「マッキーのつれづれ日記」

進学教室の主宰が、豊富な経験を基に、教育や受験必勝法を伝授。また、時事問題・趣味の山登り・美術鑑賞などについて綴る。

マッキーの教育:プロだって大きなミスをすることがある!

2015年01月30日 | 教育



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 中学受験をする小学6年生の補習指導をしていた最近の出来事です。都内有名女子校の算数過去問の質問がありました。まず、その問題を載せます。

『ある仕事をするのに、A君は1日5時間ずつ働くと12日で仕上がり、B君は1日6時間ずつ働くと15日かかります。この仕事を2人で1日5時間ずつ働くと、□日と□時間□分で仕上がります。』

仕事に関する文章題には、仕事算・のべ算・ニュートン算などがあります。この問題は、基本的な仕事算です。


では、私がこの質問をした生徒に指導した内容を簡単に述べましょう。(分数の表記は、実際の指導とは異なります。)

「この問題のポイントは?」

「これは、仕事算です。」

「どのように考えるの。」

「まず、全体の仕事量を1と置く。それから、AとBの二人のそれそれの単位時間当たりの仕事量を求めます。」

「そうだね。A君は、1日5時間ずつ12日働いたので、5×12=60時間で1の仕事をしたことになり、1時間あたりの仕事量は、1÷60=1/60。

同様B君は、その仕事をやり終えるのに、6×15=90時間かかったのだから、単位時間当たりの仕事量は、1÷90=1/90となるよね。

すると2人でする1時間あたりの仕事量は、1/60+1/90=1/36となるから、1日で1/36×5=5/36の仕事量をすることができるね。

よって求める時間は、1÷5/36=7と1/5となるので、半端な1/5日をまず時間の単位に変換する必要があるよね。

1日は24時間ではなく、5時間として計算するから、5×1/5=1時間。

すると、この問題の答えは7日と1時間となり、最後の分の単位は0分となるね。最後の単位の数値が0という問題は、ちょっと変な設問だね。

または、1÷1/36=36時間として、36÷5=7あまり1として、7日1時間と解いてもいいね。」

(途中の式や考えは、生徒に聞きながら指導)

このように、仕事算の基本的な解き方は、まず全体の仕事量を1と置きます。そしてそれぞれの単位時間当たりの仕事量を求め、それを使って問題を解いていきます。

あるいは、それぞれの仕事量の最小公倍数を、全体の仕事量とする方法もあります。この方法は、計算が楽ですが、出てくる数値の全体に対する関係性が希薄なので、私は全体の仕事量を1と置く解法が好きです。


さて、この問題は、例えば「7日と0時間15分」といった答えの設定はよくあることです。しかし、「7日と1時間0分」という答えの設定は極めて稀だなと私は思いました。

この説明をした後、しばらくしてこの生徒が再び私の所にやって来て、「先生、答えは分の単位まであります。」と言うではありませんか?

「その問題の解答を見せて!」

その過去問は、学校説明会の時に参加された方に渡す、学校が作成したH26年度の過去問題集でした。答えは、実際の解答用紙に模範解答として記載されたものでした。

その解き方は、私の解き方と「7と1/5日」という数値までは同じでした。しかし、その後の解法は、私が驚いてしまうものでした。

「1/5(日)=24/5=4と4/5(時間) 4/5時間=4×60/5=48(分) 答:7日と4時間48分 」

この入試問題を作り、模範解答を書いた教師は、1日=24時間として計算していますが、この問題は「1日あたり5時間の仕事」ということを全く忘却して解答を作ってしまった恥ずかしいミスでした。


この事例の問題点は、複数の教師による作成問題のチェック機能がなされていなかったこと。それから、その年の入試問題を出題してから、半年以上後の秋の受験生に対する説明会まで、この出題ミスに気づかず訂正することがなかったことの二点です。

最近は、殆どの学校で複数回の試験日を設定し、それぞれに異なる入試問題を作成するので、担当教師の負担は大きいと思われます。都立中高一貫校や自校作成の都立高校では、近年の出題ミスなどを勘案して、問題の共通化を図っているようです。

また都立入試において、採点ミス・集計ミスなどが頻発して大きな問題となりましたが、その結果マークシートによる機械化の一部導入なども、現実の解決法となりました。

秋の説明会のお土産として、過去問題集を作成する(多くの学校で同様な問題集を作成)時まで、出題ミスに気づいていないことを考えると、この学校では今回の事後取り扱い」全く行っていないものと思われます。

