比の学習が始まったら注意する点 マスコミの基準はわれら日本人を大切にしてるか。他国の見方ばかり。

「比の学習が始まったら注意する点」

主な対象は5年生。

ただ、この時期の6年生でも
これからお話しする問題点を抱えているケースが毎年見られます。

4年生以下のお子さんは
そんな問題点がこれから待ち構えているということを
事前に認識しておいてください。

では、いきましょう。

比の学習が進んでいきます

5年生のカリキュラムを見ると
この夏から秋にかけて比の学習が始まる塾が多いんですね。

で、比の学習が始まります。

簡単な整数比に直す方法から始まり
①当たりの大きさ
連比
逆比
と学習が続きます。

そうこうするうちに
これまで学習してきた様々なテーマで
比を用いた新たな解法が登場します。

速さ
平面図形
食塩水
売買損益
仕事算
水量変化
etc.

どれも馴染みのあるテーマです。

そう
この、馴染みのあるテーマだということ
つまり、既に学習が済んでいるテーマだということが
厄介な原因になります。

注意すべき点って何？

ここで先に結論から。

比の学習が始まったら注意する点とは
既習のテーマについて
これまでの解法に固執せず
比を用いた解法を習得する

以前取り組んだ問題とまったく同じものが
これから再登場します。

比を用いて解くことが目的です。

でも、まったく同じ問題なので
以前身に着けた解法でも答えが出せてしまう。

わざわざ新しい解法にしなくても正解しているから
このままでいいや。

そう思ってしまうのも無理はないですね。

また、これまでの解法でたくさんの演習を重ねてきた生徒ほど
その解法に固執します。

これだけ練習したのに。
別の解法とかいらないし。

その気持ちもわかります。

身に着けたものを封印したり手放したりするのは
勇気がいります。

そこの気持ちに折り合いをつけて
比を用いた解法に取り組んでください。

例えば旅人算

ひとつ例を挙げておきます。

＜問題＞

[ ]mはなれたA地点とB地点の間を太郎くんと次郎くんが往復
します。A地点から太郎くんが，B地点から次郎くんが同時に出発
したところ，AB間の真ん中から60mはなれた地点で2人は出会い
ました。太郎くんは毎分55m，次郎くんは毎分45mで進んだとします。
このとき，[ ]にあてはまる数を答えなさい。

旅人算の問題です。

【これまでの解法】
太郎くんの方が速いので、出会った地点は真ん中より60mB地寄りです。

ここで、2人が出会うまでに進んだ距離の差に注目します。
太郎くんはAB間の半分の距離より60m長い
次郎くんはAB間の半分の距離より60m短い
2人の進んだ距離の差は60✕2＝120mです。

2人の進んだ距離の差が120mになるのは出発してから
120÷(55－45)＝12分後

よって、AB間の距離は
(55＋45)✕12＝1200m

【比を用いた解法】
進行の様子を図示すると以下のようになります。

2人が出発してから出会うまでを考えると
時間　同じ
速さ　55m/分：45m/分＝11：9
距離　⑪：⑨

AB間の距離は　⑪＋⑨＝⑳

AB間の半分の距離は　⑳÷2＝⑩

太郎が進んだ距離とAB間の半分の距離との差が60ｍなので
⑪－⑩＝①
①＝60m

よって、AB間の距離は　⑳＝60✕20＝1200m

両方やってみる

いま見てきたように
どちらの解法をとっても正答にたどり着くことができます。

でも、これからの学習で重要なのは
比を用いた解法を身につけること。

比を用いることにより
これまでと比べて処理量を減らすことができます。

あ、でも、これまでの解法も忘れないように。

異なる解法で同じ問題を解くことにより
確かめの計算にもなりますよ。

おしまい。

公約数が見つからないとき 子供が迷ったらお父さんが助ける 家長にまかせろ

 

