310 極座標に於ける点列の挙動(その4)Nmax=500,N>Naのみ表示

また少し復習する。

極座標の一点:Z(R,θ)が始点Z0として与えられると次の点列が発生する。
Z0,Z1,Z2,・・・,Zn,・・・,Zmax ・・・・・・・・・・・・・・・(1)
この点列を便宜上{R,θ}と名付ける。
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ここでRを固定して、θ=0→2πまで順次変化させていくと、あるθに対して、点列{R,θ}が発生し、その点列はθによって異なってくる。
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点列{R,θ}のn番目の点Znを、nに対応した色Cn(=n mod 16)で表現すれば、θ=0→2πまで順次変化させると、点列{R,θ}のn番目の点Znは色Cnで変化する。
その変化の様子は前記事309でみてきた。
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R,θは、PC画面で表現するために、PC画面の点(K,J)とするとR,θをそれぞれ、パラメータ、J,Kで以下のように表す。
R=dR*J (J=0～Jmax とすると、dR=Rmax/Jmax)となる。
θ=dθ*K (K=0～Kmax とすると、dθ=2π/Kax)となる。
ここでRmax=1.36、Kmax=640,Jmax=480とする。
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ここで、前記事:m79で、点列{R,θ}が極端に錯綜した画像の一つが、点列{0.62,θ}即ちJ=110の画像であった。点列{R,θ}のn番目の点Znは色Cnで変化するのだが、Nmax=500の画像なので点列(1)が長くなり (即ち、n が多くなり )、その結果、色:Cnの軌跡が多重上描きされていき、点列{R,θm}の挙動が分からなくなっている。
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そこで、この画像において、n が、ある値(Naとする)以下の点列は表示しないようにしてみた。以下が、Nmax=500の場合の画像である。









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上図は点列(1)において、n>=400,499,500のみ点列{R,θ}を表示させた場合の画像であるが、n→大につれて、点列は或る個所へと集中していく様子が分かる。
最終的(n→499,500)には曲線になるが、果たして、これが点列(1)の極限値だろうか?
例えば、Nmax=500→1000にしたら、この曲線はどうなるだろう?
以下の画像はNmax=1000にした画像である。







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上図より、点列(1)は、n=500が極限ではなかった。
下図は、Nmax=500,1000の画像において、それぞれ点列のほぼ最後の点(Znmax)を、Jたびに描いた画像である。この画像の結果から、点列(1)は、この図のように収斂していくと思われる。