f(Z)とg(Z)を任意の複素関数とするとき、f(Z)^g(Z)の実数部と虚数部を求めるプログラムをサブルーチン化しておく。ここで、このサブルーチンの入力値として、f(Z)及びg(Z)の、おのおのの実数部、虚数部は以下のように与えられているとする。
f(Z)の実数部、虚数部を、それぞれ、FZR、FZI とする。
即ち、f(Z)=FZR + i*FZI
g(Z)の実数部、虚数部を、それぞれ、GZR、GZI とする。
即ち、g(Z)=GZR + i*GZI
また、f(Z)は極座標でも表して、f(Z)= =FZR + i*FZI=R*e^iθ とする。
ここで、R=(FZR^2+FZI^2)^0.5 , θ=arctan(FZI/FZR) である。
上記の条件のもとに、f(Z)^g(Z)の実数部と虚数部を、以下のようにして求める。(以下の式において、掛け算の記号(*)は煩雑さを避けるため適宜省略する)
f(Z)^g(Z)=(R*e^iθ)^( GZR + i*GZI)
=( R^(GZR+i*GZI) )*( e^(iθ(GZR+iGZI) )
=( R^GZR)* ( e^(-θ*GZI) ) * (R^i*GZI)*(e^iθGZR)
ここで、ZF1= (R^GZR)* ( e^(-θ*GZI) とおけば、
f(Z)^g(Z)=ZF1* (R^i*GZI)*(e^iθGZR)
=ZF1*( e^(logR))^(iGZI) ) * (e^iθGZR) (ここで、logの底はeとする)
=ZF1*e^i*(logR*GZI+θ*GZR)
ここで、ZF2=logR*GZI+θ*GZR とおけば、
f(Z)^g(Z)=ZF1*e^i*ZF2
=ZFI*(cosZF2+i*sinZF2)
となり、f(Z)^g(Z)の実数部=ZF1*cosZF2
f(Z)^g(Z)の虚数部=ZF1*sinZF2
となる。ここで、ZF1= (R^GZR)* ( e^(-θ*GZI)
ZF2=logR*GZI+θ*GZR
である。従って、f(Z)^g(Z)の実数部と虚数部を求めるプログラムをサブルーチン・プロクグラムは以下のようにすればよい。
30000 REM f(Z)^g(Z)の計算：file name FGZ
30010 IF R=0 THEN 30060
30020 ZF1=(R^GZR)*EXP(-TH*GZI)
30030 ZF2=TH*GZR+LOG(R)*GZI
30040 FZGZR=ZF1*COS(ZF2)
30050 FZGZI=ZF1*SIN(ZF2)
30060 RETURN
