x>0における微分方程式 xy"+(x+4)y'+3y=4x+4を考える。(1)v=x^rがxv"+(x+4)v'+3v=0の解であるようなrの値を求めよ。(2) (1)で得られたrに対してy=(x^r)uとおくとき、uを満たす微分方程式を求めよ。(3)yの一般解を求めよ。
— 数学問題Bot (@math_uni_bot) July 13, 2013
解答:
(1) v' = rx^(r-1), v'' = r(r-1)x^(r-2).
従って
xv'' + (x + 4)v' + 3v
= r(r - 1)x^(r-1) + r(x + 4)x^(r-1) + 3x^r
= r(r - 1)x^(r-1) + rx^r + 4rx^(r-1) + 3x^r
= r(r + 3)x^(r-1) + (r + 3)x^r
= (r + 3)x^(r-1)(r + x) = 0.
よって r = -3.
(2) y = x^(-3)u だから
y' = -3x^(-4)u + x^(-3)u', y'' = 12x^(-5)u - 6x^(-4)u' + x^(-3)u''.
従って
xy'' + (x + 4)y' + 3y
= 12x^(-4)u - 6x^(-3)u' + x^(-2)u''
+ (x + 4)(-3x^(-4)u + x^(-3)u')
+ 3x^(-3)u
= (x^(-2) - 2x^(-3))u' + x^(-2)u'' = 4x + 4.
故に
u'' + (1 - 2/x)u' = 4(x + 1)x^2.
(3) (u')' + (1 - 2/x)u' = 0 とする。
(u')'/u' = 2/x - 1.
log(u'/C) = 2log x - x
つまり u' = Cx^2 e^(-x).
これに基づいて (2) の微分方程式の両辺を e^x/x^2 倍すると
(e^x/x^2)u'' + (x^(-2)e^x - 2x^(-3)e^x)u' = 4(x +1)e^x.
つまり (x^(-2)e^xu')' = 4(x + 1)e^x.
従って
x^(-2)e^xu' = 4∫(x + 1)e^x dx
= 4((x + 1)e^x - ∫e^x dx)
= 4((x + 1)e^x - e^x) - C_0
= 4xe^x - C_0.
よって
u' = 4x^3 - C_0x^2e^(-x).
u = x^4 - C_0∫x^2e^(-x) dx
= x^4 - C_0∫x^2 d(-e^(-x))
= x^4 - C_0(-x^2e^(-x) + ∫2xe^(-x) dx)
= x^4 - C_0(-x^2e^(-x) + ∫2xd(-e^(-x)))
= x^4 - C_0(-x^2e^(-x) - 2xe^(-x) + 2∫e^(-x)dx)
= x^4 - C_0(-x^2e^(-x) - 2xe^(-x) - 2e^(-x) + C_1/C_0)
= x^4 + C_0(x^2 + 2x + 2)e^(-x) + C_1.
即ち
y = x^(-3)u = x + C_0(1/x + 2/x^2 + 2/x^3)e^(-x) + C_1/x^3.