０×0＝？

＜　0はなぜ何をかけても0になるのか？ゼロの掛け算について｜アタリマエ！ (atarimae.biz)　＞

以上のサイトを参考に「０×０＝？」について考えた。

そもそも…算数での「０」とは、とのような場合であるか？

[　](箱)とするなら、
[　●　　]とは箱に●ひとつ、[●　●]は、箱に●ふたつ、[●●●]は箱に●みっつ…

では、●が０個とは、[　　　]であり、箱の中に●がない、
また、[〇〇〇]であっても、箱の中に●を求めるなら、●は0個、であろう。

算数の「０個」とは、目的とする物が０個であり、何もない…とは限らない。

目的物以外のものがあっても、目的物は「０」個もとなる。

「3×０＝？」


初め見た時、机の上に[●●●]が、あった。
次に見たら、机の上に[●●●]は、なかった。

この場合は、現実的には、
ひとつ、机の上のその場所には、何もなかった⇒「0」と。
ふたつ、机の上には、別のモノがあるが●はない場合の「０」

これを数式にするなら、
初めは、●が三個入っている箱がひとつ、あった⇒３×1
次に見たら、●が三個入っていた箱がない、⇒３×０、となろう。


では、「０×3＝？」、

ひとつ、[　　　　][　　　　][　　　　　]てあり、空箱の中に●なし、がみっつ、
または、[〇〇〇] [〇〇〇] [〇〇〇]の場合に、箱の中に●を求めるなら、〇はあっても、●はない。

では、０×０＝？


初めは、[●●●][●●●]⇒３×2　　
つぎは、[●●●]⇒３×1
そして、[　　　　　]⇒3×0(●が三個の箱がない)
次に、？？？…箱もなくなったなら、「０×0」


初めから[　　　　　　][　　　　　]⇒●がない、空箱がふたつ⇒0×2
次に、[　　　　　]⇒０×１、
そして、　？？？　空箱も無くなった⇒０×0＝何もなくなった。

０×０とは、ある状態の変化の結果を数式で表す時に生じるモノ。
そこに初めから、何もない状態で「０×０」とは書き得ないのだろう。

では、足し算で考えてみよう。

[●]、[●●]、●一つ箱一つ、●二つの箱一つ、
箱は１＋1＝二つ、でも、●は1＋2＝3個。

[　　]、[　　●]、⇒箱は１＋1＝２、●は、０＋1＝１、

[　　]、[　　　]⇒箱は１＋1＝２、●は、０＋0＝0、

そして、[　　　]⇒箱は１＋0＝１、●は０＋0＝0、
最後は、？？　　　箱も●もなし…０＋0＝０、


「０」or 零についての定義・概念は、以下のサイトを参考にするとよい、でしようね♪

＜意外と知らない「ゼロ」の持つ意味と概念―あなたも「ゼロ」という数字から、知的探求、始めてみませんか？－　|ニッセイ基礎研究所 (nli-research.co.jp)　＞

「12÷3」を絵にするなら…

(あ)[●●●●][●●●●]「●●●●」÷3＝[●●●●]
(い)[●●●][●●●][●●●][●●●]÷3＝「●●●]●

(あ)の除法は、●12も[]3も３等分できた。全ての３等分で⇒等分除
(い)の除法は、●12は３等分できたが、[]4の３等分は無理⇒包含除

この[]が箱なら、４個の箱を３等分したら、箱が壊れて、箱ではなくなる。
だから、4箱の姿形のままの3等分は無理。
それでも、４個の紙箱の紙合計量の３等分なら可能。

等分除とは、全体、姿形も内実も壊さない等分。実態も実体も壊さない等分。
包含除とは、内実の等分はできても、姿形は変形する等分。

細胞から細胞分裂なら等分除。
細胞を２つに切るなら包含除。



以上↑から、言える事は、以下↓のような事です。



除法には以下の２種類がある。

(ア)完璧・完全な等分である等分除。
(イ)完璧ではない不完全な包含除。

↑上記の言葉を言い換えるなら、以下↓のようになる。

完璧な等分とは、直接的・間接的等分可能な分け方。
完全な等分とは、間接的な等分だけが可能な分け方。

例えば、
薄い折り紙なら人間が直接手でも、数値化でも、機械をでも等分可能。
しかし、厚い鉄板は、人間の手で直接等分不可能。


例えば、
一つのケーキを手だけを使っての正確な等分は無理。
ナイフを使っての正確な等分も無理。
でも、ケーキの重さ、縦・横の長さ…に数値化したなら、正確等分が可能。
でも、数値化しても機械を使わないと、その数値と完全一致の分け方はできない。