このミスが無ければ、合格していた受験生もいた可能性があります。入試の答案用紙を採点中にミスに気づけば、その問題を除外するなどして、問題を最小限に食い止めることもできたはず。それができなかったことを、この過去問のお土産は証明しています。

子どもたちの努力が正当に評価される入試問題作成に、学校も担当教師も気を緩めることなく取り組んでほしいものです。


さて、受験生の皆さん、都内中学入試は目前(2月1日より)です。入試問題を作成する教師でさえ、こうした勘違いをするのです。入試問題を前にして、集中力を高めケアレスミスをすることなく、今までの学習成果を発揮してください。

皆さんの努力が報われますように!


仕事算の指導法について興味ある方は、以下のブログもご覧下さい。

マッキーの算数指導法『特殊算』…『仕事算…その1・中学入試問題《青山学院中等部》』

マッキーの算数指導法『特殊算』…『仕事算…その2・中学入試問題《ラ・サール中学校》』

マッキーの算数指導法『特殊算』…『仕事算…その3・中学入試問題《鴎友学園女子中学校》』

マッキーの算数指導法『特殊算』…『仕事算…その4・中学入試問題《聖光学院中学校》』


延べ算の指導法に興味ある方は、以下のブログも参考にご覧ください。

マッキーの算数指導法『特殊算』…『のべ算…その1・中学入試問題《江戸川学園取手中学校》』

マッキーの算数指導法『特殊算』…『のべ算…その2・中学入試問題《星野学園中学校》』

マッキーの算数指導法『特殊算』…『のべ算…その3・中学入試問題《海城中学校》』


ニュートン算の指導法に興味ある方は、以下のブログも参考にご覧ください。

マッキーの算数指導法『特殊算』…『ニュートン算…その1・中学入試問題《桐朋中学校》』

マッキーの算数指導法『特殊算』…『ニュートン算…その2・中学入試問題《城北埼玉中学校》』

マッキーの算数指導法『特殊算』…『ニュートン算…その3・中学入試問題《渋谷教育学園渋谷中学校》』

マッキーの算数指導法『特殊算』…『ニュートン出題の《ニュートン算》を小学生が解く!』

 

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マッキーの一問必答(9):二等辺三角形の性質を利用する問題(1)

2015年01月26日 | 学習指導法



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 「一問必答」は、「一問一答」に掛けた造語として、今回のシリーズで用います。中学受験した学校に合格するために、ぜひ正解してほしい問題の中で、特に経験的に修得すべき基礎的知識を含む26年度の問題を取り上げ、ポイントを解説します。

 前回に引き続いて、中学入試問題の図形問題で、経験的に覚えていなければならない問題を取り上げ解説します。学校では小学4年生で学習する、二等辺三角形の性質を使う問題を、今回と次回の二回に分けて説明しましょう。

 学校で学習する二等辺三角形の性質を問う入試問題は、頻出問題と言えるほど、今回取り上げた学校以外にも多くの学校で出題されています。


【26年度の入試問題】 (分数の表記および記号が、実際の入試問題と若干異なります。)

 今回は、高輪中学校・品川女子学院中等部・横浜雙葉中学校の入試問題を取り上げます。


1.高輪中学校

下の図のように、正三角形ABCの辺BCをのばした直線と、頂点Aを通る直線が、点Eで交わっています。また、AC=CD=DEです。図の(あ)の角の大きさは何度ですか。




2.品川女子学院中等部

次の図で角アは角イの4倍の大きさで、辺BC,CD,DE,EFの長さは等しいです。三角形AEFが二等辺三角形であるとき、角ウの大きさは□°です。




3.横浜雙葉中学校

下の図の三角形ABCはAB=ACの二等辺三角形で、角アは75度、BC=BF=EF,AD=DEです。イの角度は何度ですか。




【解答と理解しておくべきポイント】

二等辺三角形の定義は、 「二つの辺の長さが等しい三角形」です。山の形の頂上の角を頂角、下の二つの角を底角と言います。二等辺三角形は、2辺の長さが等しいだけではなく、2つの底角の大きさが等しくなります。

