「マッキーのつれづれ日記」

進学教室の主宰が、豊富な経験を基に、教育や受験必勝法を伝授。また、時事問題・趣味の山登り・美術鑑賞などについて綴る。

マッキーの教室:与えられた条件がシンプルな問題(2)、しかし?

2016年02月08日 | 教室の風景



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 前々回の『マッキーの教室:与えられた条件がシンプルな問題(1)、しかし?』に続いて、今日も簡単そうなので、解けないとちょっと焦ってしまう問題の第二弾です。中学生からの質問でしたが、この問題は注意力があれば、中学受験の小学5・6年生も解くことが可能です。



【問題】

 上の図のように、三角形ABCの辺BC上に点Dがあり、AD=AC、∠CAD=2∠BADである。AB=15cm、CD=8cmのとき、三角形ABDの面積を求めなさい。(上の画像の問題だけ見て、解いてみてください。あえて解説の図は一番下に載せます。図形の問題の多くは、解説の図を見てしまうと、面白くなくなってしまいますから。)

【解答・解説】

 問題条件は、いたってシンプル。この手の問題は、高さ共通の時、底辺の長さと面積は比例することを用います。けれども全体の面積は、この条件だけでは出すことができません。

 この問題を解くポイントは、三角形ADCが二等辺三角形であること、それから直角三角形の合同を上手く利用することです。三角形ABDの面積を求めるには、先ほど説明した辺の比と面積を利用できないので、底辺をABとした高さを求めることをまず考えます。


 二等辺三角形ABDの頂点Aから対辺に垂線を引き、その交点をEとします。また、点Dから辺ABに垂線を引き、その交点をFとします。

 三角形DAEと三角形CAEは、直角三角形で斜辺と他の一辺AEが等しいので、合同です。したがって角DAE=角CAE=,箸覆蠅泙后

 また、三角形ADEと三角形ADFは直角三角形で、斜辺ADが共通で、かつ条件より角DAE=角DAF=,箸覆蠅泙垢里如∋鯵儼ADEと三角形ADFは、直角三角形特殊合同条件の「斜辺と一鋭角がそれぞれ等しい」ので合同となります。

 よって、三角形ABDでABを底辺とした高さDFの長さが4cmであることが分かります。このことから、求める三角形ABDの面積は、15×4×1/2=30平方センチメートルと求めることができます。



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マッキーの学習指導法:今年の開成中学入試問題「算数」

2016年02月04日 | 学習指導法



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 難関中学を含めた中学受験に合格するためには、合格者と不合格者の得点の乖離が最も大きい科目である算数で、しっかりと得点することが重要です。男子上位進学校の算数が、その中でも最も難しいと言われていますが、それでもフィギアスケートでトリプルアクセルを跳ぶ離れ業のような問題ではありません。

 トップ校の算数を解くためには、基本的な考え方をしっかりと理解して、それを様々な問題に応用できる「身に付いた知識」にまで高めておく必要があります。また、基本的計算力を駆使して、ミスなく解答を導き出す注意力が大切です。

 また最近では、頭脳に汗して書き並べていく、根気強さも要求されるようになりました。規則性を見つけ出す発想力も要求されています。

 では、今年のトップ校の入試問題を使って、その問題の出題意図を含め、受験対策に役立つ解説を、数回にわたり伝授したいと思います。ただし、取り上げる入試問題は、私なりの解き方で説明しますが、上位校の算数の解法は幾通りか考えられます。その一つの解き方を説明することになります。

 まずは、今日は私立中学の雄・開成中学の問題です。大きな問題が4題出題され、それぞれ小問3〜4題で構成されています。問題1は、速さに関する問題。問題2は、割合に関する問題。問題3は、規則性の問題で、書き上げて考える問題。最後の問題4は、円に関する長さや面積を求める問題で、最後の4番目の小問の求積問題が、ちょっとした発想力が必要な問題となっています。

 それぞれの小問の内、最後の小問を除きさほど難しい問題ではありません。したがって、そうした問題を完全に正解することが必要ですが、100点をとる必要はないので、最後の小問を捨てても、しっかりと見直して正解する戦法もあります。算数を得点源にする受験生は、最後の小問も意欲的に解く必要があります。