また以下のようにも考えられる。


(a)　１２本の鉛筆を３人分けたら、一人に4本。
(b)　１２本の鉛筆を一人3本ずつ分けたら、４人に配れる

式でかくなら、

(a) 12＝4本/人×3人＝１２本
(b) 12＝3本/一人×4人＝12本


文章題にするなら、
(A) 12本の鉛筆を3人に分けたら、一人□本？
　　　　(式)　12＝□×3

(B)　12本の鉛筆を一人に3本ずつ分けたら□人分？
　　　　(式)　１２本＝3×□

(A)は、全体12人の塊を３等分した人数を求める。(等分除)
(B)は、全体12人から部分３人の塊を引いた時の回数を求める(包含除)


加法・減法から書くなら、

(a) １２本の鉛筆を３人分けたら、一人に4本。

　　　4本＋4本＋４本＝１２本
　　　　4本×3＝12

(b) １２本の鉛筆を一人3本ずつ分けたら、４人に配れる

　　　１２本－３本－３本－３本－３本＝0
　　　12本－３本×4＝０
　　　３本×４＝12


(A)12本の鉛筆を3人に分けたら、一人□本？
　　　(式)　12＝□×3
　　　(式)　　□＋□＋□＋＝12



(B)　12本の鉛筆を一人に3本ずつ分けたら□人分？
　　　　　　(式)　 １２本＝3×□
　　　　　　(式)　１２本＝３本＋３本＋……加法式にできない

それでも、以下のような図に出来る、
●●●●●●●●●●●●＝12●
この図から以下のように、C人さんDさんEさんの３人に一回に一つずつ分けるなら、

1回目　C●　　　　D●　　E●　　　　残―9●
２回目　C●●　　　D●●　　E●●　　　残―6●
３回目 C●●●　　D●●●　　E●●●　　　残―3●
４回目　C●●●●　　D●●●●　E●●●●　　残―0
減法式にするなら、2－3＝9、9－3＝６、６－3＝３、3－3＝0
　　1２から、３を４回引いて０、　　
だから、3こ＋3こ＋3こ＋3こ＝12こ、で□は４人分
　　　　　　　　　

　　　　　　　　

続・等分除と包括除について～

さて…では～以下のような場合を考えてみよう。

30個の同じアメを３人で分ける場合～

等分除～１２÷3＝10　　　一人10個。


では、
味の違う四種類のアメ⇒
Aアメ３個、 Bアメ6個 、Cアメ9個、Dアメ12個で
合計30個を３人で文句なく等しく分ける場合を考えてみよう。

この場合～
A アメ３個・Bアメ６、Cアメ９、Dアメ12を、
それぞれを、～３÷3＝A１、６÷３＝B2、９÷3＝C３、１２÷3＝D4…と3で分ける(等分除)、
その後、
「A・BB・CCC・DDDD」×3セットを作り一人に１セット配る(包含除)～
一人当たり、A１個＋B２個＋C3個＋D４個＝１０個…となる。

え？エ？e？　なんとビックリ！
包含除の初めに、等分除あり！



同質の全体を全体的に等分するなら「等分除」。
異質の総合体の同質部分からの等分「包含除」。


全体を一度に等分する方法が「等分除」、
個々の部分を等分して、セットを作るなら「包含除」。

そのモノの全体を理解してから等分するか？
そのモノ全体を知らずに、知り得る個々の部分から等分するか？

言うなれば、
全体から始める「哲学」と部分から始める「科学」
の関係に酷似しているが…

等分除と包括除について～

等分除と包括除について～

除法には、等分除と包括除の二通りの考え方がある。
除法とは、数量的にモノを分割・分配する為の演算方法である。

等分除とは、全体的に一度に分割する考え方。
包括除とは、部分的に数回で分割する考え方。

例えば、「１２÷3」の場合～

１2個の●を、AさんBさんCさん３人で分ける時、


等分法は、「●●●●●●●●●●●●」を
一度に、「●●●●　●●●●　●●●●」と３分割して、
Aに４個●、Bに4個●、Cに4個●…という考え方。


包括除は、「AとBとC」を合わせて３人なので、
「ABC」の三人分を「●●●　●●●　●●●　●●●」から
一回ずつ分割して3人に分ける考え方。


一度目、「●●●」⇒「A●・B●・C●」
二度目、「●●●」⇒「A●・B●・C●」
三度目、「●●●」⇒「A●・B●・C●」
四度目、「●●●」⇒「A●・B●・C●」

