直線と平面の方程式

質問 <3779> 2010/03/18
from=sin
「ベクトル直線と平面の方程式」
平面 α: 4x - y - z = 6, 直線 l : 1 - x = y + 1 = (z - 2)/4 があるとき,
直線 l を含み, 平面 α とのなす角が 45°となる平面の方程式を求めよ。

★希望★完全解答★

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解答:
最近の高校の教育課程ではこういう問題を扱わなくなったので解き方が分からない人も多いのであろう。
常套手段としては, 先ず直線の方程式を二平面の方程式に分解し, 続いてその pencil の法線 vector を考えるのである。
先ず, 直線 l を
1 - x = y + 1,
y + 1 = (z - 2)/4
という二つの平面に分解する。
書き換えると
x + y = 0,
4y - z + 6 = 0
である。
平面 x + y = 0 と α は 45°の角度ではない (実際は 30°) ので, pencil
t(x + y) + (4y - z + 6) = 0
を考える。 書き換えると
tx + (t + 4)y - z + 6 = 0
である。 これの法線 vector は (t, t + 4, -1), α の法線 vector は (4 , -1, -1) だから, これらが 45°を成すとすれば
|t – 1|/((√2)√(2t² + 8t + 17)) = 1/√2.
従って
|t – 1| = √(2t² + 8t + 17).
t² - 2t + 1 = 2t² + 8t + 17
t² + 10t + 16 = 0
(t + 2)(t + 8) = 0.
故に t = -2, -8.
t = -2 の時 2x - 2y + z - 6 = 0.
t = -8 の時 8x + 4y + z - 6 = 0.

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尚, 投稿した時のものと少し解法を変えてある。