席替え！元の位置に戻るためには？ 家長お父さんは家族のためにがんばる

今回は席替えの問題！
3人のうち2人が席を替わります。ただし、同じ2人が連続で席を替わることはできないとします。
このとき、席の替わり方は何通りあるのかというものです。

同じ2人が連続で席を替われないとは、次の図を例にするとBとCが席を替わった後に続けてBとCが席を替わることはできないということです。

どこに着目するところから考えていこうかと途方に暮れてしまいそうですが、実はもとに戻るためには席替えの回数を偶数回行わなければならないのです。
このことは、次に示す右回り・左回りに着目すると容易に理解することができます。

【着目点：その１】

左回り・右回りに着目する！

⇒　元の位置に戻るためには偶数回の席替えを行う！

上の図で１がはじめの席だとすると元の位置は
ABC順番は左回りになっています。席替えを１回
行うと４か５か６のいずれかの位置になります。い
ずれも右回りの位置になります。さらにもう1回席
替えをするとまた左回りの位置になります。すなわ
ち、席替えを１回、3回、5回・・・・・と奇数回行うと
いずれも右回りの位置になり、元の位置には絶対
に戻ることができません。したがって、元の位置に
戻るためには、席替えを2回、４回、6回・・・・・偶
数回行う必要があることになります。
【着目点：その２】　２回席替えを行うと１２０度回転する！
上の図で1をスタートの位置とすると１回の席替えで4か5か6の位置になります。4からさらに１回席替えをすると同じ２人が連続で席替えすることができないことを考慮すると2か3の位置に戻ります。5からさらに１回席替えをしても6からさらに１回席替えをしても2か3の位置に戻ります。つまり、1の位置から２回席替えを行うと4、5、6のどの位置を経由しても2か3の位置になります。２回の席替えで1から2の位置に変わるということは反時計周りに120°、1から3の位置に変わるということは時計回りに120°回転することになります。

 

では、問題！
８回の席替え元の位置に戻るためには何通りの席替えの方法があるのか
を考えていきましょう。

着眼点その２の２回の席替えを「１ターン」ということにすると、８回の席替えで元の位置に戻るということは、
「４ターン」を行うということになります。

「４ターン」でもとの位置に戻るためには、反時計周りに120°と時計周りに120°をそれぞれ２回ずつ合計４回動くということになります。調べてみるとそれぞれが（ 0回，4回 ）や（ 1回，3回　）では元の位置にもどってこられません。
反時計周りに120°をA、時計周りに120°をBとするとAとBの順番はどうでもよいので、

① A　A　B　B
② A　B　A　B
③ A　B　B　A
④ B　A　A　B
⑤ B　A　B　A
⑥ B　B　A　A　　　　　　　　　の６通り。

１ターン目にAの動きをするためには１から４または５、または６を経由して２になりますので３通り。同様に１ターン目にBの動きをする席替えの方法も３通りあります。つまり、１ターン目はAであろうがBであろう席替えの方法はどちらも　３通り　あることになります。
しかし、２ターン目は少し注意が必要です。

１ターン目を１⇒４⇒２と動いたとします。
同じ２人が連続して席替えをすることができないので２の次に４の位置になる席替えはできませんし、２の次は５か６になりますが、５の次に２の位置になる席替えもできません。

したがって、１ターン目が終わったとき２の位置にあり、その後２ターン目を終えて１に位置になる方法も３の位置になる方法も２通りになります。つまり、２ターン目以降は、AであろうがBであろうが席替えの方法は２通りあることになります。
以上より、A，Bの順番の決め方が６通り、１ターン目は３通り、２ターン目、３ターン目、４ターン目はいずれも２通りあるので、　８回の席替えで元の位置に戻る方法は、

６×３×２×２×２＝１４４通り　　　になります。

それでは、みなさん
またお会いしましょう。

入試直前！算数の消費税計算の要点整理 大日本國民は愛の家族

入試直前にもう1度消費税について触れていきます。
消費税に関する論点を一緒に確認していきましょう。

1．消費税は1円未満切り捨て

消費税は1円未満切り捨てになります。
例えば453円の商品の消費税は、

8％の場合
453×0.08＝36.24円　⇒　36円

10％の場合
453×0.1＝45.3円　　⇒　45円　　になります。

ここで問題です。間違えやすいので確認しておきましょう。

【問題】
（１）消費税8%のとき、支払った金額が430円なら、商品の値段はいくらですか。
（２）消費税10％のとき、支払った金額が1250円なら、商品の値段はいくらですか。

（1）430÷1.08＝398.148・・・商品の値段
430－398.148・・・＝31.851・・・消費税

ここで注意しなければいけないのが、消費税は1円未満切り捨てだということです。
したがって消費税は31円ということになります。
ですから商品の値段は430－31＝399円となります。
今回のように端数がでる場合は430÷1.08を計算し、商品の値段を切り上げればよいのです。
（答）399円

（2）1250÷1.1＝1136.3636・・・商品の値段
（1）と同様に商品の値段を切り上げます。
（答）1137円

2．支払うことができない金額

消費税8％、10％のいずれにおいても支払う金額でつくることができない金額が
存在します。規則性の要素と絡めて出題させる可能性もあるので要注意です。
下の表を作る練習をしておくと良いでしょう。

表を作るのに必要な計算は、8％と10％について1円から6円までの消費税に対する商品の価格を計算します。（上の12個の計算）
8%の場合を例にとると商品金額が12.5円のとき、やっと消費税1円が発生します。つまり、商品金額12円までは消費税は0円で商品金額13円から24円までは消費税は1円ということになります。（商品金額25円になると消費税は2円になってしまいます。）このように順次表に値を入れていくと税込金額で存在することができない金額が発生していることがわかります。

ここで問題です。

【問題】
（１）消費税8%のとき、支払うことができない金額で100番目の金額はいくらですか。
（２）消費税10％のとき、支払うことができない金額で100番目の金額はいくらですか。

（１）前述の表で支払うことができない金額を見ると、
赤い数字と青い数字でそれぞれ規則性があります。

支払うことができない金額の100番目は、
27で割ると、26あまる等差数列の50番目にな
ります。

26 ＋ 27×(50－1) = 1349
（答）1349円

（２）前述の表で支払うことができない金額を見ると、
というように

11で割ると10あまる数の数列になっていることがわかります

10＋11×（100－１）＝1099
（答）1099円

3．消費税８％でも10％でも，支払う金額が同じであるときの商品金額

こちらも前述の表が決め手になる内容です。例えば商品金額25円のとき、
消費税8%、10％のいずれのときも消費税は2円です。したがってどちらの消費税率においても支払い金額は　27円で等しい金額です。（25 ＋ 2＝ 27）
このように支払い金額が等しくなるような商品金額を探していくと最も高い金額は39円であることがわかります。このときの支払う金額は42円です。（39＋3＝42円）

ここで問題です。

【問題】
消費税8％でも10％でも、支払う金額の差が200円のとき、商品の値段のうち一番高い金額はいくらですか。

まず、支払う金額に200円の差が生じる商品の値段で最も小さい金額は
200÷（0.1－0.08）＝10000円です。
さらに支払う金額が等しい商品の金額は、前述の表を見てみると
1円から9円、13円から19円、25円から29円、38円から39円です。
よって10039円が1番高い金額になります。
（答）10039円

消費税に関する確認はこれでおしまいです。
受験生にみなさんが本番で実力を出し切れることを
心より願っております。
さあ、もうひと踏ん張り！応援してます！！