「高校数学でわかるフーリエ変換：竹内淳」（Kindle版）―フーリエ級数からラプラス変換まで
内容（「BOOK」データベースより）
フーリエ級数・フーリエ変換は、物理学や電子・電気工学、さらにそれ以外の分野でも、極めて重要で有用な数学です。また、数学ファン・物理ファンにとっては、フーリエ変換を理解できれば、科学はもっと面白くなるはずです。本書はラプラス変換も含めて、この理系必須の数学を高校理系レベルの数学の知識でできるだけやさしくマスターすることを目指します。
著者略歴 (「BOOK著者紹介情報」より)
竹内/淳
1960年徳島県生まれ。1985年大阪大学基礎工学研究科博士前期課程修了。理学博士。富士通研究所研究員、マックスプランク固体研究所客員研究員などを経て、1997年早稲田大学理工学部助教授、2002年より教授。専門は、半導体物理学
理数系書籍のレビュー記事は本書で210冊目。
難しい本ばかり紹介していると高校生や大学生の読者がついてこれなくなるので、今日は比較的易しい本を紹介することにした。
フーリエとラプラスはともにおよそ200年前のフランスを代表する科学者だ。彼らの人生はフランス革命やナポレオンの軍事独裁政権の時期に重なっている。日本史だと徳川１０代から１２代将軍の治世にあたる。
彼らが考案したフーリエ変換やラプラス変換は理工系、特に物理学や電子回路を学ぶ大学生は必ず学ぶ内容だ。とはいえ大学の教科書は必要事項だけ厳密に書かれていて、易しく説明しようという配慮に欠けているので数学が苦手な学生には学びにくい。同じ内容を易しく学べるのならそれにこしたことはない。
実際に読んでみると「こういう本が学生時代にあったらよかったな。」と思った。「やさしい～」とか「～の超入門」のようなタイトルの本はよく見かけるが、読者に親切にするあまり説明が冗長になったり、説明がかえって回りくどくなってしまっているものが多い。しかし、本書は話の流れを重視し数式をていねいに追っていくので、何のために学んでいるかを常に意識しながら読み進むことができる本だということがわかった。わかりやすさと簡潔さの点で、現在入手できる入門書の中ではベストな選択だと思う。
全体の章立ては次のとおり。
第１章：フーリエ級数
第２章：複素形式への拡張
第３章：フーリエ変換への拡張
第４章：代表的な関数のフーリエ変換
第５章：フーリエ変換の性質
第６章：ラプラス変換
第７章：ラプラス変換を用いた演算子法
フーリエ変換やラプラス変換のことを全く知らない方は、次のようなページでイメージをつかむとよいだろう。
フーリエ変換基礎講座
http://www.geocities.co.jp/AnimalPark-Shiro/1620/ft_index.html
フーリエ変換（テキサスインスツルメンツ社のページ）
http://www.tij.co.jp/dsp/jp/docs/dspcontent.tsp?contentId=53938
ラプラス変換とは何か
http://www.jeea.or.jp/course/contents/01131/
初心者用ラプラス変換解説
http://www.ice.tohtech.ac.jp/~nakagawa/laplacetrans/Laplace1.htm
特にフーリエ変換は応用範囲がとても広い。音楽を音の高さごとにその強さを表示したり強さを調整したりするイコライザーは音波をフーリエ変換して動作する装置だし、シンセサイザーがどのような楽器の音色でも出せることも、異なる周波数のサイン波で発振する音波を複数重ね合わせるというフーリエ変換の手法を使っているからだ。また本書で解説されているようにフーリエ変換は熱伝導や熱の拡散の計算にも使われる。
ラプラス変換については、本書で学んだ後は次の本を読むとよいだろう。ラプラス変換による微分方程式の解法を楽しく、そしてより深くワクワクしながら学ぶことができる「読み物系の数学書」だ。
「微積分のはなし〈上〉：大村平」（数IIIまでに登場する関数の微積分を学ぶ。）
