【負の数を掛けたり割ったりすると】

-2x＞6→x＜-3

不等式で、
両辺を負の数で掛けたり割ったりすると、なぜ不等号の向きが変わるのか？

次の事項は、正しいとする。
【不等号の性質】
①a＞b→a+c＞b+c
②a＞b→a-c＞b-c
③c＞0のとき、
a＞b→ac＞bc
a＞b→a/c＞b/c
④a＞b→b＜a 【両辺の逆転】

【移項】
a+c＞b-d
→a+c-c＞b-d-c :両辺からcを引く
→a＞b-d-c :左辺を計算する
→a+d＞b-d-c+d :両辺にdを足す
→a+d＞b-c :右辺を計算する

最初の式と最後の式を比べる。
a+c＞b-d→a+d＞b-c

cに注目すると、左辺から右辺に移って符号が変わる。
dに注目すると、右辺から左辺に移って符号が変わる。
不等号を挟んで辺を移ると、符号が変わる。
これを、「移項」という。

【負の数を掛けたり割ったりする】
c＜0とする。移項して、0＜-c
a＞b
→a×(-c)＞b×(-c) :両辺に-c＞0を掛ける
→-ac＞-bc :両辺を計算する
→bc＞ac :移項する
→ac＜bc :両辺の逆転
よって、
c＜0のとき、a＞b→ac＜bc

同様に、
a＞b→a/(-c)＞b/(-c)→-a/c＞-b/c
→b/c＞a/c→a/c＜b/c

したがって、
c＜0のとき、
a＞b→ac＜bc
a＞b→a/c＜b/c

すなわち、
負の数を掛けたり割ったりすると、不等号の向きが変わる。

(2023/4/17)

【蛇足:①②③④の補足】
a＞b→a+c＞b+c
a＞b→a-c＞b-c
上皿天秤をイメージすると成り立つ。

c＞0のとき、
a＞b→ac＞bc, a/c＞b/c
n:自然数のとき、①より成り立つ
m:自然数のとき、
a＞b→a/m＜b/mとする。
(a/m)×m＜(b/m)×m→a＜b
矛盾するから、a＞b→a/m＞b/m
a＞b→an＞bn→(an)/m＞(bn)/m
→a×(n/m)＞b×(n/m)
すなわち、cが任意の有理数で成り立つ
例えば、√2=1.41421356…
少数のどこで区切っても有理数になるので成り立つから、√2でも成り立つと考える方が自然である。
そう考えても、矛盾が生まれないからOK→無理数でも成り立つ
実数でも成り立つとする。

a＞b→b＜a
表記の仕方を変えただけ。