また、頂角の大きさが定まると、残りの底角の大きさが決まり、一つの底角の大きさが定まると、残りの底角および頂角の大きさが決まります。


まず、高輪中学校の問題から解説します。

高輪の算数は、問題1に計算4題、問題2が小問4題、その後それぞれ小問が3つずつある大問が3題出題されました。今回の問題は、問題2の小問の一つです。

この種の問題は、二等辺三角形の底角が等しいという性質と、三角形の外角の定理を上手く使って求める、基本的な問題です。

下の図のように、最も小さな底角Eの大きさをと置きます。三角形DCEの外角ADCは、角Eと角DCEの和となりますから、その大きさは△任后

同様に三角形ACEの外角BCAは、角Eと角EACの和ですから、その大きさはと表すことが出来ます。

三角形ABCは正三角形ですので、角BCA=60度=

よって求める(あ)の角の大きさは、,任垢里如■僑÷3=20度




次は品川女子の問題です。

品川女子の算数の問題は、問題1が計算2題、問題2が小問6題、それに小問が2題ずつある大きな問題が4題で構成されています。今回の問題は、問題2の小問の一つです。

条件の「角アは角イの4倍の大きさ」から、角イをもとにしていますので、角イの大きさをと置きます。すると角アの大きさはい箸覆蠅泙后

高輪中学と同様に、二等辺三角形の性質と、三角形の外角の定理を使って、それぞれの角の大きさを下の図のように表してみます。

三角形AEFが二等辺三角形であるなら、頂角の大きさがい如底角の大きさがと表すことができます。

よって、ぁ椨×2=180という式が出てきます。

マル30=180度ですので  瓧凝

よって求める角ウの大きさは、
180−(ァ椨)=180−押瓧隠牽亜檻×18=72度




最後は、横浜雙葉の問題です。

横浜雙葉の算数は、問題1が計算を含む小問8題、問題2は小問4題・問題3が小問3題で構成された大問で作られています。

今回問題は、問題1の小問の一つとして出題されています。

条件を図に記入します。まず一番大切なことは、三角形ABCと三角形BCFは底角が共通の75度ですから、相似な二等辺三角形であることに気づくことです。

頂角75度の二等辺三角形の頂角の大きさは、
180−75×2=30度
よって角A=30度ですので、外角の定理より角EDF=30×2=60度

また角EBF=角ABC−角FBC=75−30=45度、
角BFE=180−45×2=90度

このことから、角EFD=180−(75+90)=15度
角イ=180−(角EDF+角EFD)=180−(60+15)=105度



 以上の問題とその解法を理解すると、こうした問題に目が慣れて来るはずで、そうした経験が、新たな問題を考えるときに解き方のヒントになります。

 次回は、今回と同様に二等辺三角形の性質を使う問題ですが、少し変形された問題について考えてみましょう。

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マッキーの『四季を楽しむ』:1月の新宿御苑

2015年01月22日 | 四季の植物と風景



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 1月12日(成人の日)に、新宿御苑に出かけました。花の少ない季節ですが、12月22日の冬至を過ぎて、日が長くなってきていることを敏感に察知して、幾つかの花が咲き出していました。

 1月の代表的な花の一つに、スイセンを挙げる人は多いでしょう。下の画像は、上がニホンスイセンで、下はペーパーホワイトです。

 ペーパーホワイトは、フサザキスイセンの一種で、見かけは清楚な白い花を付けます。強い「芳香」があると解説しているものもありますが、匂いは臭いと表記した方が実態に合っているでしょう。






 春先に黄色い花を付ける花樹が多いようですが、ロウバイは最も早く咲く花の一つです。この花は、ロウバイの中でも、ソシンロウバイと呼ばれる植物です。

 まもなく、トサミズキ・マンサク・サンシュユ・ミモザなどの黄色い花が、早春を彩ります。



小さなピンクの花をいっぱいつけ、これから長々と咲き続ける下の画像の花は、ジャノメエリカです。



 歴史的建造物である旧御涼亭は、皇太子(後の昭和天皇)の御成婚を記念して、寄付金により中国風涼亭として造営されたそうです。下の画像は、そこから苑内を見渡した画像です。中国風建築物から眺めた日本式庭園の対比は、不思議な雰囲気を醸し出しています。