「公約数が見つからないとき　　どうする？」　　

では、いきましょう。

どうしても見つからない・・・

分数を約分するとき
簡単な整数比で答えるとき

算数の問題を解くにあたり
公約数を探す局面って案外多いんですね。

で、本題です。
公約数がなかなか見つからずに困ることってありませんか？

AとBの公約数を見つけたい
でも、そのAとBがあまりなじみのない整数で、なかなか公約数が見つからない
両方ともわれる数、もうないの？？？

探す手法として
「ユークリッドの互除法（ごじょほう）」
というものがあります。

ご存知の方もいらっしゃるでしょう。
たてAcm、横Bcmの長方形から、切り取ることができる最大の正方形を切り取っていき
最後に切り取った正方形の1辺の長さがAとBの最大公約数になっている
というものですね。

今回はそれ以外の2通りの探し方をお伝えします。

おきまりの　差に注目！

まずは1つ目。

2つの整数の差をとり
その差の約数でわれるか確認してみましょう。

【問題】　209と247の公約数は？

2つの整数の差をとると
247－209＝38

38の約数1・2・19・38
のうち、1以外の2・19・38でわれるか確認します。

2と38は偶数なので、奇数の247と209をわると余りが出てしまいます。

残るは19ですが
209÷19＝11
247÷19＝13

われました。

ということで、209と247の最大公約数は19です。

この手法を用いると
これ以上われる数があるのか、ないのか、が判断できるようになります。

例えば
【問題】　102と107の公約数は？

102は偶数で2でわれるけど
107って・・・われる数あるの？？？

となったとき
2つの整数の差をとってみましょう。

107－102＝5

5ではわれないので、公約数が1以外にないということがわかります。

両方見るから大変なんです

次、2つ目いきましょう。

【問題】　85と391の公約数は？

2つの整数の差が大きい場合には
1つ目の手法は適さないといえます。

そんなときは、われる数がすぐに思いつく方に注目してください。

85は5でわれると、すぐにわかります。
でも、391は5ではわれない。

そこで85を5でわったときの商に注目です。
85＝5×17

391を17でわってみると
391÷17＝23
われました。

ということで、85と391の最大公約数は17です。

なかなか公約数が見つからないときは
この2つの手法のどちらかを試せば
ほぼ解決します。

おしまい。

 

面積図をかくときの注意点 外交は明治政府に学ぼう 強くて優しい日本人

今回のお題は　　　　　　
「面積図をかくときの注意点」　　

ここでいう面積図とは
「2段の面積図」とお考えください。

面積図はおそらく
どこの塾にお通いでも習う解法かと思います。

実は、面積図には
「些細だけれども、実はおさえていないと後々失点につながりやすいこと」
があります。

それをきちんと把握できていますか？

以下の内容を確認してください。
では、いきましょう。

面積図のカタチは決まっている？

面積図を初めて学習する単元は
お通いの塾によって異なるでしょう。

つるかめ算の面積図
平均の面積図
食塩水の面積図

多いのは、このあたりでしょうか。

もう既に面積図の学習を終えている場合に
試しに上記の3つのうち、どれか1つテーマを選んでください。

そして、そのテーマの学習に取り組んだときの
ノートやプリントにお子さんがかいた面積図を確認してください。

いずれも2段の面積図になるので
下図のAかBのどちらかのカタチになっているはずです。

①すべてAのカタチの面積図をかいている
②すべてBのカタチの面積図をかいている
③問題によってAのときもあれば、Bのときもある

①～③のどれにあてはまりますか？

診断結果は？

③であれば問題なし。

①と②の場合は、ちょっと注意が必要かもしれません。

面積図をかくときのポイントは
「問題文中に出てきた順番に左側からかくこと」

たとえば、次のようなつるかめ算の問題
「1本40円のえんぴつと1本100円のボールペンを
合わせて10本買ったところ、代金は760円になりました。」

えんぴつ、ボールペンの順番に出てきているので
面積図の左側がえんぴつ、右側がボールペンになります。

つまり、Bのカタチの面積図になるわけですね。

ところが、この問題でもAのカタチの面積図をかいてしまうお子さんは
・面積図はAのカタチしかかけない
・面積図はAのカタチでないと理解にしくい（＝Bのカタチだと気持ち悪い）
状態になっている可能性があります。

