{〔第3章〕の紹介(1)}@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/d72f5262eb7ed0273ede42249bab19d3
作業中/21035+[%43P7S1]（茶: 確認中; 灰色: 確認済; 緑: 非慣用記法）
%0:「〔第3章〕の紹介(1)」
・「〔第3章〕の予習(1)」を作らずに直接編集．
%1:まえがき
`▼【[%2].{〔第2章〕の復習（９）★}】に準じてこのファイルでの記法を説明する`▼
%2:資料の参照
`▼
(0)参照の基本形は『「`RefNo[`Site_`ID]」「`Title」@`URL」』/*【[%602](2).[%126].[%78]】*/
(1)参考資料/*「Nexus7では貼り付けたリンクが消滅」*/
①[1_]「〔第2章〕の復習(9)」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/bc9e3cb07faab20a6c2a510d9a61a52b
②[2_]「このファイル」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/d72f5262eb7ed0273ede42249bab19d3
③[78_]「ピークの定理への補足」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/291675702b4ba0355242fbd4efad28b5
④[79_]「ピークの定理(□)関連資料」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/e8b60af195f9178367fb30154bde7914
⑤[7D1_]「〔第3章〕の紹介(1)」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/d72f5262eb7ed0273ede42249bab19d3
⑥[7D2_]「〔第3章〕の紹介(2)」@
(2)「③」,「④」は「①」と同じ
(3)「〔第3章〕の予習(1)」を下書きにして「④」に移動
(4)「⑤」を「③」から「④」に移動して，オンラインで直接編集．/*「作業中表示」*/
(5)「〔第□章〕の紹介(□)」のパラグラフを原著に対応させて「④」で参照する
`▲「①-⑥」は編集用の備忘録
%3:記事の修正`▼【[2_2](4)】`▲/*「[2_2](4)＝[%2](4).「このファイル」」*/
%4:抄録`▼【[2_2](5)】`▲
%431:〔§3.1〕(191)/*対称式*/での追加
`▼
%43P1:〔問3.1〕(192)
%43T1:〔定理3.1〕(195)/*対称式の基本定理*/
`▲
%43P1:〔問3.1〕(192)
`▼
(0)「f(x) = x^{3} + p * x + q = (x - α) * (x - β) * (x - γ) = 0」として次式を「p」,「q」で表せ．
①α^{2} + β^{2} + γ^{2}
②(α^{2} * β^{2}) + (β^{2} * γ^{2}) + (γ^{2} * α^{2})
③((α - β)^{2} * (β - γ)^{2} * (γ - α)^{2})
(1)参考資料
①[_]対称式]@https://ja.wikipedia.org/wiki/対称式
②[5_]「対称式について覚えておくべき7つの公式」@https://mathtrain.jp/sym7
③[7_]「対称式，交代式，基本対称式 - 思考力を鍛える数学」
@http://www.mathlion.jp/article/ar043.html
④[5_ｎ次方程式の解と係数の関係とその証明]@https://mathtrain.jp/vietaformula
(2)「(0)」の解/*「過剰引用を自粛」*/
①「0 - 2 * p」＝「- 2 * p」
②「p^{2}- 2 * (- q) * 0」＝「p^{2}」
③「-27 * q^{2} - 9 * p^{2} * p - 3 * (-2 * p) * p^{2} - p^{3}」＝「-27 * q^{2} - 4 * p^{3}」
(3)「(0)」の解は「(α, β, γ)」を「(1)②」の「(x, y, z)」と考えて次式と連立すればよい．
「x + y + z = 0」「x * y + y * z + z * x = 0」「x * y * z = 0」
`▲ このパラグラフは【2_43P1】
%432:〔§3.2〕(191)/*既約多項式*/での追加
`▼
%43P2:〔問3.2〕(199)
%43T2:〔定理3.2〕(201)/*「F_{P}」上の多項式は整域*/
%43T3:〔定理3.3〕(202)/*有理係数多項式の既約性*/
%43T4:〔定理3.4〕(204)/*Eisenstein の判定条件*/
%43P3:〔問3.3〕(205)
`▲
%43P2:〔問3.2〕(199)
`▼
(0)「P1(x') := x'^{4} + x'^{2} - 6」を因数分解せよ．
(1)参考資料
①[_規約多項式]@https://ja.wikipedia.org/wiki/既約多項式
②[3_既約と可約]@http://hooktail.sub.jp/algebra/Reducible/
③[_アイゼンシュタインの既約判定法]@https://ja.wikipedia.org/wiki/アイゼンシュタインの既約判定法
④[5_アイゼンシュタインの定理 ]@https://mathtrain.jp/eisenstein
