魔法陣

この問題は日能研のWebに掲載されていますが、昔からある問題です。

問題

上図の９マスの中に１から９までの数を１つずつ入れて、縦、横、斜めのどの３つの数を足しても同じ数になるようにします。次の問いに答えなさい。

１．３つの数を足すといくつになりますか？
２．Ｅには６が入らない理由を説明しなさい。

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この手の問題が好きな人であればＥ＝５、合計は１５と思いつきます。

色々な考え方がありますが、私の考え方です。



Ｅを通るパターンは上図の４通りがあります。４通りの各合計は同一でＥは共通なので　Ａ＋Ｉ＝Ｃ＋Ｇ＝Ｂ＋Ｈ＝Ｄ＋Ｆ　になります。



１から９までの数の組み合わせで同一となる４パターンは上図の組み合わせしかありません。
各合計は１０で Ｅ＝５ とこれで判ります。
よって各組み合わせの合計は１５。

この理由からＥは６ではありません。
６では無い、他の考え方

１から９の合計は４５。Ｅ＝６であれば４パターンの計算合計でＥは４回計算されています。よって　４パターンの合計＝４５＋６×（４－１）＝６３。
４パターンの合計値で各パターンの合計値は等しいので、この合計を４で割った値は１から９までの何れかの数３つを足した合計になる必要があり、この値は生の整数で少数ではありえません。ところが６３÷４＝１５．７５
よってＥ＝６であることは有り得ません。

ついでに　Ａに入る数も考えて見ます。



Ａを通るパターンは上図の３パターンです。

１から９の数の組み合わせで３パターンの合計が同じになる場合は上図の場合と
４、８、２を除いた場合です。２つの数の合計は各々９，１１，７，１３となります。

同様の考え方で、Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｈは２パターンの合計が同じ組み合わせを１から９の中で探します。

この結果完成したものが



連立方程式を解くのが一般的ですが、紙と鉛筆を持たない電車の中での答えの出し方は以上の通りです。
当然ながら、上下、左右を反転してもＯＫです。