2
410 TH=K*DTH:THH=TH
420 CX=R*COS(TH)+X0
430 CY=R*SIN(TH)+Y0
440 X=0:Y=0
450 FOR N=0 TO NMAX
460 X1=X
470 X=FNR2(X,Y)+CX
480 Y=FNI2(X1,Y)+CY
490 IF N>0 AND N500 '
510 K1=(X-CXS)/D:J1=(Y-CYS)/D
520 IF K1530 IF K1>640 OR J1>480 THEN 600
540 GOSUB 620
550 '
560 PSET (K1,J1),C
570 '
580 NEXT N
590 '
600 NEXT K
610 END
620 REM Z0,Z10～Z15の色の決定
630 IF N=0 THEN C=0
640 IF N=10 THEN C=1
650 IF N=11 THEN C=2
660 IF N=12 THEN C=3
670 IF N=13 THEN C=4
680 IF N=14 THEN C=5
690 IF N=15 THEN C=10
700 RETURN
