因数分解

因数分解せよ。
(1) $\left(a^2 -1\right)\left(b^2-1\right)+4ab$
(2) $xyz\left(x^3 + y^2 + z^3\right) - \left(x^3y^3 + y^3z^3 + z^3x^3\right)$

解答:
(1) $\left(a^2 -1\right)\left(b^2-1\right)+4ab$
$=\left(b^2-1\right)a^2 + 4b\cdot a -\left(b^2 - 1\right)$
$=(b-1)(b+1)a^2 + 4b\cdot a - (b-1)(b+1)$
$=\left((b-1)a+(b+1)\right)\left((b+1)a-(b-1)\right)$
$=(ab-a+b+1)(ab+a-b+1)$.
(2) $xyz\left(x^3 + y^2 + z^3\right) - \left(x^3y^3 + y^3z^3 + z^3x^3\right)$
$=yz\cdot x^4 - (y^3 + z^3)x^3 + yz(y^3 + z^3)x - y^3z^3$
$=yz(x^4 - y^2z^2) - x(x^2 - yz)(y^3 + z^3)$
$=yz(x^2 - yz)(x^2 +yz) - x(x^2 - yz)(y^3 + z^3)$
$=(x^2 - yz)\left(yz(x^2 +yz) - x(y^3 + z^3)\right)$
$=(x^2 - yz) \left(yz\cdot x^2 - x(y^3 + z^3) + y^2z^2\right)$
$=(x^2 - yz)(yx - z^2)(zx - y^2)$
$=(x^2 - yz)(y^2 - zx)(z^2 - xy)$.

二次方程式の解

複素係数の二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が相異なる二つの実数解を持つ必要十分条件を求めよ。

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解:
二次方程式 $ax^2 + bx +c =0$ が相異なる実数解 $\alpha$, $\beta$ を持っていたとすると,
$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解されるはずなので, 方程式
$\ds{x^2 + {b\over a}x + {c\over a} = 0}$ は実数係数の二次方程式となり, $x$ に関する判別式 $D$ は
$\ds{D = \left({b\over a}\right)^2 - 4{c\over a} > 0}$
を満たす。
逆は明らかである。

即ち, 求める条件は
$\ds{{b\over a},\ {c\over a}\in \mathbb{R}}$
且つ
$\ds{D = \left({b\over a}\right)^2 - 4{c\over a} > 0}$
である。

五次方程式

問題: (1) x⁵ + x + 1 (mod 7) を因数分解せよ。
(2) 既約ではない多項式 x⁵ + x + 1 を (Z[x] で) 因数分解せよ。

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解答:
左辺を f(x) とする。 f(0) = 1, f(1) = 3, f(-1) = -1, f(2) = 0 なので, f(x) は x - 2 ≡ x + 5 (mod 7) で割り切れる。 Z[x] で割り算して
x⁵ + x + 1 = (x - 2)(x⁴ + 2x³ + 4x² + 8x + 17) + 35
≡ (x + 5)(x⁴ + 2x³ + 4x² + x + 3).
今度は g(x) = x⁴ + 2x³ + 4x² + x + 3 と置く。
g(0) ≡ 5, g(-1) = 3, g(2) ≡ 4, g(3) ≡ 2, g(-3) ≡ 0 (mod 7) なので, g(x) は x + 3 で割り切れる。
g(x) ≡ x⁴ + 3x³ + 9x³ + 4x² + x + 3
≡ (x + 3)x³ + (x + 3)・6x² + (x + 3)
= (x + 3)(x³ + 6x² + 1).
そして第二因子は 0, ±1, ±2, ±3 の何れを代入しても 0 にならないから (Z/7Z)[x] 上既約。
つまり x⁵ + x + 1 ≡ (x + 5)(x + 3)(x³ + 6x² + 1).
(2) この多項式は (x ± 1) では割り切れないことが直ぐに分かる。 それ以外で Z[x] の一次式で割り切ることが出来るものは存在しないから, Z[x] で可約ということは, 二次式と三次式の積として表される以外にない。
(x + 5)(x + 3)(x³ + 6x² + 1)
= (x² + 8x + 15)(x³ + 6x² + 1)
≡ (x² + x + 1)(x³ - x² + 1) (mop 7)
であり, この最後の部分を展開するとちゃんと元の多項式に戻るので, これで Z[x] 上の因数分解になっている。
[別解]
この多項式が (x ± 1) では割り切れないので Z[x] 上, 二次式と三次式の積に分解される所までは同じ。
x⁵ + x + 1 = (x² + ax + 1)(x³ + bx² + cx + 1)
と置くと, 右辺 = x⁵ + (a + b)x⁴ + (1 + ab + c)x³ + (b + ac + 1)x² + (c + a)x + 1.
係数を比較すると b = -1, c = 1 - a から a² + a - 2 = (a - 1)(a + 2) = 0, -a² + 1 = 0 から a = 1, b = -1, c = 0 である。 従って先ほどの結果を得る。

方程式の共通解

NO : 17229 答えだけでも教えてください
うらっし 2012/10/27(Sat) 01:05:59

f(x)= x³ + 2ax² + a(a² - a - 1), g(x) = x² + ax - a とする。
(1) 方程式 f(x) = 0, g(x) = 0 が共通解を持つような実数 a の値をすべて求めよ。
(2) またそのような a の値のそれぞれに対し f(x) = 0 の解を求めよ。

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解答: (ここに何故か投稿出来なかったので)
共通解があるとすれば, それは f(x) - xg(x) = 0 とも共通解を持つ。
f(x) - xg(x)
= a(x² + x + a² - a - 1
なので a = 0 とすれば, その時, 元の式から f(x) = g(x) = 0 は x = 0 を共通解に持つ。
a ≠ 0 の場合:
h(x) = x² + x + a² - a – 1 とすると, f(x) = g(x) = 0 の解は, h(x) = 0 の解でもある。 そしてそれは g(x) - h(x) = 0 の解でもある。
そして
g(x) - h(x) = (a - 1)(x - (a + 1)) = 0
とすると, a = 1 か又は x = a + 1 である。
そこで a = 1 としよう。
この時 f(x) = x³ + 2x² - 1, g(x) = x² + x - 1 で
f(x) = g(x)(x + 1) だから, g(x) = 0 の解は双方とも共通解で, x = (-1 ± √5)/2.
一方 x = a + 1 とすると, g(a + 1) = 2a² + 2a + 1 = 0 でなければならないが, a に関する判別式を採ると D/4 = 1 - 2 < 0 となって実数解をもたないので, この場合は不適。

因数定理

質問 <3820> 2011/7/10
from=pochi
「方程式」
[問題]3 次方程式 -4x^3+3x=1の解をすべて求めよ。
文系だったので、導き方がわかりません。
よろしくお願いします。

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解答:
移項して 4x^3 - 3x + 1 = 0. ここで P(x) = 4x^3 - 3x + 1 と置く。
P(-1) = -4 + 3 + 1 = 0 だから因数定理により P(x) は x + 1 で割り切れる。
割り算を実行すると 4x^3 - 3x + 1 = (x + 1)(4x^2 - 4x + 1) = (x + 1)(2x - 1)^2 = 0.
従って, x = -1, 1/2.