 平成24年に建て替え工事が完成した御苑大温室は、新宿御苑に入園すれば入館料が無料です。季節を選ばずに、熱帯の植物やさまざまなランを観賞することができます。下のブラシのような花は、オオベニゴウカン(大紅合歓)という植物の花で、とても印象的な花です。









 時間がありましたので、久しぶりに都庁の展望台に行きました。6歳児は、展望はそっちのけで、お土産屋さんの物品の品定めに夢中でした。

 最近、都内でも観光対象となる場所は、外人観光客でにぎわっています。また都庁には、東京の観光案内所があるので、必要な資料を入手できることも、外人観光客が多い理由となっているようです。




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マッキーの一問必答(8):慶應中等部の図形問題

2015年01月20日 | 学習指導法



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 「一問必答」は、「一問一答」に掛けた造語として、今回のシリーズで用います。中学受験した学校に合格するために、ぜひ正解してほしい問題の中で、特に経験的に修得すべき基礎的知識を含む26年度の問題を取り上げ、ポイントを解説します。

 しばらく数量系の問題を中心にピックアップしてきましたが、図形に関する問題にも、経験的知識を必要とする問題がいくつか存在します。そうした問題を中心に、今度は図形関連問題を取り上げ解説していきましょう。


【今春の入試問題】 (分数の表記は、実際の入試問題と異なります。)

 慶応中等部の問題は、学校の難易度に比べ解き易い問題が多いので、慶応中等部に合格するためには、点数差が少ない分、その後の面接が重要となると言えるでしょう。慶応中等部を受験した子どもたちの多くは、テスト後、その出来を自己採点して、「先生、合格したよ!」といった反応を示すほど、比較的出来の良い答案を書くことができます。

 慶応中等部の26年度の算数は、問1が計算4題、問2が小問4題、問3は図形の小問4題、その後4つの大問4題で構成されています。今日取り上げる図形3題は、問3の小問のうちの3題です。

 これらは、入試問題としては、基本的ワンパターン問題と言えますが、今回のテーマ「経験的知識が必要な問題」でもあり、知らないと解くのに苦しい問題です。この出題内容を勘案すると、この問題の出題者は、比較的若手で、中学入試問題を分析してその奥深さを知り始めた数学教師であると、推測できます。

3.(2)

[図1]は、正方形と半円と、中心角が90°のおうぎ形を組み合わせたものです。角Xの大きさは□°です。


                           [図1]

3.(3)

周りの長さが26cmで、最も長い辺の長さが12cmの同じ直角三角形8つを、[図2]のように並べました。色のついた部分の面積は□平方cmです。


                           [図2]

3.(4)

[図3]のように、半径が18cmの半円を、まっすぐな線で2つの部分に分けました。色のついた部分の面積は□.□平方cmです。



                            [図3]

 このシリーズで取り上げる今春の中学入試問題は、私が作成した解説および解答を見ずに、まずは自力で解いてみることをお勧めします。大人には頭の体操になりますし、また受験生は、算数に対する興味や面白さが、倍増するはずです!


【解答と理解しておくべきポイント】

 この問題は、うまく補助線を引けるかどうかが決め手となります。中学数学でも補助線を引くことにより、解決の糸口とする問題は多いのですが、その線を引けるかどうかは、「図形的センス」と考える教師は多いはずです。しかし、今回のテーマである経験的に修得すべき基礎的知識」が重要であって、日頃の学習経験が活用できる知識にまで高められているかどうかが問題だと私は考えています。教師は体系的に教えること、生徒は分析的に考えることが重要です。

まず3.(2)の解答です。
父母の皆さんで、私のこの解法を見ずに正解した方は、Very Good! まず、この問題は、点Aから点Eと、点Bから点Eに補助線を引きます。すると三角形ABEと三角形AEDができますが、いずれも2辺が同じ円の半径となっていますので二等辺三角形です。

補助線を引くことによって、気付かなかったものが見えてくる!

