前回出題した4項間の漸化式は、数樂さんが正解でした。いつもご協力ありがとうございます＾＾
さて、
a[1]=9
a[2]=29
a[3]=99
a[n+3]－9(a[n+2])＋26(a[n+1])－24(a[n]) = 0
を満たす数列a[n]を求めよ。
の解答を記します。
一般的に、漸化式
a[n+3]＋p(a[n+2])＋q(a[n+1])＋r(a[n]) = 0
に対して、3項間のときと同様に作った特性方程式
t^3＋pt^2＋qt＋r = 0
の3つの解をα、β、γとすると、解と係数の関係から
α＋β＋γ = －p，αβ＋βγ＋γα = q，αβγ = －r
となるので、漸化式は
a[n+3]－(α＋β＋γ)(a[n+2])＋(αβ＋βγ＋γα)(a[n+1])－αβγ(a[n]) = 0
と書くことができます。この式を変形すると、
a[n+3]－(α＋β)(a[n+2])＋αβ(a[n+1]) = γ{a[n+2]－(α＋β)(a[n+1])＋αβ(a[n])}
a[n+3]－(β＋γ)(a[n+2])＋βγ(a[n+1]) = α{a[n+2]－(β＋γ)(a[n+1])＋βγ(a[n])}
a[n+3]－(γ＋α)(a[n+2])＋γα(a[n+1]) = β{a[n+2]－(γ＋α)(a[n+1])＋γα(a[n])}
とできるので、もし特性方程式が3つの異なる解α、β、γを持てば、
a[n+2]－(α＋β)(a[n+1])＋αβ(a[n]) = {a[3]－(α＋β)(a[2])＋αβ(a[1])}×γ^(n－1)
a[n+2]－(β＋γ)(a[n+1])＋βγ(a[n]) = {a[3]－(β＋γ)(a[2])＋βγ(a[1])}×α^(n－1)
a[n+2]－(γ＋α)(a[n+1])＋γα(a[n]) = {a[3]－(γ＋α)(a[2])＋γα(a[1])}×β^(n－1)
という3通りの式を作ることができます。あとはこれを連立方程式とみることで、一般項a[n]を求めることができます。
出題した問題でこの方法を適用してみましょう。
まず、特性方程式
t^3－9t^2＋26t－24r = 0
を因数分解して
(t－2)(t－3)(t－4) = 0
となるので、この特性方程式は異なる3つの解 2，3，4 を持ちます。よって漸化式は
a[n+3]－5(a[n+2])＋6(a[n+1]) = 4{a[n+2]－5(a[n+1])＋6(a[n])}
a[n+3]－7(a[n+2])＋12(a[n+1]) = 2{a[n+2]－7(a[n+1])＋12(a[n])}
a[n+3]－6(a[n+2])＋8(a[n+1]) = 3{a[n+2]－6(a[n+1])＋8(a[n])}
と変形でき、
a[3]－5(a[2])＋6(a[1]) = 8
a[3]－7(a[2])＋12(a[1]) = 4
a[3]－6(a[2])＋8(a[1]) = －3
から、
a[n+2]－5(a[n+1])＋6(a[n]) = 8×4^(n－1) = 2×4^n ・・・①
a[n+2]－7(a[n+1])＋12(a[n]) = 4×2^(n－1) = 2×2^n ・・・②
a[n+2]－6(a[n+1])＋8(a[n]) = －3×3^(n－1) = －3^n ・・・③
となることがわかります。あとはこの連立方程式を解けばよく、例えば
③－② a[n＋1]－4a[n] = －3^n－2×2^n ・・・④
①－③ a[n＋1]－2a[n] = 3^n＋2×4^n ・・・⑤
⑤－④ 2(a[n]) = 2×2^n＋2×3^n＋2×4^n
∴a[n] = 2^n＋3^n＋4^n
となり、めでたく終了です♪
なお、今回のように、特性方程式が3つの異なる解α、β、γを持つ場合、a[1]、a[2]、a[3]の値をどのようにとっても、数列の一般項a[n]は必ず
a[n] = A×α^(n－1)＋B×β^(n－1)＋C×γ^(n－1)
（ただしA、B、Cは定数）
という形に書けることを証明できました（とある3×3行列の行列式が綺麗に≠0になることを使いましたが、行列をブログの文章にするのは大変なのでここでは書きません）。となれば次は重解をもつケース！ということで、新たな出題です。
問題：
次の条件を満たす数列{a[n]}の一般項を求めよ。
（１）
a[1]=0
a[2]=1
a[3]=2
a[n+3]－6(a[n+2])＋12(a[n+1])－8(a[n]) = 0
（２）
a[1]=0
a[2]=1
a[3]=2
a[n+3]－7(a[n+2])＋16(a[n+1])－12(a[n]) = 0
