理由も知らずに公式当てはめれば答えが出る、そんなの学習じゃないですよね。
そういうことを理解もせずに今までこの方法ですいの体積求めてきた人に向けて何故こうなるかの解説記事です。
四角すいを例にします。
すいの頂点Pから底面に向けて垂線を引いてhとして、垂線と底面の公転をQとします。
底面の四角形ABCDからqに向かって直線を引くと、4つの三角すいが出来ますね。
出来た三角すいABQPを例にとって体積を求めます。
ここで角柱の体積の求め方は底面積*高さなのを思い出します。
三角すいを角柱に見立てて、底面積(つまりABQ)*高さで体積を出そうとします。
しかし角柱ではないのでABQを底面とする場合特定の高さを決められません(丁度角柱が斜めに削がれているような形になっているので)
そこで平均の高さという概念を使います。
つまり底面からの3点の高さ(つまりABP)の平均を高さとするのです。
よって高さが(0+0+h)/3に決まります。
つまり三角すいABQPの体積は、底面積ABQ*(0+0+h)\3となります。
この要領で残りの3つも出します。
そうするとBCQ*h/3、CDQ*h/3、DAQ*h/3がでますね。
この3つと最初に出したABQPの体積を足せば求めたい体積ABCDPがでます。
ABQ*h/3+BCQ*h/3+CDQ*h/3+DAQ*h/3が体積です。h/3でくくれますね。
(ABQ+BCQ+CDQ+DAQ)h/3になります。よく見るとカッコの中は三角形同士の面積の和、つまり底面積となっています(最初に分割して生まれた三角形たち)ので、底面積に戻してあげましょう。
よって、底面積*h/3となります。
正直言って公式丸暗記でそれがどうしてその公式の形となっているのか、知らないで使って問題解けても学習にならないと思うんです。
かつての、うちの高校の先生が、「意味が分からなくてもとりあえずこの公式覚えておいて使えば解けるから!テスト赤点とるなよ!」とか言って定積分か何かの式を覚えさせようとしてるの見てホントに気持ち悪いと思いました。そんなので問題解けても勉強出来る訳でもなんでもなく作業が出来るってだけですよ。
公式必死に覚えるのは関数電卓でいいんです。人として生きてる僕たちは数字の意味、文字の意味、公式の意味を知らなければ学習とは言いません。
数学者の名言みたいなので「数学において記憶すべきことは、公式ではなく思考の過程である」見たいなのがありましたがホントこれにつきます。
学習じゃない学習を学習だと思ってするおろかな人にはなりたくないです。