アマデウス先生 @amadeus_senseiファゴット、フルート、オーボエ、ホルン、クラリネットといった管楽器のための協奏曲は、作曲依頼のあった作品か、親しい友人や特定の優れた演奏家のために作曲されたものである。simplog.jp/pub/14878815/46
Danach laßt uns alle streben
Brüderlich mit Herz und Hand!
Einigkeit und Recht und Freiheit
Sind des Glückes Unterpfand.
単位元1を持つ可換環境RからRへの写像δが、Rの任意の元x,yに対してつねに次の2条件:(i) δ(x+y)=δ(x)+δ(y); (ii) δ(xy)=δ(x)y+xδ(y); を満たすとき、δを微分(derivation)または微分子(differentiation)という。
環RとRにおける互いに可換ないくつかの微分とを考えあわせたものを微分環という。以下、Rが単位元1を共有する部分体を含む場合だけを考える。特に、R自身が体である場合は微分体(differential field)という。
以上では微分環Rに含まれる部分体の標数には触れていないが、標数が0でない場合にも、応用上友好になるように定義をするために、上記の微分の代わりに下記の高階微分を用いて定義することもある。
RからRへの写像δ(0),δ?,δ?…の列δ={δ(v)}が、Rの任意の元x,yと、負でない任意の整数μ,νに対してつねに次の4条件:(i) δ(λ)(x+y)=δ(λ)(x)+δ(λ)(y);
(ii) δ(λ)(xy)=Σδ(α)(x)δ(β)(y)(加法はα+β=λ,α≧0,β≧0を満たす整数α,βのすべての組にわたる);
(iii) δ(λ)(δ(μ))=┌λ+μ┐δ(λ+μ);
└λ ┘
(iv) δ(0)(x)=x; を満たすとき、δをRにおける高階微分(higher differentiation)という。Rにおける2つの高階微分δ={δ(v)},δ'={δ'(v)}が可換とは、負でない任意の整数λ,μに対してつねにδ(λ),δ'(μ)が可換なことをいう。
4元数群(quaternion group)はHamiltonの4元数体の8つの元{±1,±i,±j,±k}から為る群と同型である。また、奇素数pの場合には、位数p?の元を含む群と単位元以外のすべての元の位数がpとなるような非可換群がある。
これらの群Gのように、中心Z(G)の位数がpで、剰余群G/Z(G)が基本アーベルp群であるような構造を持つ群のことはエクストラスペシャル(extra-special)p群と呼ぶ。このような群は単純群の研究において、あるp元の中心化群の正規部分群としてたびたび出てくる。
特に、剰余数G/F(G)は(uZ(ZG),vZ(G))=u^-1v^-1uv∈Z(G)によって与えられる歪対称な双線形形式を持つ有限体GF(p)上のベクトル空間とみることができる。4元群は位2の元をただ1つしか含まない。
この群の拡張として、一般4元数群(generalized quaternion grop)というものがある。これはσ^2n-1=1,τστ^-1=σ^-1,τ?=σ^2n-2なる関係を持つ2つの元σ,τによって生成される位数2?の群である。
またσ^2n-1=1=τ?,τστ^-1=σ^-1+2n-2なる関係を持つ2つの元σ,τで生成される位数2?の群をセミダイヘドラル群(semidihedral grop)と呼ぶ。