本来であればAのカタチの面積図をかくべきところを
Bのカタチの面積図をかいてしまうお子さんも
同様の状態になっている可能性があります。

で、何が危ないの？

上記のような状態になっていても
先ほどのつるかめ算の問題は正しい答えを出すことができます。

ですから、危ないかも？、なんて意識されることはありません。

注意すべきは、比を求める設問のときです。

「ア：イ」という比を求める場合
アとイは問題文中では、ほとんどの場合、ア、イの順番で出てきます。

先ほどのつるかめ算の問題。
もし、双方の代金の比を求める設問だった場合は
ほとんどが以下のような問題文になります。

「1本40円のえんぴつと1本100円のボールペンを
合わせて10本買ったところ、代金は760円になりました。
このとき、えんぴつの代金とボールペンの代金の比を求めなさい。」

問題文中にえんぴつ、ボールペンの順番に出てきているので
比を求める設問でも、「えんぴつ：ボールペン」になることがほとんどです。

このとき、もしAのカタチの面積図をかいてしまうとどうなるか？
左のボールペンが6本で600円、右のえんぴつが4本で160円なので
素直に左：右で600：160＝15：4と求めたあとに、左右入れ替えて4：15と答える。
もしくは、代金を求めたあとに、左右入れ替えて160：600＝4：15と答える。

いずれにしても、この左右入れ替えるという
ひと手間かかってしまうところが危ない。

失点につながりやすくなります。

ラクしましょう

処理段階での無駄な失点を防ぐ手法は2つ
・ミスなく処理する精度を高める
・処理の行程を減らす

処理の工程は少ないほど、失点する機会も減ります。

今回の、面積図について
「些細だけれども、実はおさえていないと後々失点につながりやすいこと」

ぜひ確認してみてください。

おしまい。

直前期に平面図形の知識 ヒポクラテスの三日月 大日本はひとつの家族

今回のお題は
「直前期に平面図形の知識をチェック！」

いわゆる「公式」の確認ではありません。

知っていればあっさり解ける

そんな図形知識について
さくっと目を通して確認してください。

この時期の6年生にとって
無駄な時間を過ごす余裕はないので
手短かにいきます。

本日のブログは全部で3題
知っている人なら所要時間 10秒×3題＝30秒 です。

5年生以下のお子さんにとっても
豆知識として頭に入れておいて損はありません。

では、いきましょう。

　ひたすら時短です　

【問1】
次の正五角形において
角x、角yの大きさはそれぞれ何度ですか。

≪解説≫
正五角形の中にひいてある直線が対角線だけのとき
正五角形の内部には
①36度
②36度×2＝72度
③36度×3＝108度
の3種類の角度しか存在しません。

図がある程度正確であれば、見た目だけで判断できます。

細ければ36度
直角より少し小さければ72度
直角より少し大きければ108度

ということで
角x、角y
ともに36度です。

【問題2】
次の図形は、直角二等辺三角形、四分円、半円を組み合わせた図形です。
斜線部分の面積は何㎠ですか。

≪解説≫
みなさんご存知の「ヒポクラテスの三日月」です。

2つの三日月（斜線部分）の面積の合計は直角三角形の面積と等しい
というものですね。

この直角三角形が「直角二等辺三角形」のとき
2つの三日月は同じ大きさになります。
それを半分にしたものが
さきほどの図形の正体です。

ということで、答えは
6×6÷2＝18㎠　　です。

【問題3】
次の図形は大小2つの正方形と大小2つの円を組み合わせた図形です。
2つの円の中心は同じで、大きい円は大きい正方形の内側に
小さい円は小さい正方形の内側に、どちらもぴったりと接しています。
また、小さい正方形の頂点は、すべて大きい円の円周上にあります。
このとき、大きい円の面積は小さい円の面積の何倍ですか。