「微積分のはなし〈下〉：大村平」（多重積分、微分方程式、ラプラス変換、偏微分、全微分）
易しい本とはいえ、数式の説明ばかり続くと初学者は疲れてしまう。本書ではところどころにフーリエやラプラスをはじめ、その時代の物理学者や数学者のエピソードを紹介して疲れた頭をリフレッシュできるように工夫されている。ナポレオンのエジプト遠征にフーリエが同行し、２人の間に交流があったことを僕は本書で知った。（参考：ウィキペディアの記事）
本書の「科学史小話」に登場するのはフーリエ、ラプラス、ナポレオン、オイラー、ガロア、カルノー、ラグランジュ、モンジュ、ニュートン、ライプニッツ、ベルヌーイ、ポアソン、コーシー、アーベル、ヘビサイド、マクスウェル、アンペール、アボガドロ、ファラデー、ハイゼンベルク、ディラック、マルコーニなど多数なので「科学史通」にもなることができる。
竹内淳先生の「高校数学でわかる～」シリーズはこれまでに８冊刊行されていて、どれもお勧めだ。
「高校数学でわかるマクスウェル方程式」―電磁気を学びたい人、学びはじめた人へ
「高校数学でわかるシュレディンガー方程式」―量子力学を学びたい人、ほんとうに理解したい人へ
「高校数学でわかるボルツマンの原理」―熱力学と統計力学を理解しよう
「高校数学でわかる線形代数」―行列の基礎から固有値まで
「高校数学でわかる統計学」―本格的に理解するために
「高校数学でわかる半導体の原理」―電子の動きを知って理解しよう
「高校数学でわかる相対性理論」―特殊相対論の完全理解を目指して
それぞれの本の詳細は竹内淳先生のホームページでご確認いただきたい。
竹内淳先生の著書一覧：
http://www.f.waseda.jp/atacke/list2.html
竹内淳先生の「高校数学でわかる～」シリーズはKindle版も刊行されている。ここをクリックして検索してみてほしい。
実を言うと今回僕がこの本を選んだ理由は「熱の解析的理論：ジョゼフ・フーリエ著、ガストン・ダルブー編纂」（紹介記事）を読むためでもある。
しかしその本は分厚くて読むのに時間がかかるから、読み終わるまでの間もっとレベルを下げて高校の数Iから数IIIレベルの学生にお勧めしたい本を５冊ほど順に紹介することにしよう。この記事や「高校生にお勧めする３０冊の物理学、数学書籍」で紹介した大村平先生の本だ。数Iの段階で挫折してしまった人でも、これらの本を読めば竹内淳先生の「高校数学でわかる～」シリーズが読めるようになるはずだ。
関連記事：
高校生にお勧めする３０冊の物理学、数学書籍
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/f79ac08392742c60193081800ea718e7
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「高校数学でわかるフーリエ変換：竹内淳」（Kindle版）―フーリエ級数からラプラス変換まで
第１章：フーリエ級数
- エジプト
- フーリエが生み出したもの
- サインとコサイン
- 三角関数の直交性：サインの場合
- 三角関数の直交性：コサインの場合
- 三角関数の直交性：サインとコサインの場合
- サインとコサインの間の直交性のまとめ
- ナポレオン
- フーリエ級数の実例
- フーリエ級数の周期性
- フーリエ級数の着想
- フーリエ級数を導く
- フーリエ展開が可能な関数とは？
- ノコギリ波のフーリエ級数
- 帰国後のフーリエ
第２章：複素形式への拡張
- 虚数の導入
- 複素数を座標に表示する方法
- オイラーの公式
- 複素指数関数の微分
- 波を表すのに便利な虚数
- 波動関数
- １８世紀を代表する数学者、オイラー
- 複素形式への変換
- 周期の拡張--２πから２Lへ
- フーリエ級数と量子力学
第３章：フーリエ変換への拡張
- フーリエ級数からフーリエ変換へ
- フーリエ級数の係数を求める
- 方形波の間隔が広がった場合
