無理函数の最大最小

問題 (数学 I): y = (√x) + √(1 - x), 0 ≦ x ≦ 1 とする時, y の値の範囲を求めよ。

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解答: 明らかに y ≧ 0 である。
ここで
y² = x + (1 - x) + 2√(x(1 - x)) = 1 + 2√(x(1 - x)).
更に
x(1 - x) = -x² + x = 1/4 - (x - 1/2)².
0 ≦ x ≦ 1 だったから 0 ≦ 1/4 - (x - 1/2)² ≦ 1/4.
0 ≦ x(1 - x) ≦ 1/4
0 ≦ √(x(1 - x)) ≦ 1/2
0 ≦ 2√(x(1 - x)) ≦ 1.
1 ≦ 1 + 2√(x(1 - x)) ≦ 2
1 ≦ y² ≦ 2.
y ≧ 0 だったから 1 ≦ y ≦ √2.

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微分すると簡単なのだが, 数学 II 迄の範囲でと言うので, 以上の様に考えた。

三角函数の不等式

0 ≦ θ ²θ - 2sinθcosθ + 2sin²θ ≦ 3 を解け。

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解:
4cos²θ - 2sinθcosθ + 2sin²θ ≦ 3(sin²θ + cos²θ)
cos²θ - 2sinθcosθ - sin²θ ≦ 0
cos2θ - sin2θ ≦ 0
sin2θ - cos2θ ≧ 0
(√2)sin(2θ - π/4) ≧ 0.
ここで 0 ≦ θ < 2π より - π/4 ≦ 2θ - π/4 < 4π - π/4.
従って, 0 ≦ 2θ - π/4 ≦ π, 2π ≦ 2θ - π/4 ≦ 3π.
π/8 ≦ θ ≦ 5π/8, 9π/8 ≦ θ ≦ 13π/8.

三角関数の最大最小

質問 3869 2014/3/27
高橋 「三角関数の最大最小」
y = sin x - cos x + 1 の最大最小の値を合成ではなく, ベクトルの内積を用いた場合どうなるのでしょうか?

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解答:
|y - 1| = |(1, -1)・(sin x, cos x)| ≦ (√2)√(sin^2 x + cos^2 x) = √2.
等号成立は (1, -1)//(sin x, cos x) 即ち x ≡ 3π/4 (mod 2π).
故に -√2 ≦ y - 1 ≦ √2
1 - √2 ≦ y ≦ 1 + √2.

(y = (1, -1, 1)・(sin x, cos x, 1) だと Cauchy-Schwarz で等号が成立しない。)

最大と最小

QNo.6177080 203800

p, q, r, s, x, y は実数。
それぞれの和が 24, それぞれの 2 乗の和が 126 のとき p の最大値と最小値の差はいくらですか
投稿日時 - 2010-09-12 14:59:53

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解答:
ANo.1 nag0720

p が最大値または最小値をとるとき, q = r = s = x = y であることが証明できれば,
p + 5q = 24
p^2 + 5q^2 = 126
これを解いて, p = 9 または p = -1 より,
最大値と最小値の差は, 10.
q = r = s = x = y の証明は, もし, x > y としたら,
x' = x - α
y' = y + α
とすると,
p^2 + q^2 + r^2 + s^2 + x'^2 + y'^2
= p^2 + q^2 + r^2 + s^2 + (x-α)^2 + (y+α)^2
= 126 - 2α(x - y - α).
よって, 0 < α < x - y となる α を定めると,
p^2 + q^2 + r^2 + s^2 + x'^2 + y'^2 < 126
となり, pは最大でも最小でもない。
(詳細は省きますが, 上記と同じ論法で p + β となる β ≠ 0 の存在を示すことができます)<br>
投稿日時 - 2010-09-12 16:24:55

最小値

QNo.6167546 shortcake27
数学の問題です

正の数 x, y が 1/x + 1/y = 1 を満たすとき, x + y の最小値を求めよ

という問題です。
私はこの式を変形した x + y = xy を満たす数を求めればいいと考えましたが, これからどうすればいいかわかりません。 代入していくしかないのでしょうか?
また, この方法が正しい解き方なのかもわかりません。
もし間違っているならば, 正しい解き方を教えて頂けませんか?
どうかよろしくお願いします。

投稿日時 - 2010-09-08 14:45:30

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解答:
ANo.2 mister_moonlight
考えられる方法はいくつかある。

(解法-1)

x + y = xy = k とすると, x > 0, y > 0 から相加平均・相乗平均より x＋y ≧ 2√(xy) → k ≧ 2√k.

k > 0 から 2 乗すると k ≧ 4. 等号は x = y = 2 の時。

(解法-2)

x + y = xy = k とすると, x と y は t² - kt + k = 0 の 2 つの正の実数解。
従って, 判別式 ≧ 0, 2 解の和 > 0, 2 解の積 > 0 から, k ≧ 4, 等号は x = y = 2 の時。

(解法-3)

x + y = xy から (x - 1)(y - 1) = 1 で x > 0, y > 0 の部分。
x + y = k は傾きが -1 の直線から x + y = k が, 双曲線: (x - 1)(y - 1) = 1 に接する時に最小となる。

投稿日時 - 2010-09-08 15:10:13