2つの二等辺三角形の低角を図のように、それぞれa度と
b度とすると、以下のことが分かります。
四角形ABEDの内角の和は360度で、角DABは90度ですので、
a×2+b×2+90=360
a+b)×2=270
a+b=135

また、直径BCの上の角(円周角)は90度ですので、求めるXの角度は、
360−(135+90)=135(度)


                              [図4]

次に、3.(3)の解答です。
この問題は、比較的簡単な問題で、解き方に気付く受験生は多かったと思われます。条件から、下のように長さを表すことができます。すると一番大きな正方形から2番目に大きな正方形を引くと、直角二等辺三角形4つ分の面積を出すことができます。

14×14=196
12×12=144
196−144=52

下の図から、2番目に大きな正方形から4つの直角二等辺三角形を引くことにより、求める一番小さな正方形の面積を求めることができます。

144−52=92(平方cm)


                              [図5]

最後は、3.(4)の解答です。
この問題を出題すると、半円から中心角15度のおうぎ形を引く生徒をよく見かけます。中心角15度のおうぎ形に見える図形は、よく考えるとそうではないことが分かるはず。同じ長さの半径2つと弧に囲まれた図形がおうぎ形なので、この場合2辺の長さが等しくないことは一目瞭然。

この問題は、色を塗った部分(弓形)を含むおうぎ形から、低角15度の二等辺三角形を引くことにより求めます。問題は低角が15度の二等辺三角形の面積を求めることができるかどうかです。これは、実は基本事項です。

下の図の斜線部分の直角三角形は、角が30度・60度・90度の特別な三角形です。三角定規にもなっていて、中3の三平方、高1・2の三角比・三角関数にも登場する三角形です。

この直角三角形の斜辺と一番長い辺の長さの比は、2:1であることは、小学4年で知っていなければなりません。斜辺はこの円の半径18cmですので、最も短い辺の長さは9cmです。

おうぎ形の面積から引く二等辺三角形の高さは、いま求めた直角三角形の一番短い辺の9cmです。よって求める面積は、

18×18×3.14×150/360−18×9÷2
=423.9−81
342.9(平方cm)


                              [図6]

 次回は入試頻出問題であり、学校でも小学4年で学習する二等辺三角形の性質を使って解く問題について取り上げ分析してみましょう。


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マッキーの随想:妖怪ウオッチ

2015年01月15日 | 時事随想



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 年末年始、唯一の休みだった元日に、6歳児にせがまれ映画「妖怪ウオッチ」を見に行きました。ある集まりの忘年会で、「妖怪ウオッチ」とはいったい何なのか、私に質問がありました。一般の大人、特に小さなお子さんがいらっしゃらない人は、子どもに大人気の「妖怪ウオッチ」をよく知らない方が多いようです。

 大晦日の紅白で、「ゲラゲラポーのうた」が披露され、初めて妖怪ウオッチが流行っていることを知った方もいたことでしょう。

 妖怪ウオッチは、クロスメディアプロジェクト作品として、まずマンガ作品が発表されました。本命のニンテンドー3DSソフト『妖怪ウォッチ』が発売されましたが、売れ行きはイマイチだったようです。しかし、テレビアニメ版が放送され、また玩具の妖怪メダルが販売され、小学生を中心にヒットしました。

 その結果、続編の『妖怪ウォッチ2 元祖/本家』が爆発的な売れ行きを示し、私が6歳児と見た『映画 妖怪ウォッチ 誕生の秘密だニャン!』や、NHK紅白歌合戦では企画コーナーが設けられるなど、妖怪ウォッチの社会現象が起きました。



 もともと子どもは、幽霊や妖怪それに怪獣など、人間の空想の産物をとても好む傾向があります。かつてのゲゲゲの鬼太郎・おばけのQ太郎・怪物くん・学校の怪談、最近では地獄先生ぬーべーなどが子どもに受けました。

 『妖怪ウォッチ』誕生に最も強いインスピレーションを与えたのは、「ポケットモンスター」(ポケモン)であることは疑う余地はありません。妖怪ウオッチにはポケモン同様に、様々なキャラクターが登場します。中心的な妖怪は、ジバニャン。生前はアカマルという名前のネコで、飼っていたエミという少女に、車に轢かれ死んだとき、「ダサい」と言われ、それが理由で地縛霊(だからジバニャン)となったプリチー族の猫妖怪だと、6歳児から教えてもらいました。

 腕に付けた妖怪ウオッチに妖怪メダルを「セットオン」し、メダルと対応した妖怪を「召喚」することや、妖怪が「進化」することなどはポケモンにそっくりです。妖怪の中には、ゲゲゲの鬼太郎に登場する伝統的な妖怪も出てきます。