⑤[7_]「一意分解整域とその商体における Eisenstein の既約判定法」@
https://konn-san.com/math/eisenstein-criterion.html
(2)整数環を「`Z」，有理数体を「`Q」，実数体を「`R」，複素数体を「`C」で表す．/*「`□」*/
・「⊂」は集合の代数的構造は無視して元の包含関係を表示する．/*「`Z ⊂ `Q ⊂ `R ⊂ `C」*/
(3)多項式「P(x')」の係数の集合を「Coeff`(P(x'))」と略記する．
(4)「(0)」の「P1(x')」は「(x'^{2} - 2) * (x'^{2} + 3)」に等しいので
①「Coeff`(P1(x'))⊂`Z」⇒「P1(x') ＝ (x'^{2} - 2) * (x'^{2} + 3)」
②「Coeff`(P1(x'))⊂`R」⇒「x'^{2} - 2 ＝ (x' - 2^{1/2}) * (x' + 2^{1/2})」
③「Coeff`(P1(x'))⊂`C」⇒「x'^{2} + 3 ＝ (x' - i_ * 3^{1/2}) * (x' + i_ * 3^{1/2})」
`▲「i_」は虚数単位/*【[79_2⑥]】*/
%433:〔§3.3〕(207)/*多項式の合同式*/での追加
`▼
%43P4:〔問3.4〕(208)
%43P5:〔問3.5〕(209)
%63P6:〔問3.6〕(210)
%63T5:〔定理3.5〕(211)/*多項式の１次不定方程式*/
%63T6:〔定理3.6〕(213)/*既約多項式の性質*/
`▲
%43P5S1:〔問3.5〕(209)
`▼
(0)「P1(x') := x^{2} + x - 6」と「P2(x') := x^{2} - x - 12」の最大公約数を互除法で求めよ．
①「パラグラフID」を【[%43P5S1]】に変更
②原著にない「(8)」を追加しただけだから【%□S1]】
③高校生はとりあえず〔定理3.7〕を丸暗記しましょう．/*【[2_43P7S1]】で補足*/
(1)参考資料/*「【[%43P7S1]】に移動」*/
①[_最大公約数#多項式の最大公約数]@https://ja.wikipedia.org/wiki/最大公約数#多項式の最大公約数
②[_多項式の内容と原始多項式]@https://ja.wikipedia.org/wiki/多項式の内容と原始多項式
③[7_mathlion]「多項式の最大公約数，最小公倍数|思考力を鍛える数学」
@http://www.mathlion.jp/article/ar116.html
④[_多項式環#K[X]_の因数分解]@https://ja.wikipedia.org/wiki/多項式環#K[X]_の因数分解
⑤[_最小多項式]@https://ja.wikipedia.org/wiki/最小多項式_(体論)
⑥[_モニック多項式]@https://ja.wikipedia.org/wiki/モニック多項式
(2)「最大公約数」に違和感がある人は「最大公約多項式」あるいは「最大公約元」を使う．
①「GCD`(P1(x'), P2(x'))」ならば分かり易い．/*「greatest common divisor」*/
②「P1(x') ＝ (x' + 3) * (x' - 2)」，「P2(x') ＝ (x' + 3) * (x' - 4)」．
(3)「Coeff`(P(x')) ⊂ `Q」である多項式(有理係数多項式)の集合を「`Q[x']」と表記．
/*「`Q[x']上の多項式の四則演算は実係数多項式のときと同様」*/
(4)「P1(x') ∈ `Q[x']」，「P2(x') ∈ `Q[x']」である多項式の除算「P1(x') / P2(x')」の
商を「Γ`(P1(x') / P2(x'))」，剰余を「Δ`(P1(x') / P2(x'))」と略記する．
(5)「P1(x')/ P2(x') ＝ Γ`(P1(x') / P2(x')) + Δ`(P1(x') / P2(x'))」
/*「4 / 3 ＝ Γ(4 / 3) + Δ(4 / 3)と同様」*/
(6)「P(x')」( P(x') ∈ `Q[x'] )の最高次の項が「x'{n}」( n ∈ `N )であるという命題を
「Monic`(n; P(x'))」と略記．
①「Monic`(2; P2(x'))」だから「P1(x') / P2(x')」の計算が容易．
②「P1(x') / P2(x') ＝ 1 + (2 * x' + 6)」
③「P3(x')」(P3(x') ∈ `Q[x'])の最高次の項が「c * x'^{n}」( (c ≠ 0) )であれば
「Monic`(n; P3(x') / c)」
(7)「(0)」の多項式に対して「GCD`(P1(x'), P2(x'))」を計算すると
①「Δ`(P1(x') / P2(x')) ＝ 2 * x' + 6」
②「Δ`(P2(x') / (x' + 3)) ＝ 0」/*「Monic(1;(x' + 3)にしなくても同様」*/
と割り切れて『最後には「0次式」すなわち定数項だけの多項式になります』(p.209)の意味が分かり難いので，
「GCD`((2 * x' + 2) * (x' + 2), (x' + 1) * (x' + 2))」の計算例を「(8)」に示す．
(8)「P3(x') :=2 * x^{2} + 6 * x + 4」「P4(x') :=x^{2} + 4 * x + 3」と置くと
①「Δ`(P3(x') / P4(x')) ＝ - 2 * x' - 2」/*「Monic(1;(x' + 1)にしなくてもよい」*/