- 方形波と方形波の間隔がさらに大きい場合
- Σから積分へ
- 単一方形パルスのフーリエ変換
- 同時代の天才たち
第４章：代表的な関数のフーリエ変換
- 指数関数のフーリエ変換
- ガウシアンの半値全幅
- ガウシアンのフーリエ変換
- ガウシアンのフーリエ変換の応用例
- 光パルスの時間幅とスペクトル幅の関係
- ハイゼンベルクの不確定性関係
- 光ファイバーの帯域
- ガウス
- デルタ関数
- デルタ関数のフーリエ変換
- サインとコサインのフーリエ変換
- 代表的なフーリエ変換
第５章：フーリエ変換の性質
- フーリエ変換の性質
- 線形性
- 推移則
- 相似性
- 微分のフーリエ変換
- 積分のフーリエ変換
- たたみ込み積分
- フーリエ変換の応用--熱伝導の問題
- 悲劇の天才、ガロア
第６章：ラプラス変換
- ラプラス変換が活躍している分野
- ラプラス変換とは
- 主なラプラス変換
- ラプラス変換の線形性
- 推移則
- ラプラス逆変換
- ラプラス
- ラプラス変換の利点--微積分方程式が簡単になる
- 微分はラプラス変換でどのように変形されるか
- 積分はラプラス変換でどのように変形されるか
第７章：ラプラス変換を用いた演算子法
- 独学の天才、ヘビサイド
- ラプラス変換を用いた演算子法
- 部分分数展開
- 部分分数展開を簡単に行う方法（１）
- 部分分数展開を簡単に行う方法（２）
- RL直列回路
- 最初のラプラス変換を省略した計算方法
- 無線電信と電離層
- さらなる発展（１）--交流電圧源をスイッチオンした場合
- さらなる発展（２）--周期波のラプラス変換
付録
- 三角関数の公式
- 部分積分
- 指数関数と、サイン、コサインのテイラー展開
- タンジェントについて
- ガウスの積分公式の証明
- 等比級数の和
おわりに
参考図書・資料
さくいん
公式集
内容（「BOOK」データベースより）
フーリエ級数・フーリエ変換は、物理学や電子・電気工学、さらにそれ以外の分野でも、極めて重要で有用な数学です。また、数学ファン・物理ファンにとっては、フーリエ変換を理解できれば、科学はもっと面白くなるはずです。本書はラプラス変換も含めて、この理系必須の数学を高校理系レベルの数学の知識でできるだけやさしくマスターすることを目指します。
著者略歴 (「BOOK著者紹介情報」より)
竹内/淳
1960年徳島県生まれ。1985年大阪大学基礎工学研究科博士前期課程修了。理学博士。富士通研究所研究員、マックスプランク固体研究所客員研究員などを経て、1997年早稲田大学理工学部助教授、2002年より教授。専門は、半導体物理学
理数系書籍のレビュー記事は本書で210冊目。
難しい本ばかり紹介していると高校生や大学生の読者がついてこれなくなるので、今日は比較的易しい本を紹介することにした。
フーリエとラプラスはともにおよそ200年前のフランスを代表する科学者だ。彼らの人生はフランス革命やナポレオンの軍事独裁政権の時期に重なっている。日本史だと徳川１０代から１２代将軍の治世にあたる。
彼らが考案したフーリエ変換やラプラス変換は理工系、特に物理学や電子回路を学ぶ大学生は必ず学ぶ内容だ。とはいえ大学の教科書は必要事項だけ厳密に書かれていて、易しく説明しようという配慮に欠けているので数学が苦手な学生には学びにくい。同じ内容を易しく学べるのならそれにこしたことはない。
実際に読んでみると「こういう本が学生時代にあったらよかったな。」と思った。「やさしい～」とか「～の超入門」のようなタイトルの本はよく見かけるが、読者に親切にするあまり説明が冗長になったり、説明がかえって回りくどくなってしまっているものが多い。しかし、本書は話の流れを重視し数式をていねいに追っていくので、何のために学んでいるかを常に意識しながら読み進むことができる本だということがわかった。わかりやすさと簡潔さの点で、現在入手できる入門書の中ではベストな選択だと思う。
全体の章立ては次のとおり。
第１章：フーリエ級数