【問題1】

 2つの地点X、Yを結ぶ道があります。A君はXからYへ向かって、B君はYからXへ向かって移動し、地図上の中間地点Mで出会うことにしました。地図には等高線が描かれていなかったため、B君は、図1のように2人とも水平な道を移動すると考えました。B君は、自分がA君より速く移動できること、おのおのがつねに同じ速さで移動することの2つをふまえて、A君が出発してから15分後に出発しました。これで、2人はちょうどMで出会うはずでした。
 ところが、実際には図2のような下り坂がありました。X%の下り坂では移動する速さがX%だけ増すことになります。ここで下り坂がX%であるときは、

X=(下向きに移動する長さ/横向きに移動する長さ)×100(実際の表記とは異なる)

のことを指します。それでも無事に、2人はちょうどMで出会いました。このとき、以下の問いに答えなさい。なお、3辺の長さの比が3:4:5や5:12:13となる直角三角形を利用してもかまいません。

(1)A君がXを出発してからMでB君に出会うまでに、「実際にかかった時間」は、「事前にB君が想定していた時間」の何倍ですか。

(2)B君がYを出発してからMでA君に出会うまでに、「実際にかかった時間」は、「事前にB君が想定していた時間」の何倍ですか。

(2)A君がXを出発してからMでB君に出会うまでに「実際にかかった時間」を求めなさい。

【解答・解説】

  グラフを見ると、道のりが平坦ならX地点とY地点から中間地点Mまで、16目盛りあります。A君が平坦な一目盛りを歩く時間を1と仮定します。すると、B君が想定したA君のMまでの到達時間は、16÷1=16ということになります。

 ところが実際のMまでの道のりは、下り坂が10と平坦な道が8でした。そこで、まず下り坂10の道のりを進む時間を計算します。

 下り坂で速さの増す割合は、下向きに移動する長さ/横向きに移動する長さ=6/8=3/4ですので、A君の下り坂の速さは、1+3/4=7/4となります。よって、A君のMまでの実際の時間は、10÷7/4+8=96/7となります。

 よって求める割合は、96/7÷16=6/7・・・,療え、と出すことができます。

 B君もA君と同様に求めます。B君はA君よりも速いのですが、計算上B君の速さも一目盛り進む速さを1とすると、想定到達時間は16となります。実際の道のりは、下り坂13と平坦な道4となっています。

 条件に従い、下り坂で速さの増す割合を求めると、5÷12=5/12となります。よってB君の下りの速さは、1+5/12=17/12となります。この数値を使い、下り坂13と平坦な道4の実際の時間は、13÷17/12+4÷1=224/17となります。

 よって求める割合は、224/17÷16=14/17・・・△療え

さて、ここまでは順調に解けましたか?計算ミスしなければ、さほど難しい問題ではありません。最後の問題が解けるかどうか。

そこで、ここまで出て来た条件を整理しましょう。

A君の想定していた時間をA(分)と表し、B君の想定していた時間をB(分)と表すと、次のような文字式で整理することができます。上位校を目指す場合、小学生でも「条件を文字式で整理」することは大切です。(求めるA君の「実際にかかった時間」をAとして、式をたてることはできません。)

   A−B=15(分)・・・初めの想定時間差
   A×6/7−B×14/17=15(分)・・・実際も時間差は同じだった

この消去算の式を解くことにより、A君とB君の想定した時間を求めることができます。

 この文字式を解くことを、小学生では「消去算」と呼びますが、中学生では「連立二元一次方程式」となります。そこで、公立中学1年で学習する一元一次方程式と、中学2年の連立方程式は、解けるようにしておくことが必要です。

 この式を計算すると、A=315/4  (B=255/4)と出ます。

 よって求める「A君が実際にかかった時間」は、,能个靴審箙腓鰺用して、315/4×6/7=135/2(分)と出すことができました。よって、1時間7分30秒・・・(2)の答え

 四谷大塚の予習シリーズでは、割合のつるかめ算などというピンとのずれたタイトルで指導していますが、「消去算」として教えた方が妥当な問題です。

 開成中学算数の入試問題でも、小問3題中、2題が比較的解き易い問題で構成されています。合格するためには、その2題を落とさない学習が必要でしょう。このシリーズでは、トップ校の算数を取り上げ、日ごろの学習法を伝授します。

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マッキーの教室:与えられた条件がシンプルな問題(1)、しかし?

