線形代数、解き方の方針が分かりません

質問: No. 7887546
kanamio

2×2 行列の A, B が (A + B)² = A² + B² 且つ,
(A + B)³ = A³ + B³ を満たすとする。
(1) B²A = -BA² であることを示せ。
(2) B^mA + (-1)^mBA^m = 0 であることを数学的帰納法により証明せよ。
(3) (A + B)^m = A^m + B^m を示せ。

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証明:
(1) 先ず (A + B)² = A² + AB + BA + B² = A² + B² なので
AB = -BA.
そして
(A + B)³
= (A + B)²(A + B)
= (A² + B²)(A + B)
= A³ + A²B + B²A + B³
= A³ + B³
だから
B²A = -A²B.
ここで最初の式も使って
右辺 = -A(AB) = -A(-BA) = (AB)A = (-BA)A = -BA².
(2) (1) より m = 2 で正しい。
従って
B^{m + 1}A
= B(B^mA)
= B((-1)^{m - 1}BA^m)
= (-1)^{m - 1}B²A^m
= (-1)^{m - 1}(B²A)A^{m - 1}
= (-1)^{m - 1}(-BA²)A^{m - 1}
= (-1)^mBA^{m + 1}.
(3) (2) より
(A + B)^{m + 1}
= (A + B)^m(A + B)
= A^{m + 1} + A^mB + B^mA + B^{m + 1}
= A^{m + 1} + A^mB + (-1)^{m - 1}BA^m + B^{m + 1}.
ここで数学的帰納法で
(-1)^mBA^m = A^mB
を示す。
(1) により m = 2 で正しい。
(-1)^{m + 1}BA^{m + 1}
= -((-1)^mBA^m)A
= -(A^mB)A
= -A^m(BA)
= -A^m(-AB)
= A^{m + 1}B.
従って数学的帰納法で言えた。
ここで前に戻ってこれを使うと
(A + B)^{m + 1}
= A^{m + 1} + A^mB + (-1)^{m - 1}BA^m + B^{m + 1}
= A^{m + 1} + A^mB - A^mB + B^{m + 1}
= A^{m + 1} + B^{m + 1} □

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証明を見ればわかるように, 二次の正方行列でなくても成り立つ。
又, (2) の元は Ｂ^m*Ａ + Ｂ*Ａ^m = ０ であったが m = 3 で既に成り立たないので, これは修正した。

行列式

線形代数 等式の証明です。 kazu799

問題を解いていて、この問題でつまづいてしまいしました。

どなたか, この問題わかる方がおりましたら、ご教授お願いします。

問. 次の等式を証明せよ。
δ_ij = n (i ≠ j),
　　 = i (i = j)
A = (δ_ij)
とするとき,
|A| = (-1)^n-1 n! となることを証明せよ。

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この δ_ij は通常 Kronecker の δ として用いられるものと違うし, 原文では証明すべき式の左辺が A なのが一寸気になるのだが, そこは好意的に解釈することにする。

証明:
要するに, 行列 A は

1 n n n … n n
n 2 n n … n n
n n 3 n … n n
n n n 4 … n n
………………
n n n n … n-1 n
n n n n … n n

だから, 行列式を計算する時, 全ての行から, 最後の行を引けば

1-n 0 0 0 … 0 0
0 2-n 0 0 … 0 0
0 0 3-n 0 … 0 0
0 0 0 4-n … 0 0
………………
0 0 0 0 … -1 0
n n n n … n n

となる。
従って, n 列展開すれば得られる。

行列の冪

御手洗景子 2010/7/2 1:18
次元を下げて
{{1, 2}, {1, 1}}の n 乗を推測可能でしょうか。
可能でなければ他の手法でお願い致します。

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解答:
固有方程式
det{[t - 1, -2], [-1, t - 1]} = 0
を解くと, t = 1 ± √2 が分かる。
固有値 1 + √2 に対応する固有ベクトル (の一つ) は {[√2] [1]} (列ベクトル) で
固有値 1 - √2 に対応する固有ベクトル (の一つ) は {[√2] [-1]} (列ベクトル) である。
従って P = {[√2, √2] [1, -1]} と置くと B = P^-1AP = diag(1 + √2, 1 - √2) となる。
よって Bⁿ = P^-1AⁿP = diag((1 + √2)ⁿ, (1 - √2)ⁿ).
だから
Aⁿ = P diag((1 + √2)ⁿ, (1 - √2)ⁿ)P^-1
= (1/(2√2)
{[(√2)((1 + √2)ⁿ + (1 - √2)ⁿ), 2((1 + √2)ⁿ - (1 - √2)ⁿ)]
[(1 + √2)ⁿ - (1 - √2)ⁿ, (√2)((1 + √2)ⁿ + (1 - √2)ⁿ)]}.

対称変換

御手洗景子

G = {[cosθ, sinθ]
[sinθ, -cosθ]} としたとき, Gⁿ をいくつかの n で計算して, 一般の n (正負とも) について, その形を証明せよ。

No.10749 - 2010/07/02(Fri) 09:30:11

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解答:
計算すると G² = E (単位行列) であることが分かるので,
G^2m = E,
G^{2m + 1} = G
である。

実は G は, 原点を通り x 軸の所為の部分となす角が θ/2 である直線 x sin(θ/2) - y cos(θ/2) = 0 に関する対称変換なのでこの結果は当然である。

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一般に, 変換 ι が ι○ι = id を満たすとき, ι は対合 involution であるといわれる。 (○ は合成)
G はこのような変換の一例である。

対称変換

質問 3793 2010/6/30 from=御手洗
「行列」
[cosφ -sinφ]
[sinφ cosφ] = D(φ),
[cosφ sinφ]
[sinφ -cosφ] = G(φ) としたとき,
G(2φ) = D(φ)・M・D(-φ) なる行列 M を求めよ。

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解答:
D(φ) は原点中心, 角度 φ の回転変換なので D(φ)^-1 = D(-φ).
そういうわけなので
M = D(-φ)G(2φ)D(φ)
だから後は計算すればいい。
D(-φ)G(2φ) = G(φ).
従って M = {[1, 0], [0, -1]}.