第２章：複素形式への拡張
第３章：フーリエ変換への拡張
第４章：代表的な関数のフーリエ変換
第５章：フーリエ変換の性質
第６章：ラプラス変換
第７章：ラプラス変換を用いた演算子法
フーリエ変換やラプラス変換のことを全く知らない方は、次のようなページでイメージをつかむとよいだろう。
フーリエ変換基礎講座
http://www.geocities.co.jp/AnimalPark-Shiro/1620/ft_index.html
フーリエ変換（テキサスインスツルメンツ社のページ）
http://www.tij.co.jp/dsp/jp/docs/dspcontent.tsp?contentId=53938
ラプラス変換とは何か
http://www.jeea.or.jp/course/contents/01131/
初心者用ラプラス変換解説
http://www.ice.tohtech.ac.jp/~nakagawa/laplacetrans/Laplace1.htm
特にフーリエ変換は応用範囲がとても広い。音楽を音の高さごとにその強さを表示したり強さを調整したりするイコライザーは音波をフーリエ変換して動作する装置だし、シンセサイザーがどのような楽器の音色でも出せることも、異なる周波数のサイン波で発振する音波を複数重ね合わせるというフーリエ変換の手法を使っているからだ。また本書で解説されているようにフーリエ変換は熱伝導や熱の拡散の計算にも使われる。
ラプラス変換については、本書で学んだ後は次の本を読むとよいだろう。ラプラス変換による微分方程式の解法を楽しく、そしてより深くワクワクしながら学ぶことができる「読み物系の数学書」だ。
「微積分のはなし〈上〉：大村平」（数IIIまでに登場する関数の微積分を学ぶ。）
「微積分のはなし〈下〉：大村平」（多重積分、微分方程式、ラプラス変換、偏微分、全微分）
易しい本とはいえ、数式の説明ばかり続くと初学者は疲れてしまう。本書ではところどころにフーリエやラプラスをはじめ、その時代の物理学者や数学者のエピソードを紹介して疲れた頭をリフレッシュできるように工夫されている。ナポレオンのエジプト遠征にフーリエが同行し、２人の間に交流があったことを僕は本書で知った。（参考：ウィキペディアの記事）
本書の「科学史小話」に登場するのはフーリエ、ラプラス、ナポレオン、オイラー、ガロア、カルノー、ラグランジュ、モンジュ、ニュートン、ライプニッツ、ベルヌーイ、ポアソン、コーシー、アーベル、ヘビサイド、マクスウェル、アンペール、アボガドロ、ファラデー、ハイゼンベルク、ディラック、マルコーニなど多数なので「科学史通」にもなることができる。
竹内淳先生の「高校数学でわかる～」シリーズはこれまでに８冊刊行されていて、どれもお勧めだ。
「高校数学でわかるマクスウェル方程式」―電磁気を学びたい人、学びはじめた人へ
「高校数学でわかるシュレディンガー方程式」―量子力学を学びたい人、ほんとうに理解したい人へ
「高校数学でわかるボルツマンの原理」―熱力学と統計力学を理解しよう
「高校数学でわかる線形代数」―行列の基礎から固有値まで
「高校数学でわかる統計学」―本格的に理解するために
「高校数学でわかる半導体の原理」―電子の動きを知って理解しよう
「高校数学でわかる相対性理論」―特殊相対論の完全理解を目指して
それぞれの本の詳細は竹内淳先生のホームページでご確認いただきたい。
竹内淳先生の著書一覧：
http://www.f.waseda.jp/atacke/list2.html
竹内淳先生の「高校数学でわかる～」シリーズはKindle版も刊行されている。ここをクリックして検索してみてほしい。
実を言うと今回僕がこの本を選んだ理由は「熱の解析的理論：ジョゼフ・フーリエ著、ガストン・ダルブー編纂」（紹介記事）を読むためでもある。