≪解説≫
大きい正方形の各辺の中点（真ん中の点）を結んでできたのが
小さい正方形。
よって、大きい正方形の面積は小さい正方形の面積の2倍です。

ここで
大きい円は大きい正方形の内側にぴったりと接していて
小さい円は小さい正方形の内側にぴったりと接している

ということは、大きい円も小さい円の2倍になります。

ちなみに
「大きい正方形から大きい円をひいた部分の面積」
も
「小さい正方形から小さい円をひいた部分の面積」
の2倍です。

“加比の理”と呼ばれる考え方ですね。

　結局、ラクするのがいちばん　

中学受験の算数においては
上記のように
見てすぐ答えが出せる問題というものがあります。

知っていれば得する
知っていればラクできる

そんな知識は最後まで大切に
頭の中に入れておいてください。

おしまい。

それでは、また～

算数の正答率30％の壁を突破するには 毎日働く大日本のお父さん

毎年この時期にお伝えしている
「新学年を迎えてからの学習の留意点」について語ろうかと思ったのですが
ちょうど去年の今頃のブログに書いていました。

というわけで、方向転換。

今回のお題は　　　　　　
「正答率30％の壁を突破するには」　　

算数に真面目に取り組んでいて、成績もまずまず。
できればもうひと伸びしたいけど、そこがなかなか突破できない。

そんな状況にいるお子さん向けのお話です。

では、いきましょう。

いきなり結論

結論から先にお伝えします。

端的に言えば
「わからなくてもとりあえずやってみる」

算数の問題を解くときに常に心掛けてほしいことです。

どういうこと？

問題文を読んでみて
どう解けばいいのかわからない
何をすればいいのかわからない

正答率30％の問題を得点できる生徒Aと得点できない生徒Bでは
こんな状況のとき、とる行動が異なります。

生徒Aの行動パターン

わからない問題に遭遇したとき
Aの生徒たちは、ちょっと考えて手を動かし始めます。

解き方がわかったうえで手を動かしているわけではありません。

よくわからないけど、とりあえずやってみる。
何の躊躇もなく、一手目に踏み出しています。

そして、いろいろと試していくうちに
情報が増えていき、徐々に解答方針が立っていく。

勿論、トライアル＆エラーを繰り返しても方針が立たず
結果、解き切れない場合もあります。
でも、その試行を繰り返した経験値はとても大きく
初見問題への対応力が養われていきます。

生徒Bの行動パターン

一方、Bの生徒たちは
わからない問題に遭遇すると
考え込む ⇒ 一向に手が動かない ⇒ 解説を待つ

Bの生徒たちに言わせれば
「何かしろって言われても、どうすればいいの？」
「解き方、わからないんだもん」

ごもっとも。
その気持ちはよくわかります。
自身が受験生のときは、まさにそのタイプでしたから。

でも、解き方がわからない問題の一手目のハードルをクリアしないと
正答率30％の壁は突破できないんです。

練習しましょう

以下のような問題で、一手目に踏み出す練習をしましょう。

あくまでも、一手目の練習です。
解けなくても構いませんよ。

【問題1】
一の位が0ではない3桁の整数Aを考えます。
Aの一の位の数字と百の位の数字を入れかえてできる整数をBとします。
たとえば、Aが592のとき、Bは295です。A×Bが100の倍数であるようなAをすべて答えなさい。

【問題2】
定規である長さの線を引きました。
この線を2等分、3等分、4等分、…した点に順番に印をつけていきます。
ただし、すでに印がある点には新たな印をつけません。
60等分したとき、新たにつけた印は何個ですか。

【問題1】
100の倍数なので、100を素因数分解して2×2☓5×5より
AとBに2と5がどう含まれるかを調べましょう。

素因数分解に思いが至らなかった場合には
思いつくままAとBの組合せを書き出して、A☓Bを求めることで
100の倍数になるための条件を読み取ってもよいでしょう。

【問題2】
2等分、3等分、4等分、…と実際に作業してみることです。
作業を通じて、新たに印をつけるところの規則を読み取りましょう。

全体の長さを1として
等分点を分数で表すと、規則が見えてくるはずです。

一応、答えを載せておきますね。

【問題1】　275，425，524，528，572，576，675，825
【問題2】　16個

とりあえず、でいいんです

こんなことをして答えが出るのだろうか？
という思いが一手目を躊躇する原因なのであれば
その躊躇は不要です。

こんなことをして答えが出るかは
やってみなければわからないのです。

また、何か良い方法があるのでは？
と考え込むのもほどほどに。

良い方法があるかどうかも
やってみなければわからないのです。

とりあえず試してみる、調べてみる、書き出してみる。

その意識をもって「わからない問題」に取り組んでいきましょう。

おしまい。