3/21出題の積分の問題の解答

まず、解いて報告していただいたMN氏の解答を載せます。テキストをそのままコピペして載せると：

「Ｓ＝ｓｉｎｘ、Ｃ＝ｃｏｓｘとしてよんでください。あと、積分記号は省きます。

その１：
Ｓ／（Ｓ＋Ｃ）
＝（Ｓ－Ｃ）／２（Ｓ＋Ｃ）＋（Ｓ＋Ｃ）／２（Ｓ＋Ｃ）
＝０＋π／４
＝π／４
（Ｓ－Ｃ）／（Ｓ＋Ｃ）の積分は－ｌｏｇ｜Ｓ＋Ｃ｜

その２：
Ｉ＝Ｓ／（Ｓ＋Ｃ）
＝（Ｓ＋Ｃ）／（Ｓ＋Ｃ）－Ｃ／（Ｓ＋Ｃ）
Ｃ／（Ｓ＋Ｃ）がπ／２－ｘ＝ｔと置いて変形するとＳ／（Ｓ＋Ｃ）＝Ｉとイコールになるので、
最終的に、
Ｉ＝π／２－ＩとなりＩ＝π／４となる。」

「その１」の式変形にはびっくりしました。お見事！こんな発想は私には無理（×。×）

解法を2つ以上という制限を難なくクリア。いつも解答を寄せてきただきありがとうございます^^

さて、私の考えた解答です。今回もアクセサリーの「ペイント」で頑張りました。

まず１つめ。“知らなきゃできない”に近いですが、大学入試などで使われるテクニックとして、積分範囲が0からπ／2のとき「ｘ＝（π／2）－ｔ」の置換積分があります。すなわち、積分区間の特殊性に注目して



2Iが求まれば、あとは2で割るだけですね。

これは模範解答的でエレガントな解法ですが、積分区間が0からπ／2のときくらいしかできない、という弱点があります。そこで、もっと応用の広い方法として、次の解法も考えました。

2つめ。たとえば、分母と分子が逆だった場合は、簡単に積分することができます。分子が和の形になっても全然困らないからです。しかし、分母が和の形ではこのままではうまくいきません。そこで、分母を合成して、角度の“基準”をxではなくx＋（π／4）にして（つまり分母の形を“基底”にして）、分子を分母基準に合わせることを思いつきました。

分母は、三角関数の合成の公式を用いて、(√2)sin(x+π/4)にします。

分子は、sinx=sin(x＋π/4－π/4)と考えて、sinの加法定理マイナスバージョンを適用します。

そして次のように計算します。



分母が“和”になっているのが障害だと感じれば、とりあえず合成するはず。そして合成した式を見れば、x＋（π／4）＝ｔと置換積分したくなるはず。考え方や発想は素直で凡人的だと思います。

さて、私の2つの解法とMN氏の2つの解法。共通するのは1つだけ。だから解法は3つ出てきた、そう見えます。しかしながら、お互い「2つ目」としている解法は、見た目同じに見えない（その解法に辿り着いた経緯が全く違うから）ものの、よ～～～～～～～～～く見比べてみると、実は本質的には全く同じ解法だと気が付きました！！！

実は同じものでも、切り口や視点が違うと全然違うものに見えてくる！いや～面白い体験をさせていただきました^^