【1次不定方程式の解法】

1個56円の柿と1個 99円のりんごを買った。 代金は2304 円だった。それぞれいくつずつ買ったか。消費税は考えない。

下の解法を見る前に解いてみよう！

【解】

柿をx個、りんごをy個買ったとする。

56x+99y=2304……1次不定方程式

56=8×7, 99=9×11, 2304=8×9×32

xは9の倍数、yは8の倍数

x=9s, y=8tとする。

56(9s)+99(8t)=8×9×32

7s+11t=32

(s,t)=(3,1)→(s,t)=(3+11k,1-7k)

x≧0, y≧0より、s≧0, t≧0

よって、(s,t)=(3,1)

したがって、(x,y)=(27,8)

AとBが互いに素とする。

Ax+By=C

AとCの最大公約数をm、A=ma

BとCの最大公約数をn，B=bn

C=mncとする。

xはnの倍数、yはmの倍数

x=ns, y=mtとする。

A(ns)+B(mt)=mnc

→as+bt=c

(s,t)を求めて、(x,y)=(ns,mt)

ちょっと工夫すると計算が楽に。

(2024/10/23)

α^n+β^nの値

x^2+2x+4=0 の解を、α,βとする。

P=α^n+β^nの値を求めよ。

a^3+b^3-3ab=208

a^3+b^3-3ab=208を満たす自然数(a,b)を求めよ。

応援

A社はいくつもの工場を持っている。

工場の建設時期で生産率はまちまちである。

3600個を30日で作る工場で作り始めたが、取引先の都合で7200個を36日で納期することになった。3600個を何日で作る工場に応援を頼めばよいか。

【平均速度】

【行きの速度a、帰りの速度b、平均の速度cの関係】

距離abxとする。

行きの時間bx、帰りの時間ax

往復で、距離2abx、時間(a+b)x

平均速度は、

c=(2abx)/{(a+b)x}=2/{(1/a)+(1/b)}

調和平均 c=2/{(1/a)+(1/b)}という。

a,b,cがすべて自然数となる場合を考える。

(1/a)+(1/b)=2/c

2ab=ca+cb

(2a-c)(2b-c)=c^2=pq

(2a-c, 2b-c)=(p,q)→(2a,2b)=(c+p, c+q)

→(a,b)={(c+p)/2, (c+q)/2}

cとpとqの奇偶は一致

【例】

①c=15

→c^2=3^2×5^2=1×225=3×75=9×25=15×15

(2a,2b)=(16,240)(18,90)(24,40)(30,30)

(a,b)=(8,120)(9,45)(12,20)(15,15)

②c=12

→c^2=2^4×3^2

=2×72=4×36=6×24=8×18=12×12

(2a,2b)=(14,84)(16,48)(18,36)(20,30)(24,24)

(a,b)=(7,42)(8,24)(9,18)(10,15)(12,12)

a,b,cはそれぞれk倍してもよい。

{a,b}→平均c

{ka,kb}→平均kc

(a,b;c)=(12,20;15)

→×3→(a,b;c)=(36,60;45)

(※)cが奇数のときは、自動的にp,q共に奇数になる。

cが偶数のときは、p,q共に偶数の場合に絞られる。

(2024/8/29)

(p.s.)

2/cを2つの単位分数に分ける問題と同じになるんですね。

(2024/9/27)