記事307,308では、始点Z0を与えるとき極座標(R,θ)を用いて点列{Zn}を求めた。
その際、Rを固定し、J=0→2π変化させたときの点列{Zn}を表示させた。
また、N=0→15として、C=Nとした。即ち、各θでのn番目の点Znの色をCとして点列{Zn}の挙動を直接色で分かるようにした。
***
その結果、次のことが分かった。
1.J=0～60(R=0～0.34)あたりまで点列{Zn}の軌跡(各θでのn番目の点Znの色:Cの軌跡)は、ほぼ半径がRの円を規則的に描き、
しかもCは各θに対して振動している。そういう意味での秩序性がある。
***
2.J=80(R=0.45)あたりになると、ほぼ円であった軌跡が渦巻状に回転し始める。
その程度は色によって異なる。Cの小さい程(nの小さい程)渦巻は小さい。
***
3.さらにJ(R)が大きくなっていくと、その渦巻きの大きさは大きくなっていき規則性も失っていき、
J=140(R=0.79)あたりになると、渦巻も崩れ軌跡が錯乱状態(無秩序状態)になっていく。
***
4その無秩序性は始点Z0が、マンデルブロ集合の境界線で著しい。
***
Rを固定しθを変化させたときの、点列{Zn}の、この挙動は言葉で表現するのは困難であって、画像を見ていくしかない。
この点列{Zn}挙動は、3個のパラメータが関与している。R,θ,nである。nは、点列{Zn}の『何番目の点』を表すかのパラメータであって、ここでは色を使用している。BASIC/98では16色(白を含む)しか使えないからnは15までしか使えない。
***
ヴェンハルスト方程式の表示のように、一つの画像で、この点列{Zn}の挙動を表す上手い方法はなんだろうか? この点列{Zn}の挙動は3次元の挙動だから『時間』を使えば、つまりアニメーション化すれば良いのかも知れないが私は残念ながらその技術は皆無である。
***
さて、記事76ではNmax=15としてきた。Nmaxを大きくしたら画像はどうなるだろうか?
Nmax=500とした画像が下図である。ここでも記事同様に、色:C=n mod 16としている。
J(R)を固定して、K=0→640(θ=0→2π)としたときの点列{Zn}の挙動である。
同じ色:Cは、各θにおいて点列{Zn}のn番目の点をC=n mod 16 の色で表している。
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1-13
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上図から以下のことが分かる。
1.J=60(R=0.34)あたりまでの画像は、Nmax=16の画像と変わらんない。次回の記事で述べるが、これは、Nmaxを16以上大きくしても軌跡は収束してしまっていて変化しない、とうことのようだ。また、Nmax=16同様なCの規則性も変わっていない。
2.J=80(R=0.45)あたりになると始点Z0がマンデルブロ集合の境界線にくると、軌跡の錯乱状態が目立つようになる。点列{Zn}の長さが大きくなっているのだから目立つのだが、マンデルブロ集合の内部では、Cの捻じれは多少大きくなるもののNmaxとはあまり変化していない。1.同様に収束しているからだろう。
3.J=100(R=0.57)あたりになると、点列{Zn}の長さが大きくなったことが効いてきて、Cの捻じれが大きくなっていき、J=110(R=0.62)では極端に大きくなっていく。
4.J=120(R=0.68)以降の画像で目立つのは始点Z0がマンデルブロ集合の境界線にきたときの点列の乱れである。Z^2マンデルブロ集合の境界線の付近は点列{Zn}の挙動を敏感に変化させる特異点だからだろう。
5.そして、マンデルブロ集合の中央右側の個所にも特異領域があるようだ。
その個所でも点列{Zn}の軌跡は混乱・錯綜している。この領域には何があるのだろう?
その際、Rを固定し、J=0→2π変化させたときの点列{Zn}を表示させた。
また、N=0→15として、C=Nとした。即ち、各θでのn番目の点Znの色をCとして点列{Zn}の挙動を直接色で分かるようにした。
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その結果、次のことが分かった。
1.J=0～60(R=0～0.34)あたりまで点列{Zn}の軌跡(各θでのn番目の点Znの色:Cの軌跡)は、ほぼ半径がRの円を規則的に描き、
しかもCは各θに対して振動している。そういう意味での秩序性がある。
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2.J=80(R=0.45)あたりになると、ほぼ円であった軌跡が渦巻状に回転し始める。
その程度は色によって異なる。Cの小さい程(nの小さい程)渦巻は小さい。
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3.さらにJ(R)が大きくなっていくと、その渦巻きの大きさは大きくなっていき規則性も失っていき、
J=140(R=0.79)あたりになると、渦巻も崩れ軌跡が錯乱状態(無秩序状態)になっていく。
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4その無秩序性は始点Z0が、マンデルブロ集合の境界線で著しい。
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Rを固定しθを変化させたときの、点列{Zn}の、この挙動は言葉で表現するのは困難であって、画像を見ていくしかない。
この点列{Zn}挙動は、3個のパラメータが関与している。R,θ,nである。nは、点列{Zn}の『何番目の点』を表すかのパラメータであって、ここでは色を使用している。BASIC/98では16色(白を含む)しか使えないからnは15までしか使えない。
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ヴェンハルスト方程式の表示のように、一つの画像で、この点列{Zn}の挙動を表す上手い方法はなんだろうか? この点列{Zn}の挙動は3次元の挙動だから『時間』を使えば、つまりアニメーション化すれば良いのかも知れないが私は残念ながらその技術は皆無である。
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さて、記事76ではNmax=15としてきた。Nmaxを大きくしたら画像はどうなるだろうか?
Nmax=500とした画像が下図である。ここでも記事同様に、色:C=n mod 16としている。
J(R)を固定して、K=0→640(θ=0→2π)としたときの点列{Zn}の挙動である。
同じ色:Cは、各θにおいて点列{Zn}のn番目の点をC=n mod 16 の色で表している。
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上図から以下のことが分かる。
1.J=60(R=0.34)あたりまでの画像は、Nmax=16の画像と変わらんない。次回の記事で述べるが、これは、Nmaxを16以上大きくしても軌跡は収束してしまっていて変化しない、とうことのようだ。また、Nmax=16同様なCの規則性も変わっていない。
2.J=80(R=0.45)あたりになると始点Z0がマンデルブロ集合の境界線にくると、軌跡の錯乱状態が目立つようになる。点列{Zn}の長さが大きくなっているのだから目立つのだが、マンデルブロ集合の内部では、Cの捻じれは多少大きくなるもののNmaxとはあまり変化していない。1.同様に収束しているからだろう。
3.J=100(R=0.57)あたりになると、点列{Zn}の長さが大きくなったことが効いてきて、Cの捻じれが大きくなっていき、J=110(R=0.62)では極端に大きくなっていく。
4.J=120(R=0.68)以降の画像で目立つのは始点Z0がマンデルブロ集合の境界線にきたときの点列の乱れである。Z^2マンデルブロ集合の境界線の付近は点列{Zn}の挙動を敏感に変化させる特異点だからだろう。
5.そして、マンデルブロ集合の中央右側の個所にも特異領域があるようだ。
その個所でも点列{Zn}の軌跡は混乱・錯綜している。この領域には何があるのだろう?