②「Δ`(P4(x') / (x'+ 1)) ＝ 3 * x' + 3」/*「Monic(1;(x' + 1)にしなくてもよい」*/
③「Δ`((x' + 1) / (x'+ 1)) ＝ 1」/*「GCD`((x' + 1), (x' + 2 )) ＝ 1」*/
/*「P3(-1) ＝ P4(-1) ＝ 0 」だから「x'+1」を因数にもつ*/
`▲/*「`Q[x']」の慣用記法は「Q[x]」*/
%43P6:〔問3.6〕(210)
`▼
(0)「(4 * x^{3} - 1) * X(x') + (2 * x^{2} - x) * Y(x') ＝ 1」
を満たす多項式「X(x')」,「Y(x')」を求めよ．
(1)解き方は原著「〔問1.2〕(3)15 * x + 6 * y ＝ 5」の解法(pp27-29)と同様．/*【%41P2.[%1B1]】*/
`▲
%434:〔§3.4〕(216)/*「Q[x]/(f(x))」*/での追加
`▼
%43P7:〔問3.7〕(218)
%43T7:〔定理3.7〕(221)/*既約多項式による体*/
`▲
%43P7:〔問3.7〕(218)
`▼
(0)「P1(x') := x' + 2」,「P2(x') := x'^{2} + x' + 1」を
「`Q[x'] / (x'^{3} - 2)」の式として次の計算をせよ．/*【[2_43P7S1】で補足]*/
①P1(x') + P2(x')
②P1(x') - P2(x')
③P1(x') * P2(x')
④P1(x') / P2(x')
(1)参考資料/*【[2_43P7S1】に移動*/
①[_規約多項式]@https://ja.wikipedia.org/wiki/既約多項式
②[3_既約と可約]@http://hooktail.sub.jp/algebra/Reducible/
③[5_原始多項式とその積について]@https://mathtrain.jp/primpolynomial
④[_多項式]@https://ja.wikipedia.org/wiki/多項式
(2)「(0)」の解法は【[2_43T7]】参照
①x'^{2} + 2 * x' + 3
②- x'^{2} + 1
③Δ`(P1(x') * P2(x') / (x'^{3} - 2)) ＝ x'^{2} + 3 * x' + 4
/*「P3(- 1) ＝ P4(- 1) ＝ 0 」だから「x' + 1」を因数にもつ*/
④(x' + 2) * (x' - 1)
/*「`Q[x'] / (x'^{3} - 2)」は体だから「Δ`(P3(x') / (x'^{3} - 2)) ＝ 1」となる「P3(x')」が存在する．*/
/*「(x'^{3} - 2)」の特殊性〔p.220〕を使わずに互除法だけの方が分かり易い」*/
/*〔p.218〕の不定方程式を無視して互除法で「P3(x')」を求めればよい」*/
`▲/*「P3(x')」の式を修正．「`Q[x']」の慣用記法は「Q[x]」*/
%43T7:〔定理3.7〕(221)/*既約多項式による体*/
`▼
「P(x')」が「`Q」上の既約多項式であれば`「`Q[x'] / P(x')」は体
`▲
%43P7S1:〔問3.7〕への補足
`▼
(0)「P1(x') := x' + 2」,「P2(x') := x'^{2} + x' + 1」を「`Q[x'] / (x'^{3} - 2)」の式として「P1(x') / P2(x')」を計算した結果を示せ．
/*「解」は既述だが「P2(x')」について補足する*/
(1)参考資料
①[_規約多項式]@https://ja.wikipedia.org/wiki/既約多項式
②[3_既約と可約]@http://hooktail.sub.jp/algebra/Reducible/
③[5_原始多項式とその積について]@https://mathtrain.jp/primpolynomial
④[_多項式]@https://ja.wikipedia.org/wiki/多項式
⑤[_巡回符号]@https://ja.wikipedia.org/wiki/巡回符号
⑥[_M系列]@https://ja.wikipedia.org/wiki/M系列
⑦[_原始根]@https://ja.wikipedia.org/wiki/指数_(初等整数論)
⑧[7_]「既約剰余類群と原始根」改行される @https://www.epii.jp/articles/note/math/primitive_root
⑨[79_51BM1]@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/70973604b7e8feea19a140e2e0400bf5
(2)「P2(x')＝(x' - α) * (x' - β)」となる「(α, β)」は誰でも求められる．
①「x'^{3} - 1 ＝ (x' - 1) * (x' - α) * (x' - β)」だから「{1, α, β} は「1」の「3乗根」で
「(1)⑨」の「W`(K' / M) = exp(_i*∠`(K' / M))」を用いると「{1, α, β} ＝ {W`(K' / 3): 1 ≦ K' ≦3}」
②「P2(x')」は原始多項式
(3)一部の工業高校生は授業で「(x'-1) * (P(x')) ＝ (x'^{2^{n} - 1}」である多項式
「P(x')」の性質を学ぶ．/*「メルセンヌ数★」*/
★https://ja.wikipedia.org/wiki/メルセンヌ数
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