多次元空間へのお誘い（２）：４次元空間での布団干し

３次元空間での布団干し

４次元空間での布団干し

まず３次元空間で布団を干している状況を100円ショップのグッズで再現してみました。（掲載写真）

３次元空間での布団干しでは、ご覧のように線（１次元）の竿に面（２次元）の布団がひっかかっています。

布団に対応する青の布をどのように曲げても赤い竿に絡まりつくことはありません。布の端を竿にくっつければトイレットペーパーのようにぐるぐる巻きの状態にすることはできますが、これは今回の話とは本質的に関係ないので深く追求しないことにします。

次に布団干しが２次元空間でどのようになるか考えてみました。２次元空間とは縦と横だけしかない平面のことです。２次元空間での布団干しは３次元空間での布団干しを垂直に切ってみればわかります。金太郎飴の断面のように、このような形で再現できました。



この状況だと竿は点（０次元）、布団は線（１次元）になります。それぞれ３次元空間のときの竿と布団の次元数から１つだけ次元数が減っていることがわかりますね。

３次元空間では竿は１次元、布団は２次元
２次元空間では竿は０次元、布団は１次元

そして２次元空間の布団干しでは、布団をどのように曲げても竿に絡みつくことがないことも３次元空間のときと同じです。なぜなら布団をあらわす青い線は平面の世界を離れることができないからです。

もし、何らかの異変がおきて平面の世界を離れて布団が竿に絡みついたとしたら、このようになるでしょう。けれども現実にはこのような状況はおきません。（写真では布団の端が平面から浮き上がってしまっていますがご容赦ください。本来は平面にぴったりくっついています。）




さて４次元空間ではどう考えればよいでしょうか？

４次元空間というのは３次元空間の縦、横、高さ、つまりX軸、Y軸、Z軸のどれとも直角になる方向を加えた空間のことです。この４番目の軸の方向は私たちにはけして認識できません。それは平面（２次元）の世界に住んでいる薄っぺらい形をした生物が「高さ方向」を認識できないのと同じことです。彼らは平面の中しか動き回れないですし、見ることができるのも縦と横に広がった平面の世界だけなのですから。

４次元空間に設定する座標軸はX軸、Y軸、Z軸、U軸と呼ぶことにしましょう。（英文字のUを選んだのは後で説明する５次元空間、６次元空間の座標軸で使う英文字を考慮しているからです。）４次元空間は４つの座標軸の方向に無限の先まで広がった空間です。座標軸はそれぞれプラスとマイナスの方向があるので８方向に広がった空間と表現したほうが正確ですね。

少し難しいと感じたとしてもご安心ください。次回の記事で、もっとていねいにご説明いたします。


さて、４次元空間での布団干しの状況は、金太郎飴のように断面で切ってしまったものが３次元での状況になればよいわけです。つまり竿と布団の次元を３次元の場合からそれぞれ１つずつ増やせばよいですよね？

４次元空間では竿は２次元、布団は３次元

100円ショップのグッズであらわせば、この２つが竿（左）と布団（右）です。



奇妙だとは思いませんか？４次元空間ではこの２つのモノが絡まりはしないものの「ひっかかる関係」として存在しているのです。

布団は曲がらなければ竿にひっかかりません。このような立方体の形をした布団がどうすれば曲がるのでしょうか？

人間は４次元空間をイメージできるようには進化していません。視覚にしろ触覚にしろ五感すべてを動員しても４次元空間はイメージできませんし、脳も直観的には４次元空間を認識することができません。

ですから４次元空間で干された布団の様子を図示できるはずがありません。それでも無理して示したのがこの写真なのです。

謎は深まるばかりです。このあたりの理由は、次回以降の記事で説明いたします。


さらに空間を５次元にすると次のようになるでしょう。

５次元空間では竿は３次元、布団は４次元

そのような竿と布団があれば、５次元空間での布団干しができることでしょう。

このように空間の次元数を増やしていけば、次のような表ができあがります。どの次元の空間でも竿と布団はひっかかるだけで絡まないはずです。




ところで３次元空間での布団干しについてですが「布団の次元数だけ１つ減らす」とどうなるでしょうか？

前回の記事で僕がひらめいたのがこのことだったのです。

次元数を減らす前の布団干しはこの写真で示されます。



布団だけ次元数を１つ減らすとこうなるのはおわかりですよね？



竿と布団ではなく「ひもとひも」になってしまいました。

２つのモノが「ひっかかる関係」から「絡まる関係」に変化したことにみなさんはお気づきになったでしょうか？


この続きはまた次回の記事でお話しましょう。


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