2016年01月31日 | 教室の風景



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 難易度の高い複雑な問題が解けない場合は、子どもたちはあきらめることができます。けれども、条件がシンプルで簡単そうに見える問題が解けないと、焦りを感じるはずです。今日は、中学生から質問があった問題を取り上げますので、解説は見ずに、まずは皆さんの頭脳に刺激を与えてみてください。



 今日の問題は、ある私立中学2年生の二学期・期末試験に出題された問題です。そのテストは、相似に関する小問が幾つも並んでいて、その中の一つとして出された問題です。内容としては、中学3年で学習する相似を利用する問題です。

 条件が少ないので、どう解いたらよいのか分からない人も多いことでしょう。この問題を解くキーワードは、ABCが二等辺三角形であること、平行線を利用して相似を用いた比例式を使うことです。

 
今日の問題は、上の図が提示されていて、辺CDの長さXを求める問題です。図から読み取れる条件から、ABCが二等辺三角形で、ADは三角形の外角の二等分線になっています。このあたりの条件をうまく利用する問題です。突如、画像を上に載せたのは、下の説明と離すためです。下の説明の図を見てしまうと、なあんだ!という問題です。



 では、この問題の解き方を説明しましょう。まず点Dから辺ACに並行に線を引き、辺ABの延長線との交点をEとします。角BACと角BEDとは、平行線の同位角で等しくなります。よって、EBDは、DB=DEの二等辺三角形となりますので、DB=DE=5+Xであることが分かります。

 角CADと角ADEは、平行線の錯角ですので等しくなります。その結果、EADはAE=DEの二等辺三角形になりますので、AEの長さも5+Xと表すことができます。

 二角相等の条件で、ABCとEBDが相似になりますので、そのことを利用して比例式を作ります。

 BC:BD=BA:BEより、5:(5+X)=8:(8+5+X)
 8×(5+X)=5×(13+X)
   40+8X=65+5X
      3X=25
       X=25/3

 よって求める辺CDの長さXは、25/3ということが分かります。今日の問題は、ちょっとした補助線を引くことにより解く問題です。図形の問題を解くには、センスが必要だという指導者がいます。けれども、基本事項を単なる知識として覚えるのではなく、練習でその知識を使えるようにすることにより、「図形的センスがない!」などという言葉を吹き飛ばしてください。

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マッキーのお出かけ:宝塚月組公演『舞音 -MANON-』・『GOLDEN JAZZ『を観て

2016年01月25日 | お散歩・お出かけ・遊び



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 1月24日(日)、東京宝塚劇場で行われている、月組公演『舞音-MANON-』を観ました。宝塚歌劇は、熱狂的なファンがいる一方で、ほとんど縁遠い人も少なくはありません。かつ、宝塚ファンの圧倒的多数が女性ですので、観劇に出かければ、男性客の少なさを実感するはずです。その宝塚を観るようになったきっかけは、私の教室に小学3年生の頃から高校2年生までの間、宝塚音楽学校に入学する直前まで通っていた生徒がいたからです。

 その生徒は、昨年の春に音楽学校を卒業し、晴れてタカラジェンヌとして舞台にデビューしました。彼女の卒業公演とも言える「文化祭」を、宝塚バウホールまで出かけて観ることができました。私にとってその文化祭は、とても感動的な経験でした。以下のブログは、その時の感想を綴ったものです。

マッキーの教育:宝塚音楽学校 第101期生 文化祭

 その後、『1789 -バスティーユの恋人たち-』で初舞台を経験し、BOW WORKSHOP 『A−EN(エイエン)』のレイモンド(プロム実行委員)などを演じて頑張っています。そのことを私の娘に話すと、自分も宝塚ジェンヌの知り合いがいるとの話。小学校時代の同級生で、よく一緒に遊んでいたその友人は、星組で礼真琴という芸名で活躍しているそうです。その友人は、近年では最も著名なタカラジェンヌ柚希礼音に憧れて、音楽学校を受験したとのことです。目指す目標がある人は、頑張れるのでしょう。



 今回は、wifeと小学1年生の娘と一緒に、初めて家族揃って宝塚を観劇しました。1年生は、昨年の『1789 -バスティーユの恋人たち-』に続いて、二回目の宝塚となりました。一回目は、教え子のタカラジェンヌのお母様と二人で観劇させてもらいました。その時は一階席だったそうで、舞台から降りて来たタカラジェンヌを間近に見ることができたことが、よほど印象的だったようです。そのため、今回二階S席に座った途端に、「一階席の方が良かった!」とわがままを言い出す始末でした。



 今回の『舞音-MANON-』は、フランスの植民地だったインドシナ、現在のベトナムを舞台とした、ロマンティック・ラブストーリーです。エキゾチックな東南アジアの舞台背景と歌や踊りが印象的な歌劇でした。官能的な女性ファン・トゥイ・リエン(マノン)(愛希 れいか)に翻弄されるフランス将校シャルル・ド・デュラン (龍 真咲)の二人を中心に、「愛とは何か」・「人生をかけた恋愛」といったテーマが描かれた作品です。