四度の合計で、A４個、B4個、C４個…

この図だけなら、どちらの考え方も対して違わないが…
例えば、以下のような場合なら

「a・b・c・d」の4種が3個ずつ合計で12個を以下のように箱に入っていた場合。



等分除⇒「a・b・c・d」　「a・b・c・d」 「a・b・c・d」⇒ (4×3＝12)
分割所⇒「a・a・a」　「b・b・b」　「c・c・c」　「d・d・d」⇒(３×4＝12)


これらは、
横に書かれいるた通りの考え方で分けるのがベストと言えよう。


仮に、aaa bbb ccc ddd を、等分除で分けるなら、箱から出して、「a・b・c・d」を３セットつくる必要があり、
同様に「a・b・c・d」×３を、包括除で分けたいなら、箱から出してaaa bbb ccc dddをつくる必要がある。

そもそも…このような二通り「考え方」は、上記のような二通り現実状態の「分け方」から生じたモノであろう。
従って、「等分除・包含除」の考え方を体得させたいなら、上記のような現実を設定するのがベスト。

そもそも…
除法を知らない、乗法の体得も未熟な小学生に
「除法」を教えるには、現実のモノを操作する形で五感での体験が重要でベスト。


それは、割り算を掛け算から教えるのではなく、
モノの分け方・等分割・等分配を手の操作で体験的に教える。

その過程で、上記のような方法でなら「等分除・包括除の名称」は知らなくても…、
現実的な「等分除・包括除のやり方」は、体験する事になろう。


具象像で図示するなら以下であろう～

a b c d
a b c d
a b c d

a b c d を上記のように並べて、


横は、「a b c d」が、縦に3セットだから、3人で「a b c d」を1セットで４個。
縦は、「a」と「b」と「c」と「d」が3個ずつだから、a⇒b⇒c ⇒d と、４回と配って一人に合計で4個。


これは、「3×4」と「4×３」の「区別と連関」を像で考えたモノでもある。

続・割り算について…

「割り算」を初めて習う小学三年生に対しての「割り算の」の説明～

ネット「https://i-learn.jp/article/4274」で非常に分かり易く解説している。

割り算には、「等分除」と「包含除」の二種類がある。

等分除とは、１２個を４人で等分すると⇒12÷４⇒３・３・3・3
包含除とは、12個を4個ずつ分けると⇒12÷４＝3⇒４・４・4

この違いが分かりますか？

図に書くなら～

等分除～1２の四等分すると～

「●●●」と「●●●」と「●●●」と「●●●」です。

包括除～1２を四個ずつ分けると～
「●●●●」と「●●●●」と「●●●●」となります。

このように、「１２÷4＝３」を像化すると二通りの像になりえます。

答えが同じ「3」であっても、「一人３個」と「全部で3セット」

一人一人の個々の個数が「3個」と全体の構造数が「3セット」






ここで…「１２÷３」の除法計算を、「３×□＝12」の九九表から求める事は、
言うなれば、「x×3＝1２」といった…
方程式から求める代数計算であり…算数とは言い難い。


九九表の記憶もまだまだの児童が多くいるクラスでは、九九表からではなく。
現実の分配から教えている～

１２本の鉛筆を３人に同じ本数を配る時は、
トランプカードの配り方同様に、一人に一本ずつ配っていく。
一人一本で四人なら、
一巡で1本、二巡で8本、三巡12本⇒全て配り終える。
一巡に一人一本ずつだから、三巡では、一人三本。
ここで、前回に気付けなかったやり方に気付いた。

それは、12本の四等分と考えるなら、
初めに1２本を半分ずつに分ける「6本と６本」、
次に、「６本と６本」を更に半分ずつ「『3本・3本』と『3本・3本』、
結果的に四人に３本ずつ配る事が、児童に実感可能である。


現実の鉛筆１２本を4本ずつに分けるのは、「割り算」を知らない児童にとっても簡単である。