 そうしたさまざまなキャラクターの特徴を覚え、ラップが入ったような妖怪ウオッチの歌と、その歌に合わせた振り付けを覚えて、幼児たちは得意になって歌いながら踊り出す、これが妖怪ウォッチ社会現象と言える現状です。

 今年は、春先に『アナと雪の女王』が大ヒットして、アナ雪現象が起きました。「妖怪ウオッチ」は、アナ雪よりも長い期間、子供たちを中心に話題を集めることは確かです。

 キャラクターが登場すると、決められた定型の口上があるのですが、それを口まねして、幼児たちは楽しんでいます。童謡で育った私は、妖怪ウオッチの歌とその振り付けは、歌詞が長くテンポも速く、歌詞に合わせた動作を覚えるにも、大変だろうと思ってしまいます。けれども、最近の幼児は、難なくこれをこなしてしまうのが驚きです。

 特に御同輩の皆さまのために、参考に以下の歌詞を載せます。ついていけますか?6歳児は、歌詞と振り付けを完全に覚え、夢中になっています。一時期、アナと雪の女王を振り付けを交えながら歌うのに夢中だった6歳児は、もう飽きたといって最近は歌うことをしません。目まぐるしい流行の速さです。


【ようかい体操第一】

ウィッスッ!
ヨーでる ヨーでる ヨーでる ヨーでる
ようかいでるけん でられんけん
ローイレ ローイレ 仲間にローイレ
友達大事
妖怪 妖怪 妖怪
ウォッチッチ!!
カイ カイ キイ キイ
クイ クイ ケイ ケイ
来い 来い 妖怪
ウォッチッチ!!

今日は朝から寝坊した
夢のなかでは起きたのに
どうして 朝は眠いんだ?
どうして 朝は眠いんだ?!
ドォワッハッハー!
よ う か い のせいなのね
そうなのね
ウォッチ!今何時?
(一大事)
ウィッスッ!
ヨーでる ヨーでる ヨーでる ヨーでる
ようかいでるけん でられんけん
ヨーでる ヨーでる ヨーでる ヨーでる
ようかいでるけん でられんけん
ローイレ ローイレ 仲間にローイレ
友達大事
妖怪 妖怪 妖怪
ウォッチッチ!!
v カイ カイ キイ キイ
クイ クイ ケイ ケイ
来い 来い 妖怪
ウォッチッチ!!

どうしてあの子にふられたの
こんなにイケメンなのに
どうして僕ちゃん振られたの?
どうして僕ちゃん振られたの?!
ドォワッハッハー!
よ う か い のせいなのね
そうなのね
ウォッチ!今何時?
(辛いぜ マジ!)

ウィッスッ!
ヨーでる ヨーでる ヨーでる ヨーでる
ようかいでるけん でられんけん
ヨーでる ヨーでる ヨーでる ヨーでる
ようかいでるけん でられんけん
ローイレ ローイレ 仲間にローイレ
友達大事
妖怪 妖怪 妖怪
ウォッチッチ!!
カイ カイ キイ キイ
クイ クイ ケイ ケイ
来い 来い 妖怪
ウォッチッチ!!

今日はピーマン食べられた
いつもは絶対残すのに
どうしてピーマン食べられた?
どうしてピーマン食べられた?!
ドォワッハッハー!
よ う か い のせいなのね
そうなのね
ウォッチ!今何時?
(いけるぜこの味)
ウィッスッ!


【ゲラゲラポーのうた】

1番
ゲラゲラポー ゲラゲラポー ゲラゲラポッポ ゲラゲラポー
ゲラゲラポー ゲラゲラポー ゲラゲラポッポ ゲラゲラポー

瞬間伝わるメッセージ ビュンビュン 計画サクサク ズンズン
でも充電切れたら大変だ 繋がんなきゃみんなプンプン
ねえベンリって何だろう? 未来に抱いた不安感も
全部ゲラッポー 時計パッと マ・キ・モ・ド・セ
おてらのおやねは 夕やけ舞台
あのまち このまち 見渡して
かあさんガラスが鳴いたとさ

ゲラゲラポー ゲラゲラポー ゲラゲラポッポ ゲラゲラポー
雲が踊れば 風が歌いだす
ゲラゲラポー ゲラゲラポー ゲラゲラポッポ ゲラゲラポー



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