 高貴な出身であるデュランは、将来の出世が約束さるであろうインドシナ総督の一人娘カロリーヌ(早乙女 わかば)との婚約を破棄して、マノンとの愛に全てを投げ打つ人生を決断します。最後の結末がどのようになるかは、この場では綴りませんので、どうか想像してみてください。

 他の主なキャストは、シャルルの真実の心を表すもう一人のシャルル・ド・デュランを美弥 るりか 、海軍士官学校時代からのシャルルの親友クリストフ・モランを凪七 瑠海、マノンの兄で社会からはみ出した場所で生き、金の為なら何でもする男ファン・チ・クオンを珠城 りょう、 切れ者の警察長官ギョーム・ベロンを星条 海斗などです。

  小学1年生にとって、大人の恋愛ストーリーは前回の作品よりも難解な作品でしたので、劇の進展よりも舞台装飾や踊りなどに興味を持ったようです。舞音の後のGOLDEN JAZZでは、舞台と観客が一体となったショーが展開しますが、歌に合わせて1年生も手拍子を打って楽しんでいました。

 教え子のタカラジェンヌは、現在「研1」ですので、本人の書いた出番表を確認しながら、歌劇の中にその姿を確認することができました。彼女は最も長身なので、どちらかと言えば探し易いタイプです。下積みともいえる役割を演じながら先輩の演技を吸収して、芸の道に精進し、人間的にも大きく成長してほしいと願っています。



 観劇した後、日比谷からしばらく歩くと、東京駅に向かって長々と街路樹に、イルミネーションが飾られています。頬を膨らませて(下の画像)、「もうクリスマスは終わったよね!」という小学生の反応でした。けれども、冬枯れした街路樹が続くオフィス街の夜を彩るイルミネーションは、ちょっぴり季節外れではありますが、悪くはないと感じました。



 西高東低の極めて強い冬型の気圧配置になった1月25日の早朝、各地で今年の最低気温を記録しました。26階からの富士山は下の画像のように、真っ白に冠雪して綺麗に眺めることができました。冬の厳寒を感じる季節ですが、教室の受験生にとっては、ここしばらく熱い戦いが続きます。




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マッキーの受験アドバイス:今年も受験シーズンに

2016年01月21日 | 受験



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 埼玉方面の中学入試が10日からスタートし、いよいよ中学受験の季節となりました。また、大学センター試験が、全国一斉に16日・17日の両日行われました。そして、都内の私立高校推薦入試が1月22日から始まり、いよいよ私立と都立の高校の受験が始まります。受験生と受験生の保護者の方は、これからしばらくの間、気の抜けない日々が続きます。

 今日は、後悔の残らない受験を目指して、受験生とその保護者の皆様に、長年の経験で培った入試直近の心構えを伝授しましょう。

 入試直前には、学習の内容を深めることは無論のこと、精神面と健康面において、できるだけ良い状態を保つことを心掛けることが大切です。そのためには、受験生だけではなく家族全員が協力して、そうした状態を作り出すことが肝要です。

 ともすると、受験生はナーバスになって、効果的な学習ができなくなったり、体調も崩すことがあります。ましてや、インフルエンザが流行する時期にもあたり、気持ちのバランスを崩すことが、風邪にかかる原因ともなります。

 しかし、受験直前だからと言って、あまり特別なことをする必要はありません。前向きな気持ちを維持すること、最後まで、自分の弱点を攻略する積極的な学習を続けることが必要でしょう。

 ただ、この時期には、夜遅くまで学習することは避けて、朝方の学習にシフトすることは必要です。一般的な入試は、昼前までに勝負は決まるのですから、昼飯を食べた後から頭脳が快調に動くような生活スタイルでは困ります。

 今までに綴ってきたブログで、受験直前に必要なことを述べたものを以下に載せます。参考にご覧ください。今日は大寒ですが、すでに寒桜などが咲きはじめています。受験生の皆さんも、志望校に合格して、我が世の春を実感してほしいと願っています。



マッキーの受験アドバイス:風邪をひかないための体調管理

マッキーの随想:脳を活性化できるか? 受験生の『 ブレインフーズ』

マッキーの受験必勝アドバイス…(1)入試直前の過ごし方

マッキーの受験必勝アドバイス(2)受験日前日と当日の注意点

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