興味のある人はどうぞ・・・
さて、
a[1]=9
a[2]=29
a[3]=99
a[n+3]－9(a[n+2])＋26(a[n+1])－24(a[n]) = 0
を満たす数列a[n]を求めよ。
の解答を記します。
一般的に、漸化式
a[n+3]＋p(a[n+2])＋q(a[n+1])＋r(a[n]) = 0
に対して、3項間のときと同様に作った特性方程式
t^3＋pt^2＋qt＋r = 0
の3つの解をα、β、γとすると、解と係数の関係から
α＋β＋γ = －p，αβ＋βγ＋γα = q，αβγ = －r
となるので、漸化式は
a[n+3]－(α＋β＋γ)(a[n+2])＋(αβ＋βγ＋γα)(a[n+1])－αβγ(a[n]) = 0
と書くことができます。この式を変形すると、
a[n+3]－(α＋β)(a[n+2])＋αβ(a[n+1]) = γ{a[n+2]－(α＋β)(a[n+1])＋αβ(a[n])}
a[n+3]－(β＋γ)(a[n+2])＋βγ(a[n+1]) = α{a[n+2]－(β＋γ)(a[n+1])＋βγ(a[n])}
a[n+3]－(γ＋α)(a[n+2])＋γα(a[n+1]) = β{a[n+2]－(γ＋α)(a[n+1])＋γα(a[n])}
とできるので、もし特性方程式が3つの異なる解α、β、γを持てば、
a[n+2]－(α＋β)(a[n+1])＋αβ(a[n]) = {a[3]－(α＋β)(a[2])＋αβ(a[1])}×γ^(n－1)
a[n+2]－(β＋γ)(a[n+1])＋βγ(a[n]) = {a[3]－(β＋γ)(a[2])＋βγ(a[1])}×α^(n－1)
a[n+2]－(γ＋α)(a[n+1])＋γα(a[n]) = {a[3]－(γ＋α)(a[2])＋γα(a[1])}×β^(n－1)
という3通りの式を作ることができます。あとはこれを連立方程式とみることで、一般項a[n]を求めることができます。
出題した問題でこの方法を適用してみましょう。
まず、特性方程式
t^3－9t^2＋26t－24r = 0
を因数分解して
(t－2)(t－3)(t－4) = 0
となるので、この特性方程式は異なる3つの解 2，3，4 を持ちます。よって漸化式は
a[n+3]－5(a[n+2])＋6(a[n+1]) = 4{a[n+2]－5(a[n+1])＋6(a[n])}
a[n+3]－7(a[n+2])＋12(a[n+1]) = 2{a[n+2]－7(a[n+1])＋12(a[n])}
a[n+3]－6(a[n+2])＋8(a[n+1]) = 3{a[n+2]－6(a[n+1])＋8(a[n])}
と変形でき、
a[3]－5(a[2])＋6(a[1]) = 8
a[3]－7(a[2])＋12(a[1]) = 4
a[3]－6(a[2])＋8(a[1]) = －3
から、
a[n+2]－5(a[n+1])＋6(a[n]) = 8×4^(n－1) = 2×4^n ・・・①
a[n+2]－7(a[n+1])＋12(a[n]) = 4×2^(n－1) = 2×2^n ・・・②
a[n+2]－6(a[n+1])＋8(a[n]) = －3×3^(n－1) = －3^n ・・・③
となることがわかります。あとはこの連立方程式を解けばよく、例えば
③－② a[n＋1]－4a[n] = －3^n－2×2^n ・・・④
①－③ a[n＋1]－2a[n] = 3^n＋2×4^n ・・・⑤
⑤－④ 2(a[n]) = 2×2^n＋2×3^n＋2×4^n
∴a[n] = 2^n＋3^n＋4^n
となり、めでたく終了です♪
なお、今回のように、特性方程式が3つの異なる解α、β、γを持つ場合、a[1]、a[2]、a[3]の値をどのようにとっても、数列の一般項a[n]は必ず
a[n] = A×α^(n－1)＋B×β^(n－1)＋C×γ^(n－1)
（ただしA、B、Cは定数）
という形に書けることを証明できました（とある3×3行列の行列式が綺麗に≠0になることを使いましたが、行列をブログの文章にするのは大変なのでここでは書きません）。となれば次は重解をもつケース！ということで、新たな出題です。
問題：
次の条件を満たす数列{a[n]}の一般項を求めよ。
（１）
a[1]=0
a[2]=1
a[3]=2
a[n+3]－6(a[n+2])＋12(a[n+1])－8(a[n]) = 0
（２）
a[1]=0
a[2]=1
a[3]=2
a[n+3]－7(a[n+2])＋16(a[n+1])－12(a[n]) = 0
興味のある人はどうぞ・・・
