複素積分の問題

複素積分の問題 投稿者：tukiumi 投稿日：2009年 7月20日(月)13時16分58秒
新参者で申し訳ありませんが、質問させていただきます。

I(ω) = ∫[-∞,∞] cos(ωx +ξ) e^(-x^2/a^2) dx
= (√π)a cosξe^-(ωa/2)^2

となることを複素積分を用いて表せ


という問題なのですが、どのように解答すればいいのか分からずに困っております。
ヒントなどあれば、よろしくお願いいたします。

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Re: 複素積分の問題 投稿者：phaos 投稿日：2009年 7月23日(木)22時36分27秒
tukiumiさんへのお返事です。

腸炎で臥せっておりまして回答が遅くなりましたことをお詫び申し上げます。

ここで既に同じ問題に解答が与えられておりますが,
それとほぼ同じです。

I(ω) = Re[∫_(-∞)^∞ e^(i(ωx +ξ))e^(-x^2/a^2)dx]
で,
被積分函数 = e^(iξ)e^((-x^2 + iωa^2x)/a^2)
= e^(iξ)e^(-(x - iωa^2/2)^2/a^2)e^(-ω^2a^2/4)

Gauss 積分の一般論から
I(ω) = cosξ・e^(-ω^2a^2/4)・a√π.
こちらの 例 45, p. 18, (6.33), (6.34) も参照のこと。