しかしその本は分厚くて読むのに時間がかかるから、読み終わるまでの間もっとレベルを下げて高校の数Iから数IIIレベルの学生にお勧めしたい本を５冊ほど順に紹介することにしよう。この記事や「高校生にお勧めする３０冊の物理学、数学書籍」で紹介した大村平先生の本だ。数Iの段階で挫折してしまった人でも、これらの本を読めば竹内淳先生の「高校数学でわかる～」シリーズが読めるようになるはずだ。
関連記事：
高校生にお勧めする３０冊の物理学、数学書籍
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/f79ac08392742c60193081800ea718e7
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「高校数学でわかるフーリエ変換：竹内淳」（Kindle版）―フーリエ級数からラプラス変換まで
第１章：フーリエ級数
- エジプト
- フーリエが生み出したもの
- サインとコサイン
- 三角関数の直交性：サインの場合
- 三角関数の直交性：コサインの場合
- 三角関数の直交性：サインとコサインの場合
- サインとコサインの間の直交性のまとめ
- ナポレオン
- フーリエ級数の実例
- フーリエ級数の周期性
- フーリエ級数の着想
- フーリエ級数を導く
- フーリエ展開が可能な関数とは？
- ノコギリ波のフーリエ級数
- 帰国後のフーリエ
第２章：複素形式への拡張
- 虚数の導入
- 複素数を座標に表示する方法
- オイラーの公式
- 複素指数関数の微分
- 波を表すのに便利な虚数
- 波動関数
- １８世紀を代表する数学者、オイラー
- 複素形式への変換
- 周期の拡張--２πから２Lへ
- フーリエ級数と量子力学
第３章：フーリエ変換への拡張
- フーリエ級数からフーリエ変換へ
- フーリエ級数の係数を求める
- 方形波の間隔が広がった場合
- 方形波と方形波の間隔がさらに大きい場合
- Σから積分へ
- 単一方形パルスのフーリエ変換
- 同時代の天才たち
第４章：代表的な関数のフーリエ変換
- 指数関数のフーリエ変換
- ガウシアンの半値全幅
- ガウシアンのフーリエ変換
- ガウシアンのフーリエ変換の応用例
- 光パルスの時間幅とスペクトル幅の関係
- ハイゼンベルクの不確定性関係
- 光ファイバーの帯域
- ガウス
- デルタ関数
- デルタ関数のフーリエ変換
- サインとコサインのフーリエ変換
- 代表的なフーリエ変換
第５章：フーリエ変換の性質
- フーリエ変換の性質
- 線形性
- 推移則
- 相似性
- 微分のフーリエ変換
- 積分のフーリエ変換
- たたみ込み積分
- フーリエ変換の応用--熱伝導の問題
- 悲劇の天才、ガロア
第６章：ラプラス変換
- ラプラス変換が活躍している分野
- ラプラス変換とは
- 主なラプラス変換
- ラプラス変換の線形性
- 推移則
- ラプラス逆変換
- ラプラス
- ラプラス変換の利点--微積分方程式が簡単になる
- 微分はラプラス変換でどのように変形されるか
- 積分はラプラス変換でどのように変形されるか
第７章：ラプラス変換を用いた演算子法
- 独学の天才、ヘビサイド
- ラプラス変換を用いた演算子法
- 部分分数展開
- 部分分数展開を簡単に行う方法（１）
- 部分分数展開を簡単に行う方法（２）
- RL直列回路
- 最初のラプラス変換を省略した計算方法
- 無線電信と電離層
- さらなる発展（１）--交流電圧源をスイッチオンした場合
- さらなる発展（２）--周期波のラプラス変換
付録
- 三角関数の公式
- 部分積分
- 指数関数と、サイン、コサインのテイラー展開
- タンジェントについて
- ガウスの積分公式の証明
- 等比級数の和
おわりに
参考図書・資料
さくいん
公式集
アクセス
トータル
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このシリーズばかにしたらいけませんね
しっかり読もうと思います
カントールはフーリエ変換から集合論の着想を得たといいますね
私らからしたら全然関係ないように思いますが